第七讲 探索三角形全等的条件（斜边、直角边-HL）（新知预习+二大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第七讲 探索三角形全等的条件（斜边、直角边-HL） 教学重点 1.探索判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”). 2.经历探索直角三角形全等判定的过程，培养思考能力和逻辑推理能力. 3.能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题. 重点:能利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等. 难点:能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：用斜边、直角边（HL）证明全等 7 考点精讲2：全等的性质和斜边、直角边（HL）的综合 9 中档题真题练 11 培优题真题练 16 新知预习 情景导入 如图，学校元旦晚会的舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？ 预习导学 知识点01：判定直角三角形全等的特殊方法——HL  阅读课本本课时部分的内容，回答下列问题. 思考　(1)直角三角形可以用什么符号表示？ (2)两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？ (3)直角三角形是特殊的三角形，判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法？ 答:(1)直角三角形可以用“Rt△”表示. (2)还需要增加两个条件进行证明全等.可以增加两条直角边分别相等，利用“SAS”证明全等.还可以任意增加一条边和一个角分别相等，利用“ASA”或“AAS”证明两个直角三角形全等. (3)有特殊的方法，当两个直角三角形满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等. 操作　用直尺和圆规按下列作法作Rt△ABC. 作法 图形 1.作∠PCQ＝90°. 2.在射线CP上截取CB＝a. 3.以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A. 4.连接AB. Rt△ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的直角三角形和其他同学作的直角三角形能完全重合吗？ 答:根据要求所作出的直角三角形能完全重合.通过实践感知，我们得到如下定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 归纳总结　  　⁠和 　 　⁠直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“ 　 　⁠”或“ 　 　⁠”)  讨论　如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'，怎样证明△ABC≌△A'B'C'？ 方法:把两个直角三角形拼在一起，像本节例7那样，可以证得∠B＝∠B'. 在△ABC和△A'B'C'中，由∠B＝∠B'，∠ACB＝∠A'C'B'，AB＝A'B'，可以证明△ABC≌△A'B'C'(AAS). 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？并说明理由. 合作探究 利用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果CD＝EF，AC＝AE. 求证:△ABD≌△ABF. 证明:∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°. 在Rt△ADC和Rt△AFE中∴AD＝AF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). 变式演练　如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB＝CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程. 方法归纳交流 (1)运用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”. (2)判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. (3)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. (4)在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可. 直角三角形的判定和性质的应用 2.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等. 要求:根据给出的Rt△ABC和Rt△A'B'C'(∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C')，在此图形上用尺规作出BC与B'C'边上的中线，不写作法，保留作图痕迹， 并据此写出已知、求证和证明过程. 解:如图，AD和A'D'就是所要求作的图形. 已知:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，且AD＝A'D'， 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明:在Rt△ADC与Rt△A'D'C'中，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)，∴CD＝C'D'.∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，∴BC＝B'C'. 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS). 变式演练　如图，在Rt△ACB和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'.求证:Rt△ACB≌Rt△A'C'B'. 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点精讲1：用斜边、直角边（HL）证明全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【举一反三2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【举一反三3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 考点精讲2：全等的性质和斜边、直角边（HL）的综合 【典例精讲】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三1】．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【举一反三2】（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 中档题真题练 1．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等 4．（2023·贵州贵阳·一模）已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（    ）    A．甲同学作图判定的依据是 B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．乙同学作图判定的依据是 D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 5．（10-11八年级下·重庆·期中）如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ． 8．（18-19八年级·吉林·期中）如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      9．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是： ． 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或） 11．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当 时，才能使与全等． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 13．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 15．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离（于点），当他从处摆动到处时，测得点到的距离（于点），已知秋千的绳长固定不变（即），求的长度． 16．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 培优题真题练 17．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 18．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 19．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，点E，F在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图:平分，点C、D、E分别是射线上的点，连接．添加一个条件，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 23．（23-24八年级上·河南信阳·期中）在和中，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．请你从中选择两个条件： ，使，你判断它们全等的根据是 ． 24．（17-18八年级上·全国·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 25．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 26．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有 ．（填序号） 27．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    28．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．    29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 30．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 31．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 32．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 33．（2014·江苏南京·中考真题）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第七讲 探索三角形全等的条件（斜边、直角边-HL） 教学重点 1.探索判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”). 2.经历探索直角三角形全等判定的过程，培养思考能力和逻辑推理能力. 3.能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题. 重点:能利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等. 难点:能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：用斜边、直角边（HL）证明全等 7 考点精讲2：全等的性质和斜边、直角边（HL）的综合 12 中档题真题练 17 培优题真题练 28 新知预习 情景导入 如图，学校元旦晚会的舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？ 预习导学 知识点01：判定直角三角形全等的特殊方法——HL  阅读课本本课时部分的内容，回答下列问题. 思考　(1)直角三角形可以用什么符号表示？ (2)两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？ (3)直角三角形是特殊的三角形，判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法？ 答:(1)直角三角形可以用“Rt△”表示. (2)还需要增加两个条件进行证明全等.可以增加两条直角边分别相等，利用“SAS”证明全等.还可以任意增加一条边和一个角分别相等，利用“ASA”或“AAS”证明两个直角三角形全等. (3)有特殊的方法，当两个直角三角形满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等. 操作　用直尺和圆规按下列作法作Rt△ABC. 作法 图形 1.作∠PCQ＝90°. 2.在射线CP上截取CB＝a. 3.以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A. 4.连接AB. Rt△ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的直角三角形和其他同学作的直角三角形能完全重合吗？ 答:根据要求所作出的直角三角形能完全重合.通过实践感知，我们得到如下定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 归纳总结　 　斜边　⁠和 　一条　⁠直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“ 　斜边、直角边　⁠”或“ 　HL　⁠”)  讨论　如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'，怎样证明△ABC≌△A'B'C'？ 方法:把两个直角三角形拼在一起，像本节例7那样，可以证得∠B＝∠B'. 在△ABC和△A'B'C'中，由∠B＝∠B'，∠ACB＝∠A'C'B'，AB＝A'B'，可以证明△ABC≌△A'B'C'(AAS). 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？并说明理由. 解:CE＝DF.理由如下:在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°. 在△ACE和△BDF中， ∴△ACE≌△BDF(AAS)，∴CE＝DF. 合作探究 利用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果CD＝EF，AC＝AE. 求证:△ABD≌△ABF. 证明:∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°. 在Rt△ADC和Rt△AFE中∴AD＝AF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). 变式演练　如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB＝CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程. 解:可添加条件EC＝BF. 证明:∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，∴AC＝BD. ∵EA⊥AB，FD⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°. 在Rt△AEC和△Rt△DFB中，∴Rt△AEC≌△Rt△DFB(HL). 方法归纳交流 (1)运用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”. (2)判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. (3)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. (4)在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可. 直角三角形的判定和性质的应用 2.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等. 要求:根据给出的Rt△ABC和Rt△A'B'C'(∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C')，在此图形上用尺规作出BC与B'C'边上的中线，不写作法，保留作图痕迹， 并据此写出已知、求证和证明过程. 解:如图，AD和A'D'就是所要求作的图形. 已知:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，且AD＝A'D'， 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明:在Rt△ADC与Rt△A'D'C'中，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)，∴CD＝C'D'.∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，∴BC＝B'C'. 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS). 变式演练　如图，在Rt△ACB和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'.求证:Rt△ACB≌Rt△A'C'B'. 证明:∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'， 在Rt△DCB和Rt△D'C'B'中，∴Rt△DCB≌Rt△D'C'B'(HL)， ∴∠B＝∠B'.在Rt△ACB和Rt△A'C'B'中， ∴Rt△ACB≌Rt△A'C'B'(ASA). 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点精讲1：用斜边、直角边（HL）证明全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定定理，可证，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【规范解答】由题意知，，， 在和中， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【举一反三2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【规范解答】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 【举一反三3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 【答案】(1)（斜边直角边），理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定． （1）“”定理只能用来证明两个直角三角形全等； （2）通过证明可得到中的一组直角边相等，再证明，推出，可得结论． 【规范解答】（1）解：（斜边直角边），推理过程如下： ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过A作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，   ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． 考点精讲2：全等的性质和斜边、直角边（HL）的综合 【典例精讲】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可． 【规范解答】∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①②③都正确． 故选D． 【举一反三1】．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等． 【答案】0，4，8，12． 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【规范解答】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故答案为：0，4，8，12． 【举一反三2】（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． （1）先证明，即有，结合，即可得； （2）由（1），，进而可得，根据，可得，即可得，则可求． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴和是直角三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为1． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先证，即可利用证明即可； （2）根据（1）中结论可得，根据的周长即可解题． 【规范解答】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ， 的周长． 中档题真题练 1．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【思路点拨】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【规范解答】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【规范解答】解：在和中， ， ， 故选：B． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【思路点拨】本题考查了真假命题的判断，三角形高的特征，三角形内角和，全等三角形的判定方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 利用三角形高的特征，全等三角形的判定方法，三角形的内角和分别判断后即可． 【规范解答】A．锐角三角形的三条高线相交于三角形内，故原命题错误，为假命题； B．三角形的三个角中，至少有两个锐角，正确，为真命题； C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等，没有角边边这个判定定理，故原命题错误，是假命题； D．斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题错误，为假命题． 故选：B． 4．（2023·贵州贵阳·一模）已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（    ）    A．甲同学作图判定的依据是 B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．乙同学作图判定的依据是 D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定，根据作图痕迹判定相等的线段再结合全等三角形的判定方法可得结论，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【规范解答】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，甲同学作图判定的依据是，则选项A，B正确不符合题意； 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，乙同学作图判定的依据是，则选项C正确，不符合题意，D不正确；符合题意； 故选：D． 5．（10-11八年级下·重庆·期中）如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【规范解答】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ． 【答案】/14厘米 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，即可求解． 【规范解答】解：在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（18-19八年级·吉林·期中）如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      【答案】/55度 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握定理．先判断两三角形都是直角三角形，然后根据已知条件知，用“”判定，则需要补充斜边对应相等即可． 【规范解答】解：补充条件：． 理由：∵，， ∴， 在和中 ， ∴ 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或） 【答案】 【思路点拨】利用判定方法“”证明 和 全等，进而得出答案； 【规范解答】解：∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴ 是 的平分线； 故答案为： 【考点剖析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键 11．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当 时，才能使与全等． 【答案】2或4 【思路点拨】根据即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴当或时，都可以根据证明与全等； 故答案为：2或4． 【考点剖析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？ 【答案】当的长为5或10时，和全等 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 当时： ∵，， ∴； 当时： ∵，， ∴； 综上：当的长为5或10时，和全等． 13．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，求出即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 【规范解答】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等． 15．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离（于点），当他从处摆动到处时，测得点到的距离（于点），已知秋千的绳长固定不变（即），求的长度． 【答案】的长度是 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用，掌握去全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：，， ， 和均为直角三角形． 在和中， ，， ， ， ， ， 即的长度是． 16．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 【答案】证明见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合题意即可得解． 【规范解答】证明：如图2，连接， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是筝形． 培优题真题练 17．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 18．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【规范解答】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理：， ∴， ∵， ， ， ∴， 解得：； 故选：A． 19．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，是解题的关键． 【规范解答】添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据，，不能推出，不符合题意； 综上，能判定的有， 故选：． 20．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，点E，F在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据求出，根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析，即可解题． 【规范解答】解：， ，即， ， ，即， A、，，， ，不符合题意． B、，，， ，不符合题意． C、，，， ，不符合题意． D、，，，“”得不到，符合题意． 故选：D． 21．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图:平分，点C、D、E分别是射线上的点，连接．添加一个条件，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴当时，不能证明，故选项A不符合题意； 当时，不能证明，故选项B不符合题意； 当时，能证明，故选项C符合题意； 当时，不能证明，故选项D不符合题意． 故选：C． 22．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 23．（23-24八年级上·河南信阳·期中）在和中，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．请你从中选择两个条件： ，使，你判断它们全等的根据是 ． 【答案】 ②③（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定方法，根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法分别进行分析即可． 【规范解答】解：∵，添加②；③；可利用判定； 添加③；④，可利用判定； 添加⑤；③，可利用判定； 故答案为：答案不唯一，如②③；SAS． 24．（17-18八年级上·全国·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，解一元一次方程等知识，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度，利用分类讨论思想，由分类情况列方程解决问题是本题的关键． 【规范解答】解：设点运动的时间为秒，则，， ， 当，时，与全等，此时，，解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）， 当，时，与全等，此时，，解得， 点的运动速度为（厘米秒）， 故答案为：2或3． 25．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【规范解答】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 26．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余等知识，证明是解答本题的关键．根据可证明可判断①；求出可判断②；利用全等三角形的性质可判断③；无法判断④正确；利用三角形的面积公式可判断⑤． 【规范解答】解：如图， ∵，，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 无法证明，故④不正确； ∵， ∴四边形的面积 ，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 27．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    【答案】3 【思路点拨】过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长． 【规范解答】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3．    【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 28．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为 度．    【答案】59 【思路点拨】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解． 【规范解答】解：延长，过点D作，，如图，    ∴， ∵对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， 过点D作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键． 29．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论： 第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：与的面积比为 或者． 30．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：    ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． 31．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【思路点拨】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明； （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 32．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【思路点拨】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． 【规范解答】（1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 33．（2014·江苏南京·中考真题）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A． 【思路点拨】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明； （2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等； （3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等； （4）根据三种情况结论，不小于即可． 【规范解答】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道， 故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL． （2）如图， 过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ，且、都是钝角， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ； （3）如图，和不全等； 以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等． （4）若，则， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$