（预习篇）第四讲 全等三角形（知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第四讲 全等三角形 教学目标： 1.了解全等形的概念，会识别全等形. 2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，了解全等三角形的性质，从中感受图形变换，培养学生的观察、识图能力，发展学生的几何直观感知能力与空间观念. 教学重点、难点： 全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形中的对应边、对应角． 理解全等三角形边、角之间的对应关系，利用全等三角形的性质进行推理计算. 新知预习 1 知识总结 4 高频易错点拨 5 考点讲练1：图形的全等 6 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 7 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 9 考点讲练4：全等三角形的概念 10 考点讲练5：全等三角形的性质 11 中档题真题练 13 培优题真题练 17 新知预习 【活动探究】 下图所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类似的例子吗？ 任务一：了解全等形、全等三角形的概念. 活动1：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？ 我们发现，三角板和纸三角形完全重合. 思考：把你的数学课本和同桌数学课本叠放在一起会重合吗？ 小结：通过实践活动，我们发现形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的三角形就叫全等三角形. 全等三角形 全等三角形 练一练 观察下列几组图形，它们是全等形吗？ (1) (2) 解：(1)大小不同，(2)形状不同；∴(1)(2)都不是全等形. 活动2：用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC，然后按要求在三个图中依次操作,你发现了什么规律？ 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了,但形状和大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等. 任务二：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质. 活动1：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.已知△ABC和△DEF全等，你能说出这两个三角形的对应顶点、对应边和对应角吗？ 点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应顶点； AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边； ∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角. 为了方便书写，我们可以用符号表示两个三角形的全等. 例如△ABC与△DEF是全等的， 可以记作：“△ABC ≌△DEF”， 读作：“△ABC全等于△DEF”． 注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 例如，△ABC与△DEF全等，点A与点D、点B与点E、点C与点F为对应顶点，记作“△ABC ≌△DEF”. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 应用格式:如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 如图,沿AD将△ABC对折,若点B与点C重合,结合全等三角形的定义,写出全等的三角形,并用等式表示对应边和对应角. 解：全等的三角形:△ABD≌△ACD， 对应边:AB=AC,BD=CD,AD=AD， 对应角:∠ABD=∠ACD,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC. 知识总结 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：图形的全等 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列各组图形中，是全等的图形是（    ） A．    B．   C．   D．   【举一反三1】（19-20七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【举一反三1】（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【举一反三3】（20-21八年级上·广东东莞·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，等于 ．    考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【举一反三1】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【举一反三2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    【举一反三3】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    考点讲练4：全等三角形的概念 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【举一反三3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 考点讲练5：全等三角形的性质 【典例精讲】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【举一反三2】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如阔，已知，，，，求的度数和的长．    【举一反三3】（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 中档题真题练 1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，则= ．    7．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 时，与有可能全等． 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当点的坐标为 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若，A与D，B与E分别是对应顶点，，则 °． 10．（23-24八年级上·江西赣州·期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长． 11．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动多少秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．    培优题真题练 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 14．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如图，，若，则等于（　　）．    A． B． C． D． 16．（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 17．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，在长方形中，，，点P从点D出发，以1cm/s的速度在线段上运动，点从点出发以速度在线段上运动，若点P、点Q同时出发，当 时，与全等．    20．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 21．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 ．    22．（19-20八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 23．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 25．（23-24八年级上·吉林四平·期末）长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) (1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度； (2)当时，连接，若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 26．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在 上， ___________时， 的面积等于 面积的一半； (2)如图②，在 中， ．在 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好 与 全等，求点Q的运动速度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第四讲 全等三角形 教学目标： 1.了解全等形的概念，会识别全等形. 2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，了解全等三角形的性质，从中感受图形变换，培养学生的观察、识图能力，发展学生的几何直观感知能力与空间观念. 教学重点、难点： 全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形中的对应边、对应角． 理解全等三角形边、角之间的对应关系，利用全等三角形的性质进行推理计算. 新知预习 1 知识总结 4 高频易错点拨 5 考点讲练1：图形的全等 6 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 8 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 12 考点讲练4：全等三角形的概念 14 考点讲练5：全等三角形的性质 17 中档题真题练 21 培优题真题练 33 新知预习 【活动探究】 下图所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类似的例子吗？ 任务一：了解全等形、全等三角形的概念. 活动1：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？ 我们发现，三角板和纸三角形完全重合. 思考：把你的数学课本和同桌数学课本叠放在一起会重合吗？ 小结：通过实践活动，我们发现形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的三角形就叫全等三角形. 全等三角形 全等三角形 练一练 观察下列几组图形，它们是全等形吗？ (1) (2) 解：(1)大小不同，(2)形状不同；∴(1)(2)都不是全等形. 活动2：用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC，然后按要求在三个图中依次操作,你发现了什么规律？ 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了,但形状和大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等. 任务二：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质. 活动1：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.已知△ABC和△DEF全等，你能说出这两个三角形的对应顶点、对应边和对应角吗？ 点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应顶点； AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边； ∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角. 为了方便书写，我们可以用符号表示两个三角形的全等. 例如△ABC与△DEF是全等的， 可以记作：“△ABC ≌△DEF”， 读作：“△ABC全等于△DEF”． 注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上. 例如，△ABC与△DEF全等，点A与点D、点B与点E、点C与点F为对应顶点，记作“△ABC ≌△DEF”. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 应用格式:如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 如图,沿AD将△ABC对折,若点B与点C重合,结合全等三角形的定义,写出全等的三角形,并用等式表示对应边和对应角. 解：全等的三角形:△ABD≌△ACD， 对应边:AB=AC,BD=CD,AD=AD， 对应角:∠ABD=∠ACD,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC. 知识总结 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：图形的全等 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 28．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列各组图形中，是全等的图形是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】A 【思路点拨】根据全等图形的定义，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、是全等的图形，故本选项符合题意； B、不是全等的图形，故本选项不符合题意； C、不是全等的图形，故本选项不符合题意； D、不是全等的图形，故本选项不符合题意； 故选：A 【考点评析】本题主要考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形全等是解题的关键． 【举一反三1】（19-20七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【答案】/95度 【思路点拨】本题考查了全等图形的性质，四边形的内角和定理； 根据全等图形的性质可得，再根据四边形的内角和是计算即可． 【规范解答】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【答案】(1) (2)四边形全等四边形；（答案不唯一）； 【思路点拨】（1）根据，求出，根据，得出； （2）根据全等三角形的判定和全等图形的定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：图中全等的四边形有：四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形； 全等三角形有：；． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【思路点拨】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【规范解答】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【考点评析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 【举一反三1】（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【思路点拨】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【思路点拨】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【规范解答】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 【举一反三3】（20-21八年级上·广东东莞·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【思路点拨】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【规范解答】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【考点评析】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义． 【规范解答】解：如图所示： 【举一反三1】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： （答案不唯一）． 【举一反三2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    【答案】见解析 【思路点拨】根据全等图形的性质，按照题意作图即可． 【规范解答】．   【考点评析】本题考查作图-全等图形，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键． 【举一反三3】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【规范解答】解：如图所示，（答案不唯一）    【考点评析】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 考点讲练4：全等三角形的概念 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【规范解答】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【规范解答】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 【举一反三3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【思路点拨】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 【规范解答】解  ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【考点评析】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 考点讲练5：全等三角形的性质 【典例精讲】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【规范解答】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 【举一反三2】（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如阔，已知，，，，求的度数和的长．    【答案】， 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的对应角相等求出，最后根据全等三角形的对应边相等求得，最后根据证得即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即． 【举一反三3】（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为． (1)若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由． (2)若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度． 【答案】(1)2s，理由见解答过程 (2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用； （1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：点与点的速度都是， ， ，，， 要使与全等，则需， 即， ， 即经过的时间与全等； （2）解：设点的速度是，则点的速度是， ，， ， ，要使与全等，则需，， ， 解得：， 经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等． 中档题真题练 1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键． 根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【规范解答】解：根据平移，，则A正确，不符合题意； 根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； 根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意； 根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意； 故选： D． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了两直线的位置关系，垂线的定义，点到直线的距离，全等图形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、面积相等的两个图形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理可得，再由全等三角形对应角相等即可得到． 【规范解答】解；∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项不一定成立，符合题意； 故选：． 5．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点，则点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，由网格中点的对称性，结合全等三角形的对应边相等判断即可，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： ， 即；；； 符合条件的点有，共有3个， 故选：C． 6．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，则= ．    【答案】2 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．由得，根据可得结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 时，与有可能全等． 【答案】1或#或1 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，分类判定三角形的对应是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴点A与点B是对应点， ∵与全等． 故或． 当时，， 设点Q的速度为，则， 故， 解得， 此时，点Q的运动速度为； 当时，， 设点Q的速度为，则， ∵， ∴ 故， 解得，， 此时，点Q的运动速度为； 故答案为：1或#或1． 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点在轴上运动（不与点重合），点在轴上运动（不与点重合），当点的坐标为 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或或 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，分图（1），图（2），图（3），图（4）四种情况，再分，，利用相似三角形的性质讨论求解即可． 【规范解答】解：如图（1）所示， 当点在轴负半轴上，点在轴负半轴上时， 若，则， 点的坐标为； 若，则 ∴点的坐标为； 如图（2）所示， 当点在轴负半轴上，点在轴正半轴上时， 若，则， 点的坐标为． 若，则， ∴点的坐标为； 如图（3）所示， 当点在轴正半轴上，点在轴正半轴上时， 同理可得的坐标为； 如图（4）所示， 当点在轴正半轴上，点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若，A与D，B与E分别是对应顶点，，则 °． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 【规范解答】解：∵， ， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江西赣州·期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长． 【答案】（1）8；（2）4 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和多边形内角和外角和； （1）设它的边数为n，由内角和公式和外角和列方程即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，即可求解． 【规范解答】解：（1）设它的边数为n， ， 解得， 答：它的边数为8． 解：（2）∵， ∴． ∴，即． ∵，， ∴． ∴． 11．（16-17八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【规范解答】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动多少秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．    【答案】当点P运动1或或秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等 【思路点拨】根据题意和全等三角形的性质分类讨论：①P在上，Q在上，则，根据，得，根据得，，则，根据得，即，进行计算得；②P在上，Q在上，则，由①知，，则，计算得，当时，，即不符合题意；③当P，Q都在上时，，计算得；④当Q到A点停止，P在上时，，即，；⑤P和Q都在上的情况不存在，因为P的速度是每秒，Q的速度是每秒；综上，即可得． 【规范解答】解：①如图1，P在上，Q在上，    则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ； ②如图2，P在上，Q在上，    则， 由①知，， ， ， 当时，，即不符合题意； ③如图3，当P，Q都在上时，    ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，， 即， ； ⑤P和Q都在上的情况不存在，因为P的速度是每秒，Q的速度是每秒； 综上，当点P运动1或或秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论． 培优题真题练 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【规范解答】解：， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 14．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．根据折叠可知，，，再利用平角为，三角形内角和，推出，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出，再求出结果即可． 【规范解答】解：纸片沿折叠， ， ，， ， 平分，平分，， ，， ， ， ， ， 故选：C 15．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）如图，，若，则等于（　　）．    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等可得，然后运用三角形内角和求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵在中，, ∴， 故选：C． 16．（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路点拨】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【规范解答】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【考点评析】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 17．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，设点、的运动时间为，的运动速度为，则，，，再根据全等三角形的性质分当时，，和当时，，两种情况讨论即可，熟练掌握全等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键． 【规范解答】，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，的运动速度为，则，， ， ， ， 与全等共有两种情况： 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为； 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为， 综上所述：点的运动速度为或． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上． 【规范解答】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，在长方形中，，，点P从点D出发，以1cm/s的速度在线段上运动，点从点出发以速度在线段上运动，若点P、点Q同时出发，当 时，与全等．    【答案】1或 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，分和，两种情况，进行讨论求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为， 则：， ∴； 当：时： 则：，， ∴， 解得：， ②当时，则：，， ∴， 解得：， 综上或． 故答案为：1或． 20．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】或或6 【思路点拨】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【规范解答】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得． ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动或或6秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：或或6． 【考点评析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 21．（20-21八年级上·湖北黄冈·期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 ．    【答案】18或70 【思路点拨】设BE=3t，则BF=7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况：情况一：当BE=AG，BF=AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE=AE，BF=AG时，列方程解得t，可得AG． 【规范解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况： 情况一：当BE=AG，BF=AE时， ∵BF=AE，AB=60， ∴7t=60-3t， 解得：t=6， ∴AG=BE=3t=3×6=18； 情况二：当BE=AE，BF=AG时， ∵BE=AE，AB=60， ∴3t=60-3t， 解得：t=10， ∴AG=BF=7t=7×10=70， 综上所述，AG=18或AG=70． 故答案为：18或70． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 22．（19-20八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 【答案】3或4或5 【思路点拨】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解. 【规范解答】AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5， △ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4, 当DF=AC时，DF=3或5 当DF=BC时，DF=4 故答案为3或4或5 【考点评析】本题考点涉及全等三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 23．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的范围是且 (3)存在，的值是3或9 【思路点拨】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【规范解答】解：如下图， ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 25．（23-24八年级上·吉林四平·期末）长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合) (1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度； (2)当时，连接，若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用； （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）由题意得：，，，当时：当时分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，，故，得，可得①，②，即可解得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，，， ， 线段的长度为； （2）由题意得：，，， 当时： ， 解得： 此时； 当时：， 得， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）， ，， 由知：， 解得：， ，， ； 即①， ， ， ， 即②； 由①②解得：， 满足条件的取值范围为 26．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在 上， ___________时， 的面积等于 面积的一半； (2)如图②，在 中， ．在 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好 与 全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1) (2)或或或 【思路点拨】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：∵当P在上，的面积等于面积的一半， ∴ ∴当时，的面积等于面积的一半． （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴4÷3=5÷x  解得 ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴，解得 ③当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴Q运动的速度为或或或． 【考点评析】本题主要考查了中位线的性质、全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，中午分类讨论思想是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$