（预习篇）第一讲 与三角形有关的线段（知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练）2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第一讲 与三角形有关的线段 知识与能力：认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。 过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系。 情感态度与价值观：懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题。 教学重点：三角形三边关系的探究和归纳三角形边角关系是平面几何中的几何形态问题。 在突出重点时，主要在学生已有知识经验（两点之间线段最短）的基础上，大胆提出猜想：三角形两边之和大于第三边.利用课前准备好的小木棒，让学生动手操作，体验思考、实验和归纳的过程，加深对三边关系的理解和记忆.此外，教学中还可辅以几何画板进行动画演示，对实验过程进行直观的演示.教师在学生小组动手操作过程中进行个别的指导，在动画演示过程中进行讲解，以明确学生的认识. 教学难点：三角形三边关系的应用。三角形的三边关系不仅涉及到几何的重要内容，而且同不等式有机结合，这给学生理解三角形的三边关系带来了很大的难度.学生往往能够记住这些结论，但是在实际应用时，缺乏灵活的分析和判断能力.另通过学生对三角形三边关系的实际例子的分析和操作，实现对三边关系的判断过程的把握，从而提高利用不等关系解决实际问题的能力. 考点01：三角形的概念 2 考点02：三角形的三边关系 3 考点03：三角形的稳定性 4 考点04：三角形的角平分线、中线和高 5 考点05：三角形的重心 7 中档题真题训练 8 拔高题真题训练 12 【知识点1 三角形的概念】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 【知识点2 三角形的分类】 按边分类：三角形 按角分类：三角形 考点01：三角形的概念 【典例精讲】（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形； （2）计算出的周长． 【举一反三01】（2022春•九台市期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 【举一反三02】（2023秋•确山县期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【知识点3 三角形的三边关系】 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 考点02：三角形的三边关系 【典例精讲】（2024春•秦淮区期末）三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 【举一反三01】（2023秋•夏邑县期末）已知三角形三边长分别为2，3，，则写出所有符合条件的整数的值 　 　． 【举一反三02】（2022秋•婺城区期末）若、、为三角形的三边，且，满足，则第三边的取值范围是　　． 【举一反三03】（2024春•海门区校级月考）在中，，； （1）若是整数，求的长； （2）已知是的中线，若的周长为20，求的周长． 【知识点4 三角形的稳定性】 当三角形三边的长度确定后，阿三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中. 考点03：三角形的稳定性 【典例精讲】（2024•南关区校级模拟）在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是　　 A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【举一反三01】（2023秋•扶余市期末）下列说法正确的是　　 A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 【举一反三02】（2023秋•海曙区期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　 　． 【举一反三03】（2022秋•湟中区校级月考）（1）下列图形中具有稳定性是 　；（只填图形序号） （2） 对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【知识点5 三角形的角平分线、中线和高】 （1） 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 考点04：三角形的角平分线、中线和高 【典例精讲】（2024春•新郑市期末）如图，中，交的延长线于点，交的延长线于，，下列说法错误的是　　 A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．线段长表示点到直线的距离 【举一反三01】（2024•仓山区校级模拟）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 　 　． 【举一反三02】．（2023秋•安顺期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 　　． 【举一反三03】（2024春•松江区校级月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 考点05：三角形的重心 【典例精讲】（2023春•井冈山市期末）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的　　 A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【举一反三01】（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 　　． 【举一反三02】（2023秋•互助县期中）如图：、是的中线，、相交于，若厘米，则　　厘米． 中档题真题训练 1．（2024八下·信宜期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 2．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024八上·海曙期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2024八下·昭平期中）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为　 　. 5．（2024八下·开原月考）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是　 　． 6．（2024八下·湖北月考）如图，在中，，以AC，BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF，若图中阴影部分的面积为16，，则BD的长为　 　． 7．（2024·靖宇模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点若，，则线段的长为　 　． 8．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 9．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°.求∠DAE的度数. 10．（2023八上·赵县月考）在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点． （1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积． （2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝　 　． 11．（2023八上·封开期中）如图，点在第一象限，点B（0，-4）在y轴负半轴上. （1）求△AOB的面积； （2）坐标轴上是否存在点D（不和点B重合），使S△AOD＝S△AOB？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若OA与x轴正半轴形成的夹角为60°，射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA′，射线BO绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到BO'，当BO转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA′∥BO'？ 12．（2023八上·自贡月考）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ． （1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长； （2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数． 拔高题真题训练 13．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2024八上·安陆期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024八上·威宁期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm. 17．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则　 　． 18．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为　 　． 19．（2024八上·杭州月考）如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点． （1）求证：点也是的中点； （2）若，且，，，求的长； （3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长． 20．（2024八上·文山期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B两点；过点D（0，2）作直线CD与x轴交于点C，交直线AB于点E，且点E的横坐标为． （1）直接写出点A，点B的坐标； （2）求△ACE的面积； （3）如图乙，若点M是线段AB上一动点，连接OM，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 21．（2024八上·新都期末） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已如点. （1）求直线的表达式； （2）点是直线上一动点，且和的面积相等，求点坐标； （3）在平面内是否存在点，使得是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 22．（2024八上·江北期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC. （1）当时，求点C的坐标； （2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； （3）当S△AOB=2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标. 23．（2024八上·新都期末） 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C （1）求k，m的值； （2）求的面积； （3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义 第一讲 与三角形有关的线段 知识与能力：认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。 过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系。 情感态度与价值观：懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题。 教学重点：三角形三边关系的探究和归纳三角形边角关系是平面几何中的几何形态问题。 在突出重点时，主要在学生已有知识经验（两点之间线段最短）的基础上，大胆提出猜想：三角形两边之和大于第三边.利用课前准备好的小木棒，让学生动手操作，体验思考、实验和归纳的过程，加深对三边关系的理解和记忆.此外，教学中还可辅以几何画板进行动画演示，对实验过程进行直观的演示.教师在学生小组动手操作过程中进行个别的指导，在动画演示过程中进行讲解，以明确学生的认识. 教学难点：三角形三边关系的应用。三角形的三边关系不仅涉及到几何的重要内容，而且同不等式有机结合，这给学生理解三角形的三边关系带来了很大的难度.学生往往能够记住这些结论，但是在实际应用时，缺乏灵活的分析和判断能力.另通过学生对三角形三边关系的实际例子的分析和操作，实现对三边关系的判断过程的把握，从而提高利用不等关系解决实际问题的能力. 考点01：三角形的概念 2 考点02：三角形的三边关系 4 考点03：三角形的稳定性 6 考点04：三角形的角平分线、中线和高 9 考点05：三角形的重心 11 中档题真题训练 13 拔高题真题训练 24 【知识点1 三角形的概念】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 【知识点2 三角形的分类】 按边分类：三角形 按角分类：三角形 考点01：三角形的概念 【典例精讲】（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形； （2）计算出的周长． 【思路点拨】（1）根据点的坐标确定点在坐标系中的位置； （2）求出边长即可求解． 【规范解答】解：（1）如图所示，就是所求作的三角形； （2）由图形可知，，，， 的周长为16． 【考点评析】本题主要考查点的坐标及平面直角坐标系中图形周长的求法，确定图中三角形的边长是解题的关键． 【举一反三01】（2022春•九台市期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 【思路点拨】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第个图形中的三角形的个数． 【规范解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； 第个图形中有个三角形． 故答案为3，5，7，13，． 【考点评析】本题考查了图形的变化类规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【举一反三02】（2023秋•确山县期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【思路点拨】（1）以为边的三角形有4个； （2）以为顶点的三角形有3个，除外，还有2个． 【规范解答】解：（1）以为边的三角形有4个，，，，． （2）除外，以点为顶点的三角形还有、． 【考点评析】本题考查的是认识三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【知识点3 三角形的三边关系】 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 考点02：三角形的三边关系 【典例精讲】（2024春•秦淮区期末）三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案． 【规范解答】解：设第三边长为 ，有三角形的三边关系可得： ， 即， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【举一反三01】（2023秋•夏邑县期末）已知三角形三边长分别为2，3，，则写出所有符合条件的整数的值 　2，3，4　． 【思路点拨】利用三角形的三边关系求解． 【规范解答】解：由题意， ， 整数的值为2，3，4． 故答案为：2、3、4． 【考点评析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是判断出的取值范围． 【举一反三02】（2022秋•婺城区期末）若、、为三角形的三边，且，满足，则第三边的取值范围是　　． 【思路点拨】根据非负数的性质列式求出、，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【规范解答】解：由题意得，，， 解得，， ，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系． 【举一反三03】（2024春•海门区校级月考）在中，，； （1）若是整数，求的长； （2）已知是的中线，若的周长为20，求的周长． 【思路点拨】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到，即可得到的长； （2）由三角形中线的定义，得到，得到，即可求出的周长． 【规范解答】解：（1）由三角形三边关系定理得：， ， 是整数， ； （2）是的中线， ， 的周长， ， ， 的周长． 【考点评析】本题考查三角形三边关系，三角形的中线，关键是掌握三角形三边关系定理． 【知识点4 三角形的稳定性】 当三角形三边的长度确定后，阿三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中. 考点03：三角形的稳定性 【典例精讲】（2024•南关区校级模拟）在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是　　 A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【思路点拨】模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释． 【规范解答】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：． 【考点评析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【举一反三01】（2023秋•扶余市期末）下列说法正确的是　　 A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 【思路点拨】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论． 【规范解答】解：．三角形的三条中线交于一点，正确； ．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误； ．三角形一定具有稳定性，错误； ．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【举一反三02】（2023秋•海曙区期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　三角形具有稳定性　． 【思路点拨】根据三角形的稳定性解答即可． 【规范解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【考点评析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 【举一反三03】（2022秋•湟中区校级月考）（1）下列图形中具有稳定性是　①④⑥　；（只填图形序号） （2） 对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【思路点拨】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【规范解答】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个． （3） 如图所示： 【考点评析】本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【知识点5 三角形的角平分线、中线和高】 （1） 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 考点04：三角形的角平分线、中线和高 【典例精讲】（2024春•新郑市期末）如图，中，交的延长线于点，交的延长线于，，下列说法错误的是　　 A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．线段长表示点到直线的距离 【思路点拨】根据三角形的高的概念、点到直线的距离的概念判断即可． 【规范解答】解：、是的高，说法正确，不符合题意； 、是的高，说法正确，不符合题意； 、是的高，说法正确，不符合题意； 、线段长不能表示点到直线的距离，故本选项说法错误，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高、点到直线的距离，掌握三角形的高的概念、点到直线的距离的概念是解题的关键． 【举一反三01】（2024•仓山区校级模拟）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 　23　． 【思路点拨】根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可． 【规范解答】解：是边上的中线， ， 和周长的差， 的周长为，比长， 周长为：． 故答案为23． 【考点评析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键． 【举一反三02】．（2023秋•安顺期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 　　． 【思路点拨】根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【规范解答】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【举一反三03】（2024春•松江区校级月考）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【思路点拨】根据三角形的中线，角平分线，高的定义画出图形 【规范解答】解：如图为中线，为角平分线，为高 【考点评析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高，解题的关键是理解三角形的中线，角平分线，高的定义． 考点05：三角形的重心 【典例精讲】（2023春•井冈山市期末）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的　　 A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【思路点拨】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【规范解答】解：支撑点应是三角形的重心， 三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：． 【考点评析】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用． 【举一反三01】（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 　点　． 【思路点拨】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案． 【规范解答】解：由勾股定理得：， 是的中线， ， 是的中线， 表示三条中线的交点是点． 故答案为：点． 【考点评析】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义． 【举一反三02】（2023秋•互助县期中）如图：、是的中线，、相交于，若厘米，则　　厘米． 【思路点拨】由题意可知，厘米，即，又点是三角形的重心，所以，，解出即可． 【规范解答】解：、是的中线，、相交于， ， 由厘米， ， 得，； 故答案为． 【考点评析】本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 中档题真题训练 1．（2024八下·信宜期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【规范解答】解：当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形； 当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形， ∴它的周长为5+5+2=12. 故答案为：C 【思路点拨】当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，然后求出此三角形的周长. 2．（2024八上·随县期末）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 3．（2024八上·海曙期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵BP⊥AP， ∴∠APB=∠BPD=90°， ∴∠BAP=∠BDP， ∴AB=BD， ∴AP=PD， ∴S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD， ∴S△APB+S△APC=S△BPD+S△CPD=S△BPC=S△ABC=×10=5. 故答案为：C. 【思路点拨】延长AP交BC于点D，利用角平分线的定义和垂直的定义可证得∠ABP=∠CBP，∠APB=∠BPD，利用三角形的内角和定理可证得∠BAP=∠BDP，利用等角对等边可证得AB=BD，利用等腰三角形的性质可得到AP=PD，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，据此可证得S△BPC=S△ABC，代入计算求出△PBC的面积. 4．（2024八下·昭平期中）如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为　 　. 【答案】 【规范解答】解：如图，作点关于的对称点， 过点作于点，交于点， 点即为所求作的点，此时有最小值， 连接，根据对称性的性质， ， 在中，，，， ， 在和中， ≌， ， 即， ， . 故答案为：. 【思路点拨】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，最小值为B'D的长，求出此时B'D的长即可. 5．（2024八下·开原月考）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是　 　． 【答案】15 【规范解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=3， ∴△ABD的面积； 故答案为：15. 【思路点拨】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求得DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可. 6．（2024八下·湖北月考）如图，在中，，以AC，BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF，若图中阴影部分的面积为16，，则BD的长为　 　． 【答案】6 【规范解答】解：根据题意，得：AC2+BC2=16，， ∴AC×BC=10， ∴(AC+BC)2=AC2+2AC×BC+BC2=16+20=36， ∴AC+BC=6， ∴BD=DC+BC=AC+BC=6。 故答案为：6. 【思路点拨】首先根据题意，得：AC2+BC2=16，，然后根据完全平方公式变形可求得AC+BC=6，进而得出BD=DC+BC=AC+BC=6。 7．（2024·靖宇模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点若，，则线段的长为　 　． 【答案】4 【规范解答】解：如图所示：过点D作于点H， ，， ， 解得：DH=4， 由作图步骤①②可知：DP是的角平分线， . 故答案为：4. 【思路点拨】过点D作于点H，根据三角形的面积计算公式可得DH=4，再根据作图步骤可知DP是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得. 8．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示： ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴M是BC的中点， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM＝＝4， ∴△ABC的面积＝BC•AM＝×6×4＝12； （2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示： ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， ∵△ABC的面积＝AC•BN＝×5•BN＝12； ∴BN＝， AN＝ ∴AD＝2AN＝． 【思路点拨】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可. （2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可. 9．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°.求∠DAE的度数. 【答案】解：∵在△ABC中，， ∴ ∵AD为∠BAC的平分线 ∴ ∵∠CEA＝∠B＋∠BAE，∠CEA＝50° ∴∠BAE＝50°－38°＝12° ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝26°－12°＝14° 【思路点拨】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出 ∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝26°－12°＝14°即可. 10．（2023八上·赵县月考）在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点． （1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积． （2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝　 　． 【答案】（1）解： ， ， 分别为边 ， ， 的中点， ， ， ， 的面积相等． 与 的面积相等． ． ． （2） 【规范解答】解：（2） 为边 的中点， ． ， ， 分别为边 ， ， 的中点， ， ， ， 的面积相等． 故答案为： ． 【思路点拨】（1）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得 ， ， ， 的面积相等， 与 的面积相等，从而得出= ，据此即得结论； （2）由（1）可得，从而得出结论. 11．（2023八上·封开期中）如图，点在第一象限，点B（0，-4）在y轴负半轴上. （1）求△AOB的面积； （2）坐标轴上是否存在点D（不和点B重合），使S△AOD＝S△AOB？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若OA与x轴正半轴形成的夹角为60°，射线OA绕O点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA′，射线BO绕B点以每秒10°的速度顺时针旋转到BO'，当BO转动一周时两者都停止运动.若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA′∥BO'？ 【答案】（1）解：∵B（0，-4）， ∴OB＝4， ∵ ， ∴△AOB的面积＝ ， 即△AOB的面积为 . （2）解：存在点D（不和点B重合），点D的坐标是 或 或（0，4） （3）解：设两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过t秒，OA'∥BO'， 如图1， 根据同位角相等，两直线平行得，（90°-60°）+4t＝10t， 解得，t＝5， 即经过5秒时，OA'∥BO'； 如图2， 根据内错角相等，两直线平行得，180°-[（90-60°）+4°×t]＝360°-10°×t， 解得，t＝35， 即经过35秒时，OA'∥BO'； 综上所述，在旋转过程中，经过5秒或35秒，OA'∥BO'. 【规范解答】解：（2）当点D在x轴上时，设点D（m，0）， 则OD＝|m|， ∵S△AOD＝S△AOB， ∴ ， 即 ，∴ ，∴ 或 ， ∴D点坐标为 或 当点D在y轴上时，设点D（0，n）， 则OD＝|n|， ∵S△AOD＝S△AOB， ∴ ， 即 ，∴|n|＝4，∴n＝4或n＝-4（不合题意，舍去）， ∴D（0，4）， 综上所述，存在点D（不和点B重合），点D的坐标是 或 或（0，4）； 【思路点拨】（1）根据点B的坐标可得OB的值，然后根据三角形的面积公式进行计算； （2）当点D在x轴上时，设点D（m，0），则OD＝|m|，根据S△AOD＝S△AOB结合三角形的面积公式可求出m的值，得到点D的坐标；当点D在y轴上时，同理可得点D的坐标； （3）设两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过t秒，OA'∥BO'，根据同位角相等，两直线平行得(90°-60°)+4t＝10t；根据内错角相等，两直线平行得180°-[(90-60°)+4°×t]＝360°-10°×t，求解即可. 12．（2023八上·自贡月考）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ． （1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长； （2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数． 【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30， ∴ ×BC×AE=30， ∴ ×BC×6=30， ∴BC=10， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD= BC=5； （2）解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78° ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC=39°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=54°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°． 【思路点拨】（1）先利用三角形的面积公式求出BC的长，再根据 为边 上的中线，可得求出CD的长； （2）先利用三角形的内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAD，最后利用∠CAD-∠CAE即可得到答案。 拔高题真题训练 13．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【规范解答】解：∵△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G， ∴ ∵ ∴ ∴阴影部分面积为：2+2=4， 故答案为：B. 【思路点拨】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，进而可知：△ABC为阴影部分面积的三倍，即可求解. 14．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根， ∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x， ∴x＜6，y＜6，x+y＞6 又∵x，y是整数， ∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）： 2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5， ∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2， ∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况， ∴能摆出不同的三角形的个数是3． 故答案为：C． 【思路点拨】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可． 15．（2024八上·安陆期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【规范解答】解： ∴M’N’=M‘E， ∴CE=CM‘+M'E 当点M与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值 ∵三角形ABC的面积为8，AB=4， 即CM+MN的最小值为4. 故答案为：4. 【思路点拨】过点C作CEAB于点E，交BD于点M’，过点M作MN'LBC于N‘，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值. 16．（2024八上·威宁期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm. 【答案】30 【规范解答】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，如图所示： ∵△DCE的面积为，， ∴CD×EF=36， ∴3EF=36， 解得：EF=12， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AG=BH，DC//AB， ∴CH⊥DF， ∵CE⊥BC， ∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH， 在△ECF和△BCH中， ， ∴△ECF≌△BCH（AAS）， ∴EF=BH=12， ∴AG=12， ∵DG⊥AB，CH⊥AB，DC//AB， ∴GH=CD=6， ∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30， 故答案为：30. 【思路点拨】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，先利用三角形的面积公式求出EF的长，再利用“AAS”证出△ECF≌△BCH，可得EF=BH=12，再求出GH=CD=6，最后利用线段的和差求出AB的长即可. 17．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则　 　． 【答案】 【规范解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F， ∵AH是△ABC的高线， ∴∠F=∠AHB=90°， ∵AE∥BC， ∴∠EAF=∠CBA， ∵AE=AB， ∴△AEF≌△BAH（AAS）， ∴FE=AH， ∵DE=AC， ∴Rt△DEF≌Rt△CAH（HL）， ∴CH=DF，S△ACH=S△DFE， ∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE， ∴S△ABH：S△ADE=2：1， ∴BH：AD=2：1， ∴AD=， ∴DF=CH=1+=， ∴BC=BH+CH=. 故答案为：. 【思路点拨】过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，用AAS证△AEF≌△BAH，得FE=AH，再用HL证明Rt△DEF≌Rt△CAH，得CH=DF，S△ACH=S△DFE，然后根据等高的两个三角形的面积比等于底之比即可解决问题. 18．（2024八上·斗门期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为　 　． 【答案】9 【规范解答】解：如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N ∵AB=AC，AM⊥BC ∴ ∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC ∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90° ∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90° ∴∠MAC=∠NCE ∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE， ∴ ∴CM=EN=3 ∴ 故答案为：9. 【思路点拨】求三角形BCE的面积需要求高，可以通过构造一线三垂直全等得到答案. 19．（2024八上·杭州月考）如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点． （1）求证：点也是的中点； （2）若，且，，，求的长； （3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长． 【答案】（1）证明：， ，， 点为的中点， ， 在和中，， ， ， 点也是的中点； （2）解：，， ， 在中，， 由（1）得：， 在中，； （3）解：①当时，； ②当时，过点作于，如图1所示： 则， ， 即， ， 在中，， ； ③当时，如图2所示： ， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，是等腰三角形，的长为4或或． 【思路点拨】（1）利用平行线的性质可证得∠CEP=∠BAP，∠ECP=∠ABP，利用线段中点的定义可证得PE=PA，利用AAS证明△CEP≌△BAP，利用全等三角形的性质可证得PD=PB，即可证得结论. （2）利用勾股定理求出CP的长，可得到PB的长，利用勾股定理求出AP的长即可. （3）利用等腰三角形的性质分情况讨论：当AQ=AB时，可得到AQ的长；当BA=BQ时，利用三角形的面积公式求出BN的长，利用勾股定理求出AN的长，利用等腰三角形的性质可求出AQ的长；当AQ=BQ时，求出AQ的长；综上所述可得到符合题意的AQ的长. 20．（2024八上·文山期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B两点；过点D（0，2）作直线CD与x轴交于点C，交直线AB于点E，且点E的横坐标为． （1）直接写出点A，点B的坐标； （2）求△ACE的面积； （3）如图乙，若点M是线段AB上一动点，连接OM，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：A（﹣2，0），B（0，4） （2）解：∵点E的横坐标为， ∴E（﹣，）， 设直线EC的解析式为y＝kx+b， ∵D（0，2）， ∴，解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+2， ∴C（4，0）， ∴S△ACE＝×（4+2）×＝； （3）解：OM＝ON，理由如下： ∵OA＝2，BO＝4，OC＝4，OD＝2， ∴OA＝OD，OB＝OC， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴∠ABO＝∠OCD， ∵OM⊥ON， ∴∠MOB+∠BON＝∠BON+∠NOC＝90°， ∴∠MOB＝∠NOC， ∴△MOB≌△NOC（ASA）， ∴OM＝ON． 【规范解答】（1）将x=0代入y＝2x+4 ，可得y=4， ∴点B的坐标为（0，4）； 将y=0代入y＝2x+4 ，可得：x=-2， ∴点A的坐标为（-2，0）， ∴点A的坐标为（-2，0）； 故答案为： A（﹣2，0），B（0，4）. 【思路点拨】（1）将x=0和y=0分别代入y＝2x+4 ，求出点A、B的坐标即可； （2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式，再求出点C的坐标，最后利用三角形的面积公式求出△ACE的面积即可； （3）先利用“SAS”证出△AOB≌△DOC，可得∠ABO＝∠OCD，再利用角的运算求出∠MOB＝∠NOC，再利用“ASA”证出 △MOB≌△NOC，最后利用全等三角形的性质可得OM＝ON． 21．（2024八上·新都期末） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已如点. （1）求直线的表达式； （2）点是直线上一动点，且和的面积相等，求点坐标； （3）在平面内是否存在点，使得是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入表达式，得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ，， 设， 则，， 和的面积相等， ， 解得或， 点P的坐标为或； （3）解：是以为底的等腰直角三角形， ，， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得， ， 解得或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式即可； （2） 设， 则，， 再结合“和的面积相等， ”列出方程，再求解即可； （3） 设， 则，，， 再列出方程，求出m、n的值，从而可得点Q的坐标. 22．（2024八上·江北期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC. （1）当时，求点C的坐标； （2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； （3）当S△AOB=2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标. 【答案】（1）解：如上图：作CH⊥y轴于点H， 当 时， ， ∵x=0时，y=4；y=0时，x=5； ∴A(5，0)，B（0，4）， ∵CH⊥y轴于点H， ∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 又∵AB=BC ∴△AOB≌△BHC， ∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1， ∴C(-4，-1)； （2）解：当m值变化时，△BOC的面积不变， 因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4 ； （3）解：设A（4m，0）， ∵ ，A(4m，0)，B（0，4）， 又∵S△AOB=2S△BOC时， ， ∴m=2，OA=8， ， 由上图可知： 当 时， 在A的右侧， = +8， 在A的左侧， = ， ∴ ，0）， ，0）； 当 时， ，0）； 当 时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0） 由距离公式： 16w=48 w=3 ∴ （3，0）. 【思路点拨】（1） 作CH⊥y轴于点H， 利用同角的余角相等得∠1=∠3，从而用AAS证明△AOB≌△BDC，根据全等三角形的对应边相等得 BH=OA=5，CH=BO=4 ，从而可求出点C坐标； （2）由（1）得，CD＝OB＝4，可求得三角形BCO的面积不变； （3）由条件求得OA，AB的长，△PAB是等腰三角形，分为三种情形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB，当PA＝PB时，设点P坐标，根据PA2＝PB2列出方程求得，当PA＝AB时，可根据长度直接求得，当PB＝AB时，根据等腰三角形“三线合一”求得结果. 23．（2024八上·新都期末） 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C （1）求k，m的值； （2）求的面积； （3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标 【答案】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴， 即； （2）解：在函数中，令，则， 解得， ∴点C的坐标为， ∴． 过点作轴于点M，过点作轴于点N， ∴，， ∴ ； （3）解：点P的坐标为或，，． 【规范解答】解：（3）∵，，轴， ∴，， ∴在中，． ①如图，当，为等腰三角形， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图，当，为等腰三角形， 此时点P是线段的垂直平分线与x轴的交点， ∵， ∴点N在线段线段的垂直平分线上， 又点N在x轴上， ∴点P与点N重合， ∵，， ∴点P的坐标为； ③如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴， 则， ∴点P的坐标为； ④如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴， 则， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或，，． 【思路点拨】（1）将点B的坐标代入求出k的值，再将点代入解析式求出m的值即可； （2）过点作轴于点M，过点作轴于点N，先求出，， 再利用三角形的面积公式及割补法求出△AOB的面积即可； （3）分类讨论：①当，为等腰三角形，②当，为等腰三角形，③当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，④当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，再分别画出图形并求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$