第十二讲 线段、角的轴对称性（新知预习+十大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十二讲 线段、角的轴对称性 教学目标： 1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题； 探索并掌握角平分线的性质定理和判定定理; 2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；能利用所学知识解决实际问题； 3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点： 利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线，角平分线的性质． 教学难点： 1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；理解“点在角平分线上”的证明方法 2．运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等． 五大知识点精讲分析 2 考点讲练1：角平分线的性质定理 8 考点讲练2：角平分线的判定定理 11 考点讲练3：角平分线性质的实际应用 14 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 16 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 21 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 24 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 28 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 30 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 33 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 36 中档题真题练 40 培优题真题练 50 五大知识点精讲分析 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？ 1. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2. 性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 3. 几何语言 如图2.4-1， ∵点A在线段BC的垂直平分线上， ∴ AB＝AC. 4. 易错提醒 线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴. 特别解读 1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”. 2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 例1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1， 则AC的长为(　　) A. 16　　　　　B. 15 C. 14　　　　　D. 13 解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的性质，可得EB＝EA、GB＝GC，然后结合三角形的周长公式计算得到答案． 解：∵ DE是AB边的垂直平分线，∴ EB＝EA． ∵ FG是BC边的垂直平分线，∴ GB＝GC． ∵△BEG的周长为16，∴ GB＋GE＋EB＝16． ∴ AE＋GE＋GC＝16，∴ AC＋GE＋GE＝16． ∵ GE＝1，∴ AC＝16－2＝14． 答案：C 方法点拨 利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化是一种常用的解题方法．本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质， 将△BEG的周长转化为线段 AC＋2GE的长，最后代入求解． 1. 判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言 如图2.4-3，∵ AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. 3. 拓展 (1)线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合； (2)三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离都相等. 特别提醒 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直. 例1 如图2.4-4，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF. 请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可. 解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上. ∵ AE＝AF， ∴点A在线段EF的垂直平分线上. ∴线段AD所在的直线是线段EF的 垂直平分线. 切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线. 教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等. 用尺规作线段AB的垂直平分线的画法： (1)分别以点A、B为圆心，大于AB的长为 半径画弧，两弧相交于点C、D； (2)过C、D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图2.4-5. 易错警示 作线段AB的垂直平分线时，必须以大于AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相交或只有一个交点. 例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图2.4-6 中作出点C. 解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求. 方法点拨 尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹. 1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2. 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 3. 几何语言 如图2.4-7， ∵ OP平分∠AOB， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴ PD＝PE. 4. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较 相同点：两者都可以直接得到两条线段相等； 不同点： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到线的距离. 特别提醒 1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等). 2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 例 4 如图2.4-8，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm，则DF＝__2.4______cm． 解题秘方：先紧扣角平分线的性质得出DE＝DF，然后结合三角形的面积公式可得出点D到角的两边的距离． 解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥ AC于F，∴ DE ＝ DF． ∵△ABC的面积是12 cm²，AB＝6 cm，AC＝4 cm， ∴ S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝12， 即×6DE＋×4DF＝3DE＋2DF＝5DF＝12． 解得DF＝2.4 cm． 方法点拨 运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题. 1. 判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言 如图2.4-9， ∵ P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备； (2)点在角的平分线上⇔ (角的内部的)点到角两边的距离相等. 4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等. 特别提醒 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 例 5 如图2.4-10，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，连接AD. 求证：AD平分∠BAC. 解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明. 证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90° . 在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF. ∴ DE＝DF. 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC. 方法点拨 证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等. 2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想. 考点讲练1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：作于， 是的角平分线，， 故选：C． 【举一反三1】（2024·吉林白山·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握基本作图；根据角平分线的作图可判断D，根据角平分线的性质可判断B，证明，可判断A，由题目条件无法证明出，可判断C； 【规范解答】根据作图可知平分， ， 故D选项不符合题意； ，，平分， ， 故B选项不符合题意； ， ， ， 故A选项不符合题意； 由题目条件无法证明出，故C选项符合题意， 故选：C； 【举一反三2】（2024·山东济宁·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ． 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握角平分线的作法和性质是解题关键．过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质定理可得，利用三角形面积公式可解得，易得，然后计算的面积即可． 【规范解答】解：如下图，过点作于点，点作于点， 由作图可知，平分， ∴， ∵，的面积为14， 即， 解得， ∴， ∴的面积． 故答案为：20． 考点讲练2：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求解． 此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题． 【规范解答】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分． （2）解：，， ， 平分， 【举一反三1】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三2】（23-24七年级下·山西运城·期中）如图，已知，，，请说明平分． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的判定，平行线的判定以及性质，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得到平分． 【规范解答】解：， ， 又， ， ； ， 又， ， 平分． 考点讲练3：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【规范解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图，    三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 【举一反三1】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作图—复杂作图，先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点即为所求，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质． 【规范解答】解：如图，点即为所求， ． 【举一反三2】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查线段垂直平分线性质的应用、角平分线性质的应用，分别作出线段的垂直平分线，的角平分线交于点D即可求解，掌握相关尺规作图方法是关键． 【规范解答】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条高速公路、的距离也必须相等， ∴发射塔应建在的角平分线上， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线和的角平分线的交点上， ∴连接，作的垂直平分线，作的角平分线交于点， 则点即为发射塔修建位置，如图所示： 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【规范解答】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【举一反三1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：40． 【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【思路点拨】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【思路点拨】本题考查了到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，据此解答即可． 【规范解答】解：依题意，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点 故选：A． 【举一反三1】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【规范解答】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 【答案】(1)5 (2)21 【思路点拨】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的基本作图方法，得出垂直平分． （1）根据垂直平分线的性质进行解答即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为12，得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据解析（1） 可知：， ∵的周长为12， ∴， 即． ∵， ∴的周长． 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 【答案】C 【思路点拨】本题根据对称轴的定义可判断A项，根据题意证明，利用全等三角形性质和角平分线的判定，可判断B项，根据垂直平分线判定可判断C项，再利用三角形面积公式可判断D项，即可解题． 【规范解答】解：，，， ， 直线是筝形的对称轴， A结论正确，故A项不符合题意； ，， 对角线平分，， B结论正确，故B项不符合题意； ，， 对角线垂直平分， C结论错误，故C项符合题意； 记对角线，相交于点， 筝形的面积为， ， 筝形的面积等于对角线与的乘积的一半， D结论正确，故D项不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了垂直平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、轴对称图形的定义、角平分线的判定，熟练掌握相关性质判定并灵活运用即可解题． 【举一反三1】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键． 如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论． 【规范解答】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【举一反三2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【规范解答】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【规范解答】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【举一反三1】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（      ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可． 【规范解答】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：B． 【举一反三2】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键． 观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长． 【规范解答】由作图痕迹，知道是的角平分线，且 是的角平分线，， 在和中，， ，， 的周长为6 故选D． 【举一反三1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，过点作的垂线，垂足为，作出点是解决本题的关键． 【规范解答】如图，点即为所作．    【举一反三2】（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【规范解答】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点； （2）如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【思路点拨】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【规范解答】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【考点评析】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 【举一反三1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于平面镜所成像； (2)一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时周长最小） (3)描出线段上的点M及直线上的点N，使得直线垂直平分． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【思路点拨】本题考查了网格作图，掌握轴对称、垂直平分线及线段和最小等相关结论是解题关键． （1）找到线段的端点关于直线的对应点即可完成作图； （2）连接即可完成作图； （3）以为对角线作出矩形，即可确定其中点M，根据格点三角形全等作出垂线，即可；完成作图； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点P即为所求． （3）如图，即为所求． 如图，取格点E，F，G，由题意， ，， ， 同理，， ， ， ， ， ∴直线垂直平分线段． 【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西安康·期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【思路点拨】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值． 【规范解答】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，． ∵的面积为24，的长为8， ∴， ∴， ∵平分， ∴ 又∵，， ∴≌（SAS）， ∴， ∴， ∵E、F分别是和上的动点， ∴， ∴ ∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小， ∴最小值为6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，13 【思路点拨】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：点D如图所示： （2）解：点E如图所示： （3）解：点P如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， 即． 【考点评析】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【举一反三2】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：，点M和点N试在上分别找点P、Q，使四边形的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【思路点拨】分别作M点和N点关于和的对称点，连接交于P，交于Q，则四边形满足条件． 【规范解答】解：如图，四边形为所作． 【考点评析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是轴对称的性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 中档题真题练 一．选择题 1．（2022秋•仪征市校级月考）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于　　 A． B． C． D． 解：过点作于，于，于， 点是内心， ， ， 故选：． 2．（2022秋•高新区校级月考）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是　　 A．3 B．2.4 C．4 D．5 解：当时，的值最小， 平分， 当时， ， ， 的最小值是3， 故选：． 3．（2023秋•宝应县期中）如图，点是的角平分线上一点，，，点是射线上的一个动点．若的最小值为4，则的面积为　　 A．6 B．8 C．16 D．32 解：点是的角平分线上一点，，的最小值为4， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ， 的面积， 故选：． 4．（2023秋•大丰区期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，若，，则的周长为　　 A．16 B．21 C．24 D．26 解：由勾股定理得，， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：． 二．填空题 5．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在中，，平分，，，则的面积是 　2　． 解：过点作于点 ，平分，， ， ， ． 故答案为：2． 6．（2023秋•邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则　45　． 解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：45． 7．（2023秋•建邺区期末）如图，在中，平分，，，，则点到的距离为 　　． 解：过点作，，垂足分别为，， 平分， ， ，， ， ， 点到的距离为． 故答案为：． 8．（2023秋•高港区期末）如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点、时，需满足的取值范围为 　　． 解：根据题意分两种情况进行讨论， ①当点无限靠近点时，此时无限接近， ， ②当点与点重合时，此时是等腰直角三角形， ， 综上所述需满足的取值范围为， 故答案为：． 三．解答题 9．（2017秋•兴化市校级月考）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．请在图中作出发射塔的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：设两条公路相交于点．为线段的垂直平分线与的平分线交点或是与的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即、． 10．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知点是上一点，，，垂足分别为、，连接，若垂直平分，求证：是的角平分线． 证明：垂直平分， ， ，， 是的角平分线． 11．（2022秋•天宁区校级月考）如图，在中，，是的延长线上一点，是的垂直平分线，交于，求证：在的垂直平分线上． 证明：垂直平分， ， ， ， ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 12．（2024•建湖县二模）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 证明：，，且， 是的角平分线， 在中，， 是的中点． 13．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分． 证明：设、的交点为， 平分，，， ． ，， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线 是线段的垂直平分线． 14．（2022秋•苏州期中）如图，在的两边、上分别取点、，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． （1）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分； （2）的面积是16，， ， ， ， ， 的面积是24， 四边形的面积的面积的面积， 的面积的面积， ， ， ， 线段与的长度之和为20． 15．（2022秋•兴化市月考）如图，在中，，，点为、的角平分线的交点． （1）的度数是 　　． （2）请问点是否在的角平分线上？请说明理由． （3）证明：． 解：（1）点是和角平分线的交点， ，， ，， ， ， 故答案为：； （2）答：点在的角平分线上，理由如下： 过点分别作三角形三边的垂线，垂足分别为、、， 、分别是、的角平分线， ， ， 点在的角平分线上； （3）证明：延长，在延长线上取，连接， 、分别为、的平分线， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， 故． 培优题真题练 一．选择题 1．（2019秋•建湖县期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 解：点为与的平分线的交点， 点在的角平分线上， 点到的三边的距离相等， 过作，连接， ， 又，，为直角三角形， ， ， 解得：． 故选：． 2．（2023秋•建湖县期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是　　 A．10 B．8 C．6 D．5 解：过点作于， ，， ， 和分别平分和，，，， ， ， ，即点到的距离是5， 故选：． 3．（2020秋•秦淮区校级月考）如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 解：①的角平分线和的外角平分线， ， ， 在中，， ， ， ，故本小题正确； ②，（已证）， ， 为的角平分线， ， 在和中，， ， ，；故②正确； ③，， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ， ，故③小题正确； ④，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，， ， ， 不成立，故本小题错误， 综上所述①②③正确． 故选：． 4．（2023秋•高新区校级月考）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，交于， ①，， ， ， ；故①正确； ②平分交于， ， ， ， ， ， 即， 故②正确； ③平分交于， 点到和的距离相等， ；故③正确， ④，， ， ， ， ；故④正确； 故选：． 5．（2022秋•靖江市校级月考）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 线段，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， 中，， 故选：． 二．填空题 6．（2024•道县校级模拟）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 　52　度． 解：如图，延长和，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：52． 7．（2023秋•姜堰区期末）如图，的垂直平分线分别交，于点，，，，则点到点的距离是　6　． 解：如图，连接． ，， ，， 垂直平分， ． 故答案为：6． 8．（2022秋•丹阳市期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　12　． 解：如图，过点作于， ，平分，， ， 的面积． 故答案为：12． 9．（2022秋•高新区校级月考）已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是：　　． 解：平分，平分， ，， ， 即； 如图，连接． 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：． 10．（2021秋•如皋市校级月考）如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点、分别在边、上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 　4　． 解：如图，过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接． 平分，平分，，，， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， ， 的周长为4， 故答案为：4． 三．解答题 11．（2019秋•平山县期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．求证：是的角平分线． 证明：，， 和是直角三角形． ， ， ， ，，， ， ， 是的角平分线． 12．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分． 证明：设、的交点为， 平分，，， ． ，， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线 是线段的垂直平分线． 13．（2022秋•兴化市校级月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． （1）证明：连接， 于点，且为线段的中点， 垂直平分， ， 垂直平分， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（2016秋•江都区校级期中）如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，若．求证：平分． 证明：，， ． 在与中， ， ． ， 是的平分线． 15．（2022秋•玄武区期末）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　． （1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）①证明：延长，与交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点； ②解：，理由如下： 如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十二讲 线段、角的轴对称性 教学目标： 1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题； 探索并掌握角平分线的性质定理和判定定理; 2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；能利用所学知识解决实际问题； 3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点： 利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线，角平分线的性质． 教学难点： 1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；理解“点在角平分线上”的证明方法 2．运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等． 五大知识点精讲分析 2 考点讲练1：角平分线的性质定理 7 考点讲练2：角平分线的判定定理 8 考点讲练3：角平分线性质的实际应用 9 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 11 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 12 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 14 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 15 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 16 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 17 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 19 中档题真题练 20 培优题真题练 25 五大知识点精讲分析 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？ 1. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2. 性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 3. 几何语言 如图2.4-1， ∵点A在线段BC的垂直平分线上， ∴ AB＝AC. 4. 易错提醒 线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴. 特别解读 1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”. 2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 例1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1， 则AC的长为(　　) A. 16　　　　　B. 15 C. 14　　　　　D. 13 方法点拨 利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化是一种常用的解题方法．本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质， 将△BEG的周长转化为线段 AC＋2GE的长，最后代入求解． 1. 判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言 如图2.4-3，∵ AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. 3. 拓展 (1)线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合； (2)三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离都相等. 特别提醒 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直. 例1 如图2.4-4，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF. 请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等. 用尺规作线段AB的垂直平分线的画法： (1)分别以点A、B为圆心，大于AB的长为 半径画弧，两弧相交于点C、D； (2)过C、D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图2.4-5. 易错警示 作线段AB的垂直平分线时，必须以大于AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相交或只有一个交点. 例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图2.4-6 中作出点C. 方法点拨 尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹. 1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2. 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 3. 几何语言 如图2.4-7， ∵ OP平分∠AOB， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴ PD＝PE. 4. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较 相同点：两者都可以直接得到两条线段相等； 不同点： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到线的距离. 特别提醒 1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等). 2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”. 例 4 如图2.4-8，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若△ABC的面积是12 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm，则DF＝________cm． 方法点拨 运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题. 1. 判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言 如图2.4-9， ∵ P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备； (2)点在角的平分线上⇔ (角的内部的)点到角两边的距离相等. 4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等. 特别提醒 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 例 5 如图2.4-10，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，连接AD. 求证：AD平分∠BAC. 方法点拨 证明角平分线的方法: 1. 从数量上证明被要证的线分成的两个角相等. 2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想. 考点讲练1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【举一反三1】（2024·吉林白山·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】（2024·山东济宁·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ． 考点讲练2：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【举一反三1】（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【举一反三2】（23-24七年级下·山西运城·期中）如图，已知，，，请说明平分． 考点讲练3：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【举一反三1】（2024·陕西西安·三模）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三2】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 考点讲练4：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 【举一反三1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 考点讲练5：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【举一反三1】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 考点讲练6：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 【举一反三1】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【举一反三2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 考点讲练7：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【举一反三1】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（      ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【举一反三2】（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 考点讲练8：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【举一反三1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【举一反三2】（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 考点讲练9：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【举一反三1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． (1)画出线段关于平面镜所成像； (2)一束光线从A点出发经平面镜上P点反射后经过点B，请在平面镜上确定点P，保留作图痕迹；（提示此时周长最小） (3)描出线段上的点M及直线上的点N，使得直线垂直平分． 【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 考点讲练10：轴对称综合题（几何变换） 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西安康·期末）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【举一反三2】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：，点M和点N试在上分别找点P、Q，使四边形的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 中档题真题练 1．（2022秋•仪征市校级月考）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•高新区校级月考）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是　　 A．3 B．2.4 C．4 D．5 3．（2023秋•宝应县期中）如图，点是的角平分线上一点，，，点是射线上的一个动点．若的最小值为4，则的面积为　　 A．6 B．8 C．16 D．32 4．（2023秋•大丰区期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，若，，则的周长为　　 A．16 B．21 C．24 D．26 二．填空题 5．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在中，，平分，，，则的面积是 　　． 6．（2023秋•邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则　　． 7．（2023秋•建邺区期末）如图，在中，平分，，，，则点到的距离为 　　． 8．（2023秋•高港区期末）如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点、时，需满足的取值范围为 　　． 三．解答题 9．（2017秋•兴化市校级月考）电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．请在图中作出发射塔的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知点是上一点，，，垂足分别为、，连接，若垂直平分，求证：是的角平分线． 11．（2022秋•天宁区校级月考）如图，在中，，是的延长线上一点，是的垂直平分线，交于，求证：在的垂直平分线上． 12．（2024•建湖县二模）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 13．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分． 14．（2022秋•苏州期中）如图，在的两边、上分别取点、，连接．若平分，平分． （1）求证：平分； （2）若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 15．（2022秋•兴化市月考）如图，在中，，，点为、的角平分线的交点． （1）的度数是 　　． （2）请问点是否在的角平分线上？请说明理由． （3）证明：． 培优题真题练 一．选择题 1．（2019秋•建湖县期中）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 A． B． C． D． 2．（2023秋•建湖县期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是　　 A．10 B．8 C．6 D．5 3．（2020秋•秦淮区校级月考）如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•高新区校级月考）如图，中，交于，平分交于，为的延长线上一点，交的延长线于，的延长线交于，连接，下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022秋•靖江市校级月考）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 二．填空题 6．（2024•道县校级模拟）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 　　度． 7．（2023秋•姜堰区期末）如图，的垂直平分线分别交，于点，，，，则点到点的距离是　 　． 8．（2022秋•丹阳市期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 　　． 9．（2022秋•高新区校级月考）已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是：　　． 10．（2021秋•如皋市校级月考）如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点、分别在边、上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 　　． 三．解答题 11．（2019秋•平山县期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，．求证：是的角平分线． 12．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分． 13．（2022秋•兴化市校级月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 14．（2016秋•江都区校级期中）如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，若．求证：平分． 15．（2022秋•玄武区期末）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$