（复习篇）第四讲 一元一次不等式-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第四讲 一元一次不等式 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）已知，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2分）不等式组，中各不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2分）已知，下列不等关系式中正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）若已知，则下列变形错误的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原售价的8折出售，若此种照相机的进价为1200元，要保证该相机的利润率不低于，问该照相机的原售价至少为　　 A．1690元 B．1700元 C．1710元 D．1720元 6．（2分）关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围为（　　） A．k≥2 B．k＞2 C．k≤2 D．k＜2 7．（2分）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2分）若整数使关于的不等式组至少有3个整数解，且使关于，的方程组的解为非负整数，那么满足条件的所有整数的和是　　 A． B． C． D． 9．（2分）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为　　 A．0.79 B．0.99 C．1.01 D．1.27 10．（2分）我国股票交易中，每买卖一次需付交易款的7.5‰的交易费，某投资者以每股元买进“东升毛纺”1000股，每股上涨2元后全部卖出，则以下说法正确的是　　 A．盈利2000元 B．盈利1985元 C．每股低于元时可以盈利 D．每股高于132元时时可以盈利 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）不等式的最小整数解为 　　． 12．（2分）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如：，，．如果，则的取值范围为　　． 13．（2分）已知，若满足，那么的取值范围是　　． 14．（2分）已知的解集为，则的解集为 　　． 15．（2分）中粮食堂常用1000斤优质大米和200斤优质小米，采购员到米店后发现米店正在促销“大米1元1斤，每购10斤送1斤小米（不足10斤部分不送），小米4.5元1斤”，采购员至少要付　　元钱才能买够晚饭需用的米． 16．（2分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜0，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　． 17．（2分）若对一切实数都成立，则的取值范围是 　　． 18．（2分）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对　　道题，成绩才能在60分以上． 19．（2分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　 　． 20．（2分）小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是　 　立方米． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2） 解不等式组：． 22．（6分）如表是朝阳店3月份某天销售A，B两种小商品的帐目记录．某店某天销售A，B两种小商品的帐目记录表 销售数量/件 总销售金额/元 A B 第一天 20 10 560 第二天 15 15 540 （1）求A，B两种商品的售价； （2）若A的进价为14元/件，B的进价为12元/件，某天共卖出两种商品40件，且两者总利润不低于210元，则至少销售A商品多少件？ 23．（8分）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： （1）若方程有解，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 24．（8分）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． （1）点，，在数轴上分别表示有理数，，1，那么到的距离为 　　，到的距离与到的距离之和可表示为 　　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当取何值时，有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是 　　； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 25．（8分）某野生动物园门票价格为60元张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 当团购门票数不超过40张时，无优惠； 当团购门票数超过40张时，超过的部 分每张优惠10元． 方案二 爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则 所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票张为正整数）． （1）如果选择方案一，当时，该旅游团购买门票的总费用可表示为 　　；当时，该旅游团购买门票的总费用可表示为 　　；（两个空格都用含的代数式表示） （2）如果选择方案二，该旅游团爱心捐款个500元为正整数）． ①求该旅游团一共需要花费的总费用；（用含，的代数式表示） ②当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的总费用多某个固定的值，求的值以及这个固定的值． 26．（8分）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需170元；足球单价是篮球单价的2倍少10元． （1）求足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1600元，学校最多可以购买多少个足球？ 27．（8分）甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器，1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成．电热蚊香液作为易耗品可单独购买，1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的．已知电热蚊香液的利润率为，整套驱蚊器的利润率为．张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器，并另外买了4瓶电热蚊香液，超市从中共获利10元． （1）求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价； （2）为了促进该款驱蚊器的销售，甲超市打8.5折销售，而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液．在这段促销期间，甲超市销售2000套驱蚊器，而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍．问乙超市至少销售多少套驱蚊器？ 28．（8分）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式“． （1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 　　；最小值为 　　；代数式　　（填“是“或“不是” 的“友好代数式”； （2）以下关于的代数式，是的“友好代数式”的是 　　； ①；②：③； （3）若关于的代数式是的“友好代数式”，则的值是 　　； （4）若关于的代数式是的“友好代数式”，求的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第四讲 一元一次不等式 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）已知，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 解：、， ， 故不符合题意； 、， ， ， 故不符合题意； 、当时，， 故不符合题意； 、， ， 故符合题意； 故选：． 2．（2分）不等式组，中各不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 3．（2分）已知，下列不等关系式中正确的是　　 A． B． C． D． 解：、不等式两边都加3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意； 、不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意； 、不等式两边都乘，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意； 、不等式两边都除以，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：． 4．（2分）若已知，则下列变形错误的是　　 A． B． C． D． 解：．不等式两边同时加上，不等号方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意； ．不等式两边同时减去，不等号方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意； ．不等式两边同时乘再加上1，不等号方向改变，原变形错误，故此选项符合题意； ．不等式两边同时除以，不等号方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：． 5．（2分）为了拓展销路，商店对某种照相机的售价作了调整，按原售价的8折出售，若此种照相机的进价为1200元，要保证该相机的利润率不低于，问该照相机的原售价至少为　　 A．1690元 B．1700元 C．1710元 D．1720元 解：设该照相机的原售价是元，根据题意得： ， 解得：． 答：该照相机的原售价至少是1710元． 故选：． 6．（2分）关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于5，则k的取值范围为（　　） A．k≥2 B．k＞2 C．k≤2 D．k＜2 解：， ①﹣②，得：x+y＝k+3， ∵x与y的和不大于5， ∴k+3≤5， 解得k≤2， 故选：C． 7．（2分）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， 故选：． 8．（2分）若整数使关于的不等式组至少有3个整数解，且使关于，的方程组的解为非负整数，那么满足条件的所有整数的和是　　 A． B． C． D． 解：不等式组解集为：， 不等式组至少有3个整数解， ， 解得， 解方程组，得， 关于，的方程组的解为非负整数，， ， 满足条件的所有整数的和为， 故选：． 9．（2分）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为　　 A．0.79 B．0.99 C．1.01 D．1.27 解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即， ， ， 由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形， 稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分， 矩形的长为，等腰三角形的高为，稻叶的宽为， ， 故选：． 10．（2分）我国股票交易中，每买卖一次需付交易款的7.5‰的交易费，某投资者以每股元买进“东升毛纺”1000股，每股上涨2元后全部卖出，则以下说法正确的是　　 A．盈利2000元 B．盈利1985元 C．每股低于元时可以盈利 D．每股高于132元时时可以盈利 解：总售价为‰， 总成本为‰， ‰‰， ， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）不等式的最小整数解为 　　． 解：， ， ， ， ， 该不等式的最小整数解为：， 故答案为：． 12．（2分）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如：，，．如果，则的取值范围为　或　． 解：由题意可得， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 13．（2分）已知，若满足，那么的取值范围是　　． 解：由，得到， 代入已知不等式得：， 去分母得：，即， 解得：， 故答案为：． 14．（2分）已知的解集为，则的解集为 　　． 解：由题意解不等式组得， ， 可得， 解得， 由题意得不等式组， 解得， 故答案为：． 15．（2分）中粮食堂常用1000斤优质大米和200斤优质小米，采购员到米店后发现米店正在促销“大米1元1斤，每购10斤送1斤小米（不足10斤部分不送），小米4.5元1斤”，采购员至少要付　1450　元钱才能买够晚饭需用的米． 解：设采购员要付元钱才能买够晚饭需用的米，依题意有 ， 解得． 答：采购员至少要付1450元钱才能买够晚饭需用的米． 故答案为：1450． 16．（2分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜0，则所有满足条件的整数a的值之和为 　5　． 解：由2x﹣1＜3（x﹣2）得：x＞5， 由＞1得：x＞a+2， 因为不等式组的解集为x＞5， 所以a+2≤5， 解得a≤3， 将方程组两方程相加得：2x+2y＝﹣4a﹣8， ∴x+y＝﹣2a﹣4， ∵x+y＜0， ∴﹣2a﹣4＜0， 解得a＞﹣2， 则﹣2＜a≤3， 所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故答案为：5． 17．（2分）若对一切实数都成立，则的取值范围是 　　． 解：表示数轴上点到4、的距离的差， 当时，的值最大， ， 对一切实数都成立， ， 故答案为：． 18．（2分）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对　12　道题，成绩才能在60分以上． 解：设答对道． 故 解得： 所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上． 19．（2分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　． 解：， ， 的解集是， ，， ， ，，， 关于的不等式的解集为，即， 故答案为：． 20．（2分）小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是　8　立方米． 解：设小颖每月用水量是立方米， ， 解得，． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； 在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 22．（6分）如表是朝阳店3月份某天销售A，B两种小商品的帐目记录．某店某天销售A，B两种小商品的帐目记录表 销售数量/件 总销售金额/元 A B 第一天 20 10 560 第二天 15 15 540 （1）求A，B两种商品的售价； （2）若A的进价为14元/件，B的进价为12元/件，某天共卖出两种商品40件，且两者总利润不低于210元，则至少销售A商品多少件？ 解：（1）设A种商品的售价为x元，B种商品的售价为y元， 根据表格可得：， 解得， 答：A种商品的售价为20元，B种商品的售价为16元； （2）设销售A商品m件，则销售B商品（40﹣m）件， 根据题意得：（20﹣14）m+（16﹣12）（40﹣m）≥210， 解得m≥25， 答：至少销售A商品25件． 23．（8分）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： （1）若方程有解，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 解：当在数轴上表示的点位于1的点与3表示的点之间的线段上时，任一数表示的点到数1表示的点与3表示的点间距离均为2，所以． 当在数轴上表示的点位于1表示的点左边或与1表示的点重合时，则表示的点到2表示的点不小于1，到3表示的点不小于2，则． 同理：数轴上表示的点位于3表示的点左边或与3表示的点重合时，则． 综上：有解，的取值范围为． （2）的最小值为2023，此时位于1表示的点与2024表示的点的线段上， 的最小值为2021，此时位于2表示的点与2023表示的点的线段上， 的最小值为2019，此时位于3表示的点与2022表示的点的线段上， 的最小值为1，此时位于1012表示的点与1013表示的点的线段上， 当在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上时，的最小值最小， 最小值为， ，，． 而1，共有个数， 故有个2024， ． 故最小值为1024144． （3）由， 得． ． 另一方面，由，有且只有100个整数解， 由①得． 由②得． 综上，． 24．（8分）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． （1）点，，在数轴上分别表示有理数，，1，那么到的距离为 　3　，到的距离与到的距离之和可表示为 　　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当取何值时，有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是 　　； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 解：（1），， 到的距离为3，到的距离与到的距离之和可表示为， 故答案为：3，． （2）的几何意义是数轴上对应的点分别到2和3对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值是1． （3）①根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集是或． 故答案为：或． ②根据绝对值的几何意义，不等式的解集在数轴上表示如图，解集为或． 理由如下：的几何意义是数轴上对应的点分别到和3对应的点的距离之和大于4，而且与3对应两点之间的距离为4， 的解集为或． 25．（8分）某野生动物园门票价格为60元张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 当团购门票数不超过40张时，无优惠； 当团购门票数超过40张时，超过的部 分每张优惠10元． 方案二 爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则 所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票张为正整数）． （1）如果选择方案一，当时，该旅游团购买门票的总费用可表示为 　元　；当时，该旅游团购买门票的总费用可表示为 　　；（两个空格都用含的代数式表示） （2）如果选择方案二，该旅游团爱心捐款个500元为正整数）． ①求该旅游团一共需要花费的总费用；（用含，的代数式表示） ②当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的总费用多某个固定的值，求的值以及这个固定的值． 解：（1）由题意可得，如果选择方案一， 当时，总费用可表示为：元， 当时，总费用可表示为：元． 故答案为：元，元． （2）如果选择方案二，该旅游团爱心捐款个500元为正整数）． ①总费用可表示为：元． ② ， 当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ，得， 则． 即的值是5，此固定值是2100． 26．（8分）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需170元；足球单价是篮球单价的2倍少10元． （1）求足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1600元，学校最多可以购买多少个足球？ 解：（1）设一个足球的单价元、一个篮球的单价为元，根据题意得 ， 解得：， 答：一个足球的单价110元、一个篮球的单价60元； （2）设可买足球个，则买篮球个，根据题意得： ， 解得：， 为整数， 最大取8． 答：学校最多可以买8个足球． 27．（8分）甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器，1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成．电热蚊香液作为易耗品可单独购买，1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的．已知电热蚊香液的利润率为，整套驱蚊器的利润率为．张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器，并另外买了4瓶电热蚊香液，超市从中共获利10元． （1）求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价； （2）为了促进该款驱蚊器的销售，甲超市打8.5折销售，而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液．在这段促销期间，甲超市销售2000套驱蚊器，而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍．问乙超市至少销售多少套驱蚊器？ 解：（1）设1套驱蚊器售价元，1瓶电热蚊香液的售价元； ， 解得， 所以设1套驱蚊器售价30元，1瓶电热蚊香液的售价6元． （2）设乙超市销售套驱蚊器． 元； 由题意知 解得． 乙超市至少销售3600套驱蚊器． 28．（8分）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式“． （1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为 　3　；最小值为 　　；代数式　　（填“是“或“不是” 的“友好代数式”； （2）以下关于的代数式，是的“友好代数式”的是 　　； ①；②：③； （3）若关于的代数式是的“友好代数式”，则的值是 　　； （4）若关于的代数式是的“友好代数式”，求的最大值和最小值． 解：（1） ， ， 的最大为3最小值为0， 显然的取值范围不在得范围之内，故它不是友好代数式． （2）①中时，时，． ， 显然不在范围内，故①不是友好代数式． ②中，时有最大值为2，时有最小值为， ． 显然刚好在范围内，故②是友好代数式 ③中，时有最小值，或时有最大值2． ． 显然不在范围内，故③不是友好代数式． （3）在中， 当时，时有最大值为4，时有最小值为2， 所以， 当时，时有最大值为4，时，有最小值2， 所以， 当时，或4时有最大值为4，时，有最小值2， 所以， 而当时，，但是每增加1，增加2，此时的范围就不在变化的范围之内．也就不一定为的“友好代数式”了． 综上所述对于代数式是的“友好代数式”，问题的解答，正确答案为的值是4． （4）， ， ， ①当时，时，有最大值为， 或时有最小值为， 所以可得不等式组，解得，， 所以． ②时，时，有最小值为， 或时的有大值为， 所以可得不等式组，解得，，，且， 所以无解， 综上①②可得， 所以的最大值为4，最小值为0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$