（复习篇）第一讲 平面图形的认识（二）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第一讲 平面图形的认识（二） （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点02：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点03：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点04：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点05：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点06：三角形的分类： 知识点07：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点08：三角形的稳定性 三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点09：三角形的重要线段 知识点10：三角形的内角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 知识点11：三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点12：多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点13 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点13：多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点14：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点15：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点16 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）如图，，，，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2分）在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是　　 A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 3．（2分）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2分）将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2分）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2分）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2分）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2分）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是　　 ①的面积的面积；②；③；④． A． ①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ B． 9．（2分）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2分）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图，，点，在直线上在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中为正整数． 上述说法正确的是 　　（写出所有正确结论的序号）． 12．（2分）如图，点、、在一条直线上，，，则　　度． 13．（2分）如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台、延展臂在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支摚臂所在直线互相垂直，且，则这时展角　　． 14．（2分）如图，一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 　　． 15．（2分）如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的为 　　．（请填写所有正确结论的序号） 16．（2分）如图，已知，，，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　　（填序号）． 17．（2分）三角形的面积为42平方米，点，，分别在边，，上，且，，，分别连结，，，如图所示，图中阴影部分的面积为6平方米，若在甲，乙区域铺设瓷砖，瓷砖均价分别为300元平方米，200元平方米，则甲、乙区域铺设瓷砖总价为 　　元． 18．（2分）如图，在三角形中，，垂足为点，直线过点，且，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则　　． 19．（2分）如图，，则　　． 20．（2分）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）如图，在四边形中，，． （1）与平行吗？说明理由； （2）若平分，，求的度数． 22．（6分）根据解答过程填空（理由或数学式）． 已知：如图，，平分交于点，． 求证：． 证明：（已知）， 　　． 　　 　　． 平分（已知）， 　　． 　　 　　． （已知）， 　　． 　　． 　　． 23．（8分）已知直线，点在直线上，点、为平面内两点，于点． （1）如图1，当点在直线上，点在直线上方时，交于点，求证：； （2）如图2，当点在直线上且在点左侧，点在直线与之间，过点作交直线于点，请猜测与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点在直线上，且在点左侧，点在直线下方时，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，当时，求出的度数． 24．（8分） （1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为 　　（用含字母的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差． 25．（8分）如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知】如图①，若，，则　　； 【探究】如图②，猜想、和之间有什么样的数量关系，并说明理由； 【应用】如图③，若平分，将线段沿方向平移至．若，平分，则　　． 26．（8分）【感知】如图①，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， 　　（角平分线的定义）． （已知）， 　　（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【探索】如图②，平分，，点在射线上，点在线段上，若，求证：． 【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数． 27．（8分）在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点作． （已知）， ，①　　（理由：②　　． （平角定义）， （理由：③　　． 三角形内角和等于． （2）拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知，，是的三个内角，延长到，过点作．请你按照小亮同学的解答思路证明． （3）迁移应用：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间． ①如图3，点在点的左侧，若，则　　；（填角的度数） ②如图4，点在点的右侧，且，，若，则　　．（用含的代数式表示） 28．（8分）已知：，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，平分，平分交直线于点，交于点． ①若，求的度数； ②过点作交的延长线于点，平分交的延长线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第一讲 平面图形的认识（二） （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点02：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点03：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点04：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 知识点05：三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点06：三角形的分类： 知识点07：三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点08：三角形的稳定性 三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点09：三角形的重要线段 知识点10：三角形的内角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 知识点11：三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点12：多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点13 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点13：多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点14：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点15：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点16 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）如图，，，，则等于　　 A． B． C． D． 解：，， ， ， ， ， ． 故选：． 2．（2分）在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是　　 A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 解：、当时，，故此选项不符合题意； 、不能判定，互相平行，故此选项符合题意； 、由且可得，，故此选项不符合题意； 、由可知，故此选项不符合题意； 故选：． 3．（2分）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：①不能得到，故本条件不合题意； ②，，故本条件符合题意； ③不能得到，故本条件不合题意； ④，，故本条件符合题意； ⑤，，，故本条件符合题意． 故选：． 4．（2分）将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ， 直尺的两边平行，即， ， ， ， 故选：． 5．（2分）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， ，分别是和的角平分线，它们相交于点， ， ， 是边上的高， ， ， 即的度数是． 故选：． 6．（2分）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：，， ， ，故①正确； ， ， ， 平分；故②正确； 的余角比大， ， ， ， ，故③正确； 设，， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ，故④错误， 故选：． 7．（2分）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：由翻折知，， ， ， 故选：． 8．（2分）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是　　 ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 解：是中线， ， 的面积的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； 是角平分线， ， 为高， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； 为高， ， ， ，， ， 是的平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误； 故选：． 9．（2分）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：延长，交于． ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ①；②正确， 平分， ， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ③平分，④平分不一定正确． 故选． 10．（2分）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ． 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）如图，，点，在直线上在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中为正整数． 上述说法正确的是 　①③④　（写出所有正确结论的序号）． 解：如图，过点作， ，， ， ，， ， ， ，故①正确； 与的角平分线交于点， ， ， 根据①中的结论，可得， ， ， ， ， ，故②错误； 设，则， ， 根据①中结论可得，， ，故③正确； 设，则， ， ， 根据①中结论可得，故④正确． 故答案为：①③④． 12．（2分）如图，点、、在一条直线上，，，则　50　度． 解：， ， ， 故答案为：50． 13．（2分）如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台、延展臂在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支摚臂所在直线互相垂直，且，则这时展角　　． 解：延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，如图： 平行，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ， 故答案为：． 14．（2分）如图，一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 　或　． 解：当时，，理由如下，如图所示： ， ； 当时，，理由如下，如图所示： ， ， ， ； 如图，当时，， ， ， ， 综上，三角形有一条边与平行的所有的度数为：或． 故答案为：或． 15．（2分）如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的为 　②⑤　．（请填写所有正确结论的序号） 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故①不正确； ， ， ， 故②正确； ，， ， 故③不正确； ， ， ， 不平分， 故④不正确； 平分，， ， ， ， ， 故⑤正确； 所以，上列结论，其中结论正确的②⑤， 故答案为：②⑤． 16．（2分）如图，已知，，，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　①②④　（填序号）． 解：，且， 且， ， 四边形是平行四边形． 结论①正确； ， ， 而， ， 结论④正确； ， ， 结论②正确； ，， 且，， ， 由于无法证明结论③错误． 故答案为：①②④． 17．（2分）三角形的面积为42平方米，点，，分别在边，，上，且，，，分别连结，，，如图所示，图中阴影部分的面积为6平方米，若在甲，乙区域铺设瓷砖，瓷砖均价分别为300元平方米，200元平方米，则甲、乙区域铺设瓷砖总价为 　7800　元． 解：如图所示，设三个乙区域的面积分别为平方米，平方米，平方米， ， ， 的面积为42平方米， 平方米， 同理可得：平方米， ， ， 图中阴影部分的面积为6平方米，即， ， ， 甲、乙区域铺设瓷砖总价（元． 故答案为：7800． 18．（2分）如图，在三角形中，，垂足为点，直线过点，且，点为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点、，若，则　35　． 解：， 中，， 又， ， ， ， 与的角平分线、分别交于点、， ，， ， 故答案为：35． 19．（2分）如图，，则　6　． 解：连接，，， 是的外角， ， 是的外角， ， 在四边形中，①， 在中，②， ①②得，， 即， ． ． 故答案为：6． 20．（2分）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，则所有满足条件的的值为 　30或120　． 解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）， （2）当时，延长交于点， ①在上方时，，如图， 根据题意得：， ，， ， ， 即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； ②在下方时，如图， 根据题意可知：， ， ， ， 即， ， 综上所述：所有满足条件的的值为30或120． 故答案为：30或120． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）如图，在四边形中，，． （1）与平行吗？说明理由； （2）若平分，，求的度数． 解：（1），理由如下： ， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， 平分， ， ， ． 22．（6分）根据解答过程填空（理由或数学式）． 已知：如图，，平分交于点，． 求证：． 证明：（已知）， 　同旁内角互补，两直线平行　． 　　 　　． 平分（已知）， 　　． 　　 　　． （已知）， 　　． 　　． 　　． 证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （等量代换）． （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 23．（8分）已知直线，点在直线上，点、为平面内两点，于点． （1）如图1，当点在直线上，点在直线上方时，交于点，求证：； （2）如图2，当点在直线上且在点左侧，点在直线与之间，过点作交直线于点，请猜测与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点在直线上，且在点左侧，点在直线下方时，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，当时，求出的度数． 解：（1）， ， ， ， ， （2），理由如下： 过点作， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作， ，， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（8分） （1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角； （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为 　　（用含字母的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差． 解：（1）为平角， ， 、分别是和 的平分线， ，， ，， 的余角为：，； （2）， ， 射线、分别平分、， ， 即； 故答案为：； （3），， ， 、分别平分、， 由（2）可得：， ． 25．（8分）如图，已知，点在直线，之间，连接，． 【感知】如图①，若，，则　90　； 【探究】如图②，猜想、和之间有什么样的数量关系，并说明理由； 【应用】如图③，若平分，将线段沿方向平移至．若，平分，则　　． 解：【感知】如图①， 过作， ，，， ， ，， ． 故答案为：； 【探究】，理由： 如图②，过作， ， ， ，， ， ； 【应用】如图③中， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 故答案为：40． 26．（8分）【感知】如图①，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， 　　（角平分线的定义）． （已知）， 　　（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【探索】如图②，平分，，点在射线上，点在线段上，若，求证：． 【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数． （1）证明：平分，（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：，． （2）证明：平分， ． 又， ． ． ． 又， ． ． （3）解：由（2），过作， ． ． 又， ． ． ， ． ． 27．（8分）在学习完七年级上册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和等于． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点作． （已知）， ，①　　（理由：②　　． （平角定义）， （理由：③　　． 三角形内角和等于． （2）拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知，，是的三个内角，延长到，过点作．请你按照小亮同学的解答思路证明． （3）迁移应用：已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在直线与之间． ①如图3，点在点的左侧，若，则　　；（填角的度数） ②如图4，点在点的右侧，且，，若，则　　．（用含的代数式表示） 解：（1）（已知）， ，（理由：两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， （理由：等量代换）． 三角形内角和等于． 故答案为：①，②两直线平行，内错角相等，③等量代换． （2）， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）． （3）①如图，、交于点． ，，， （两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， （角平分线定义），（角平分线定义）， （三角形内角和定理）， （对顶角相等）， （三角形内角和定理）． 故答案为：． ②， ， 平分，平分， ，， ． 故答案为：． 28．（8分）已知：，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，平分，平分交直线于点，交于点． ①若，求的度数； ②过点作交的延长线于点，平分交的延长线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． （1）证明：， ， ， ， ； （2）①解：， ， 平分， ， 平分， ， ，， ， 是的一个外角， ， 的度数为； ②， 理由：过点作， 设， 由①可得：，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$