浙江省丽水市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题

丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控 高一数学试题卷 2024.6 1. 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3. 选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 4. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足(为虚数单位），则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若与垂直，则实数 A． B． C． D． 3．若数据的方差为，则数据的方差为 A． B． C. D． 4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则事件与事件的关系为 A．互斥 B．相等 C. 相互独立 D．互为对立 5．已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C. 若，则 D．若，则 6．在三棱锥中，，分别是的中点，且满足，则异面直线与所成的角等于  A． B． C. D．或 7．如图，某山山顶与山底的垂直部分为（记山顶为点，山底为点），首先测量人员位于点，测得点位于正北方向，测得点的仰角为，然后测量人员沿北偏东方向行走了米到达点，此时测得，则此山的高度为 A．米 B．米 (第7题图) C. 米 D．米 8．已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是 A． 　 B. C. 　 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，，是任意的非零向量，下列命题中正确的是 A．若，则 B． C．若，则 D．若，，则 10．已知事件发生的概率分别为，，则 A．一定有 B． C．若与互斥，则 D．若与相互独立，则 11．在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是 A. 当时，对任意，平面恒成立 B. 当时，的最小值为 C. 当时，与平面所成的最大角的正切值为 D. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数 ． 13．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 ． 14．在中，为边上的高，，，为边上一点，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分15分） 某中学为了调查高一年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间(小时） 人数 20 80 140 200 60 （1）根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，不需要书写具体步骤）； （2）求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （3）根据图表，估计周劳动时间的样本数据分位数. 16.（本题满分15分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离. (第16题图) 17.（本题满分15分） 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的，横坐标也缩短到原来的， 得到函数的图象，若函数在区间内有两个零点，求实数 的取值范围. 18.（本题满分16分） 如图，已知四边形为菱形，四边形为平行四边形，且， . （1）证明：直线平面； （2）设平面平面，且二面角的平面角为，， (第18题图) 设为线段的中点，求与平面所成角的正弦值. 19.（本题满分16分） 克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. （1）当时，求四边形的周长； （2）当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； （3）若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值. (第19题图) 高一数学试题卷　第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控 高一数学答案 （2024.06） 一、单项选择题：CADC DBBD 二、多项选择题：9.BCD; 10.BD; 11. ACD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15. （1）答案见图 ……………5分 （2）周劳动时间平均数为： （或） ……………10分 （3）设样本数据的分位数为，则， 得，周劳动时间的样本数据分位数为. ……………15分 16.（1）设与交于点， 底面为矩形，为中点， 又为中点,. 又平面,平面， 平面. ……………7分 （2） 底面,底面为矩形, ，得. 过点作，垂足为， 且，平面, 平面平面，平面， 为到平面的距离. 在中，，得. ……………15分 17．（1）由题得 ， 则最小正周期 ； 令 ，得， 所以函数的单调递减区间为： ；……………7分 （2）由题得， 函数在区间内有两个零点， 可转化为函数的图象与的图象在 内有两个交点， 由，得， 则，由图可得. ……………15分 18. (1)设，连接， 四边形为菱形， 又 ， 又，平面 直线平面； ……………7分 (2) 过点作于点，过点作于点，连接，过点作于点，连接， 由（1）易证，，, 为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 又，， 设，， 在直角三角形中，，， 为线段的中点，到平面的距离， 又， 设直线与平面所成角为，， 直线与平面所成角的正弦值为. ……………16分 19.（1）在中，由余弦定理得， 所以四边形的周长为. ……………4分 （2）设，在中，， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为.……9分 （3），且为正三角形，，，，即的最大值为，取等号时，，. 不妨设,则，得.故， 在中,由余弦定理得， 故为的角平分线，由角平分线性质可得，, 故,. 四点共圆， 由相交弦定理得或(舍去). 在中,， ……………16分 高一数学　第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$