第11章　三角形　第4课：三角形的内角和　七升八人教版数学衔接讲义　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第4课：三角形的内角和 七升八人教版数学衔接讲义 素养目标：1、了解三角形内角， 2、掌握三角形内角和定理的证明 3、会用三角形内角和进行角度的计算 教学重点：掌握三角形内角和的性质 教学难点：三角形内角和定理的证明方法 知识点一、1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° 解读：（1）三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系. （2）三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角. 2.三角形内角和定理的证明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如下图①②所示. 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如下图①②所示. 例1、∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. (1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数； (2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数； (3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 例2、一个零件的形状如图，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由. 例3、在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数. 针对练习1、∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数： (1)∠A＝80°，∠B＝∠C； (2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5. 针对练习2、某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？ 针对练习3、如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由． 小结： 巩固练习： 1．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 (　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 2．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于(　　) A．32° B．36° C．40° D．128° 3．一个三角形的两个内角之和小于第三个内角，那么该三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 4．下列各组角中属于同一个三角形的内角的是 (　　) A．85°，80°，15° B．60°，70°，68° C．37°，33°，50° D．26°，160°，140° 5．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 (　　) A．85° B．80° C．75° D．70° 第5题图　 第6题图 第7题图 6．如图，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 (　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 7．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1＋∠2等于 (　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 (　　) A．30° B．32° C．35° D．40° 第8题图　 第9题图 第10题图 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝(　　) A．10° 　　　B．30° C．65° 　　　D．85° 10．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于 (　　) A．95° B．120° C．135° D．无法确定 11．如图，在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，若∠BPC＝115°，则∠A的度数为(　　) A.70° B．65° C．60° D．50° 第11题图　 第14题图 第15题图 第16题图 12．三角形三个内角的和等于________．一个三角形中，最多有________个直角或________个钝角． 13．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是 . 14．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________． 15．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝_____°. 16．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则∠A的度数为 . 17．如图， 中， ， 平分 ．若 交 于F，求证： ． 18．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数． 19．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数． 20．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数　 　． 21．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”． (1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数． (2)是否存在“特征角”为120°的“特征三角形”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 22．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C. (1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？ (2)若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由． 课后作业： 1．如图，直线l1、l2分别与△ABC的两边AB、BC相交，且l1∥l2，若∠B＝35°，∠1＝105°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．50° C．40° D．60° 2．如图，AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，则∠EDF等于（　　）． A．α B．90°－α C．90°－α D．180°－2α 3．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（　　） A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135° 4．如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝　 　°． 5．在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=　 　． 6．如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=　 　°。 7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=　 　． 8．如图，在 中， ， ， 于D，AE平分 交BC于E， 于F，求 ． 9．如图，在 中， 为 的高， 为 的角平分线， 交 于点G， ， ，求 的大小. 10．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数． 11． 在△ABC中，若∠A﹣∠B﹣∠C＝20°，求∠A的大小． 12．将一副直角三角板按如图放置（其中 ），使含 角的三角板 的较长直角边 与等腰直角三角板 的斜边 平行，求 的度数． 13．如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数. 14．如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线． （1）若，CF=4，求AD的长． （2）若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数． 15．如图，在 中， ， 平分 ． （1）若 ， ，求 的度数； （2）证明： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$