（复习篇）第三讲 二元一次方程组-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第三讲 二元一次方程组 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）对于有理数、定义一种运算“□”：□，其中、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□，4□，则1□1的值为　　 A． B． C．1 D．11 2．（2分）二元一次方程的正整数解有　　组． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2分）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有名学生，本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①；②；③；④．其中符合题意的是　　 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 4．（2分）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．48 B．44 C．36 D．24 5．（2分）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形则图中阴影部分的周长是　　 A． B． C． D． 6．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了　　分． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”问这批银子共有多少两．（注：明代时1斤两）　　 A．46 B．48 C．54 D．64 8．（2分）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有　　 ①，； ②若，则； ③若，则、有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若，，对任意有理数、都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（2分）某市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2分）图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）已知，满足方程组，则　　． 12．（2分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三．问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买羊的人有 　　个． 13．（2分）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　　米． 14．（2分）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 　　． 15．（2分）有四个完全相同的小长方形与两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示的尺寸，分别用含，的式子表示：①小长方形的宽等于 　　，②大、小长方形的长之差（即等于 　　． 16．（2分）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　　分钟． 17．（2分）俗话说“过了腊八就是年”某食品公司为迎合不同顾客的需求，在腊八节前夕推出了甲、乙、丙三种杂粮礼盒．已知甲种礼盒与乙种礼盒的成本之比为，售价之比为，其中卖出一盒乙礼盒的利润率为，卖出一盒丙礼盒的利润率为，当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为时，公司得到的总利润率为，则当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为时，该公司得到的总利润率为 　　． 18．（2分）2019年9月，重庆来福士广场正式开放购物中心，小开家准备将购物中心一间店面分成，，三个区域来经营三种商品．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小开主动帮助爸爸划分三个区域的占地面积，划分完毕后，爸爸发现小开粗心地将原区的面积错划分给了区，而原区的面积错划分绘了区，区面积未出错，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的分两部分划分给现在的区和区．若爸爸划分完后，，，三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与店面总面积的比为　　． 19．（2分）三位同学去买橡皮、铅笔和尺子，第一位同学买了3块橡皮、7支铅笔和1把尺子，共花了3、15元；第二位同学买了4块橡皮、10支铅笔和1把尺子，共花了4.20元；第三位同学买了1块橡皮、1支铅笔和1把尺子，花了　 　元． 20．（2分）量子中学国精部社会实践活动策划了咖啡售卖活动，现推出、、三种新饮品试销．9月份、、三种饮品的销量之比为．为了回馈同学们对饮品的喜爱，10月份负责运营的同学对三种饮品的售价做了调整，将饮品的价格打8折销售，的价格不变，并停止销售饮品．结果原来销量的转移购买了，其余转移购买了．10月的总销量在9月的基础上增加了，其中饮品的销量除去从转移过的部分还增长了，10月的销售额占10月总销售额的，10月的销售总额是9月销售总额的倍，则9月的销售额与9、10两月的销售总额的比为 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 22．（6分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． （1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 23．（6分）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． （1）表中的值为 　　； （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元度，求老李家8月份的用电量． 24．（6分）2023年9月，第19届亚运会在杭州举行，本届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人．某纪念品店购进了一批亚运会吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”共100个，花费4400元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价（元个） 40 50 售价（元个） 60 65 （1）该纪念品店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）在（1）问的情况下，若把所购进的“琮琮”“莲莲”两种吉祥物全部销售完，利润率能否超过？请说明理由． 25．（6分）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料600米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？ 26．（6分）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： （1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？ （2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算． 27．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲，乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家裔场买6个水瓶和30个水杯，请问选择哪家商场更合算？请设计出所有方案且选择出最佳方案，并说明理由． 28．（8分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 29．（8分）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（旧知回顾） 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第三讲 二元一次方程组 （导图指引+知识梳理+易错压轴双练培优卷） 知识点01：二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点04：三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 一．选择题（本大题有9小题，每小题2分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）对于有理数、定义一种运算“□”：□，其中、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□，4□，则1□1的值为　　 A． B． C．1 D．11 解：□，4□， ， 解这个方程组，得 ， 所以1□． 故选：． 2．（2分）二元一次方程的正整数解有　　组． A．1 B．2 C．3 D．4 解：， ， ， ，都是正整数， 为3的倍数， ，解得：（不合题意舍去）； ，解得：，则； ，解得：（不合题意舍去）； ，解得：（不合题意舍去）； ，解得：（不合题意舍去）； ，解得：（不合题意舍去）； ， 二元一次方程的正整数解有1组，为， 故选：． 3．（2分）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有名学生，本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①；②；③；④．其中符合题意的是　　 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 解：根据书的数量相等可列方程为，根据学生的人数相等可列方程为， 所以符合题意的是①④． 故选：． 4．（2分）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．48 B．44 C．36 D．24 解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积为． 故选：． 5．（2分）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形则图中阴影部分的周长是　　 A． B． C． D． 解：设白色小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 大长方形的长、宽分别为、， 左边阴影部分的长为，宽为，右边阴影部分的长为，宽为， 阴影部分的周长 ， 故选：． 6．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了　　分． A．1 B．2 C．3 D．4 解：乙得了7分，只能是乙胜2场平1场；丙得了1分，则丙负2场平1场；丁得了6分，丁胜2场负1场． 又甲只输了一场，根据胜场数等于负场数，得出甲只能是平2场负1场，得2分． 故选：． 7．（2分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”问这批银子共有多少两．（注：明代时1斤两）　　 A．46 B．48 C．54 D．64 解：设这批银子共有两，共有人分银子， 半斤两， 根据题意，可得：， 解得：， 这批银子共有46两． 故选：． 8．（2分）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有　　 ①，； ②若，则； ③若，则、有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若，，对任意有理数、都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：由题意，得 ， 解得， 故①正确； 由，， 可得， ， ， 解得， ， 故②正确； ， 则， 当为整数时， ，，， 当时， 解得， ， 符合题意； 当时， 解得， 不合题意； 当时， 解得， 不合题意； 当时， 解得， ， 符合题意； 当时， 解得， 不合题意； 当时， 解得， 不合题意， 此时有两组整数解，故③正确； ，， 无论取何值时，的值均不变， 或， 解得或， 故④错误； 当，，时， 则， ， ， 即， ，，对任意有理数、都成立， ，故⑤正确； 结论①②③⑤正确， 结论正确的共4个， 故选：． 9．（2分）某市出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了，付了28元．设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 解：设这种出租车的起步价为元，超过后每千米收费元，根据题意得，， 故选：． 10．（2分）图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为　　 A． B． C． D． 解：设小长方形的长为，宽为， 由图1得：， ， 由图2得：长方形的长表示为：，宽表示为， 周长为： 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上） 11．（2分）已知，满足方程组，则　3　． 解：， ①②，可得， 解得：， 把，代入②，可得， 解得：， ， 故答案为：3． 12．（2分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三．问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买羊的人有 　21　个． 解：设买羊的人有个，羊价为元， 由题意得：， 解得：， 即买羊的人有21个， 故答案为：21． 13．（2分）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　55　米． 解：设哥哥每分钟跑米，弟弟每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 即哥哥每分钟跑55米， 故答案为：55． 14．（2分）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 　　． 解：由题意得： ； 故答案为：． 15．（2分）有四个完全相同的小长方形与两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示的尺寸，分别用含，的式子表示：①小长方形的宽等于 　　，②大、小长方形的长之差（即等于 　　． 解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得， 即， ． 故答案为：，． 16．（2分）五羊公共汽车公司的555路车在，两个总站间往返行驶，来回均为每隔分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则　4　分钟． 解：设路车的速度为，小宏的速度为． ， 解得， 代入第2个方程得， 故答案为4． 17．（2分）俗话说“过了腊八就是年”某食品公司为迎合不同顾客的需求，在腊八节前夕推出了甲、乙、丙三种杂粮礼盒．已知甲种礼盒与乙种礼盒的成本之比为，售价之比为，其中卖出一盒乙礼盒的利润率为，卖出一盒丙礼盒的利润率为，当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为时，公司得到的总利润率为，则当售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数之比为时，该公司得到的总利润率为 　　． 解：设甲，乙两种礼盒的成本分别是元，元，售价分别是元，元， ， ， 卖出一盒甲礼盒的利润率为：， 设丙种礼盒的成本是元，售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为，，， 由题意得：， ， 设售出的甲、乙、丙杂粮礼盒盒数分别为，，， 由题意得：． 故答案为：． 18．（2分）2019年9月，重庆来福士广场正式开放购物中心，小开家准备将购物中心一间店面分成，，三个区域来经营三种商品．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小开主动帮助爸爸划分三个区域的占地面积，划分完毕后，爸爸发现小开粗心地将原区的面积错划分给了区，而原区的面积错划分绘了区，区面积未出错，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的分两部分划分给现在的区和区．若爸爸划分完后，，，三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与店面总面积的比为　　． 解：设计划、、三个区域的占地面积分别为，，， 由题意得：， 解得：． 原区的面积错划分给了区，而原区的面积错划分给了区， 区的面积为：， 区的面积为：， 将区面积的分两部分划分给现在的区和区．，，三个区域的面积比变为， ， 解得：． 则最后划分后区面积为：， 原区的面积的为， 设区的面积的分两部分划分给现在的区的面积是，则划分给区的面积是， 由题意得：， 解得：． 爸爸从区划分给区的面积与店面总面积的比为： ． 故答案为：． 19．（2分）三位同学去买橡皮、铅笔和尺子，第一位同学买了3块橡皮、7支铅笔和1把尺子，共花了3、15元；第二位同学买了4块橡皮、10支铅笔和1把尺子，共花了4.20元；第三位同学买了1块橡皮、1支铅笔和1把尺子，花了　1.05　元． 解：设购一块橡皮，一支铅笔，一把尺子分别需要，，元， 根据题意得， ②①得， ③ ②③得，． 故答案为：1.05． 20．（2分）量子中学国精部社会实践活动策划了咖啡售卖活动，现推出、、三种新饮品试销．9月份、、三种饮品的销量之比为．为了回馈同学们对饮品的喜爱，10月份负责运营的同学对三种饮品的售价做了调整，将饮品的价格打8折销售，的价格不变，并停止销售饮品．结果原来销量的转移购买了，其余转移购买了．10月的总销量在9月的基础上增加了，其中饮品的销量除去从转移过的部分还增长了，10月的销售额占10月总销售额的，10月的销售总额是9月销售总额的倍，则9月的销售额与9、10两月的销售总额的比为 　　． 解：根据题意可设出、、三种新饮品的销售单价分别为、、元， 月份、、三种饮品的销量之比为， 可设9月份、、三种饮品的销量分别为、、瓶，则9月份的总销量为瓶， 月的总销量在9月的基础上增加了， 月份的总销量（瓶， 饮品的价格打8折销售， 调整后饮品的价格为元， 原来销量的转移购买了，其余转移购买了，其中饮品的销量除去从转移过的部分还增长了， 月份饮品的销量（瓶， 月份饮品的销量（瓶， 月的销售额占10月总销售额的， 可列方程得：， 整理可得：， 月份的销售总额（元， 月的销售总额是9月销售总额的倍， 可列方程得：， 整理可得：， 月销售总额（元，9月的销售额（元， 月的销售额与9、10两月的销售总额的比， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（6分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克． 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克． 22．（6分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． （1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 解：（1）设种飞船模型每件进价元，种飞船模型每件进价元， 根据题意，得， 解得， 答：种飞船模型每件进价25元，种飞船模型每件进价15元； （2）设购进件型飞船模型和件型飞船模型， 根据题意，得， ， ，均为正整数， 当时，；当时，；当时，， 所有购买方案如下： ①购进7件型飞船模型和5件型飞船模型； ②购进4件型飞船模型和10件型飞船模型； ③购进1件型飞船模型和15件型飞船模型． 23．（6分）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． （1）表中的值为 　0.6　； （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元度，求老李家8月份的用电量． 解：（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：0.6． （2）设老李家9月份的用电量为度， （元， （元， ， ． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 24．（6分）2023年9月，第19届亚运会在杭州举行，本届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人．某纪念品店购进了一批亚运会吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”共100个，花费4400元，这两种吉祥物的进价和售价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价（元个） 40 50 售价（元个） 60 65 （1）该纪念品店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ （2）在（1）问的情况下，若把所购进的“琮琮”“莲莲”两种吉祥物全部销售完，利润率能否超过？请说明理由． 解：（1）设购进“琮琮” 个，则购进“莲莲” 个， 根据题意得， 解得， ， 答：该纪念品店购进“琮琮”60个，“莲莲”40个； （2）能，理由如下： ， ， 利润率能超过． 25．（6分）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料600米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？ 解：做上衣的布料用，做裤子的布料用， 由题意得，， 解得：． 则． 答：做上衣的布料用，做裤子的布料用． 26．（6分）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： （1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？ （2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算． 解：（1）设参加春游的学生共人，原计划租用45座客车辆． 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆； （2）租45座客车：（辆，所以需租6辆，租金为（元， 租60座客车：（辆，所以需租4辆，租金为（元． 答：租用4辆60座客车更合算． 27．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ （2）甲，乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家裔场买6个水瓶和30个水杯，请问选择哪家商场更合算？请设计出所有方案且选择出最佳方案，并说明理由． 解：（1）设一个水瓶元，表示出一个水杯为元， 根据题意得：， 解得：， （元， 答：一个水瓶40元，一个水杯是10元； （2）方案一：甲商场所需费用为（元； 方案二：乙商场所需费用为（元； 选择乙商场购买更合算； 方案三：乙商场购买6个水瓶送12个水杯；剩下的18个水杯去甲商场购买， （元； ， 乙商场购买6个水瓶送12个水杯；剩下的18个水杯去甲商场购买，最合算． 28．（8分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即的值是2.2，的值是4.2； （2）设小王家6月份用水吨， 根据题意知，30吨的水费为：， ， 小王家6月份计划用水超过了30吨 ， 解得， 即小王家6月份用水量40吨． 29．（8分）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　64　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$