精品解析：2024年广东省珠海市斗门区乾务镇初级中学中考模拟数学试题

珠海市斗门区乾务中学2023-2024学年 九年级数学第二学期模拟试卷 一、选择题（本大题10小题，都为单选题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，如果，DB＝1，若△ADE的面积为4，则四边形DBCE的面积为（ ） A. 2 B. 9 C. 6 D. 5 5. 下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点（2，3） B. 图象分布在第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 图象与坐标轴没有交点 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ① ； ② ； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为 ________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 13. 已知，在二次函数的图像上，比较________．（填>、<或=） 14. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 15. 如图，在四边形中， ，平分．若，，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点、，则反比例函数的解析式为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3张卡片分别标有数字4、5、6．这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀． （1）从甲盒里随机抽取一张卡片，求抽到的卡片上标有数字为偶数的概率； （2）从甲盒、乙盆里各随机描取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率． 19. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：） （1）求 的值（精确到）； （2）在中，求的长（结果取整数）． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 22. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接 平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求 的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图所示，四边形是菱形，边 在轴上，点，点，双曲线 与直线交于点D、点E． （1）求k的值； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市斗门区乾务中学2023-2024学年 九年级数学第二学期模拟试卷 一、选择题（本大题10小题，都为单选题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程，利用直接开平方法解方程得出答案． 【详解】解：， 则， 解得：，． 故选：B． 2. 如图， 的半径为5，弦，于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长 【详解】解：点C是的中点， ⊙O的半径为5，弦， 在 中 故选C 3. 一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】苍蝇停在白色区域上的概率等于白砖的面积除以整个墙面的面积.． 【详解】如图，把墙面上一块砖的面积看成1，墙的面积是9，白砖的面积是6 ∴苍蝇停在白色区域上的概率= 故选D 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，如果，DB＝1，若△ADE的面积为4，则四边形DBCE的面积为（ ） A. 2 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先判断△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积之比=相似比的平方即可得到结论． 【详解】解：∵DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∵AD=2，DB=1，S△ADE=4， ∴， ∴S△ABC=9, ∴S四边形DBCE= S△ABC- S△ADE=9-4=5， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比=相似比的平方． 5. 下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据题意对各选项数据进行验证即可得解． 【详解】解：A、是偶数，并且是的倍； B、是偶数，并且是的 倍； C、是偶数，并且是的倍； D、是偶数，是的，所以，不是的倍数； 所以可以用来证明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是， 故选：D． 6. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象经过点（2，3） B. 图象分布在第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 图象与坐标轴没有交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：当x=2时，，选项A正确； ∵，∴反比例函数图象分布在第一、三象限，选项B错误； 根据反比例函数的图象可知其关于原点对称，选项C正确； 根据反比例函数的图象可得出其图象与坐标轴没有交点，选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象，掌握反比例函数的图象的基本知识点是解此题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 8. 如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质及 可推得 ，，进而判定，根据相似三角形的性质得出比例式，设，用含的式子分别表示出和，然后计算即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， 又， ，， ， ， ， 设， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ① ； ② ； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到 ，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， ，、异号， ， ， ，①结论正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 由图象可知，当时，， ，②结论错误； 由图象可知，当时， ， ， 又， ，③结论错误； 当时，为最小值， ， ，④结论正确， 故选：A． 10. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 【答案】-9 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况和判别式的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得． 解得． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和判别式的关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 13. 已知，在二次函数的图像上，比较________．（填>、<或=） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 求出二次函数的对称轴，可得图象上的点的横坐标离对称轴越远，点的纵坐标越大，然后判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，图象上的点的横坐标离对称轴越远，点的纵坐标越大， ∵，，且， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的内切圆 与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，， ，由的周长为14，可求的长． 【详解】解： 与，，分别相切于点，，， ，， ， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 15. 如图，在四边形中， ，平分．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于， ， 四边形为矩形， ， ， 平分， ， ， ， ∴∠CDB=∠CBD ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点、，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点作轴于，则，可证明，得到，即得，即可得到，进而得到，再代入函数解析式即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴ ，， ∵轴， ∴，点的纵坐标为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂，算术平方根，正弦，然后进行乘法，加减运算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，； ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，算术平方根，正弦，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握负整数指数幂，算术平方根，正弦，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 18. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3张卡片分别标有数字4、5、6．这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀． （1）从甲盒里随机抽取一张卡片，求抽到的卡片上标有数字为偶数的概率； （2）从甲盒、乙盆里各随机描取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率． 【答案】（1）抽到的卡片上标有数字为偶数的概率为 （2）抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率为 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率． 【小问1详解】 甲盒里随机抽取一张卡，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是； 【小问2详解】 根据题意可列表格如下： 乙 甲 4 5 6 1 2 3 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张卡片数字之和不大于7的有六种：，，，，，， ∴． 【点睛】本题考查了概率的计算和用列表法或树状图法求概率，掌握计算方法是解题关键． 19. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）AC的长为． 【解析】 【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD； （2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长． 【小问1详解】 证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； 【小问2详解】 解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， ∴AC=(负值已舍)． ∴AC的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在中，． （参考数据：） （1）求 的值（精确到）； （2）在 中，求的长（结果取整数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦函数即可求解； （2）先求得的度数，再利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：， ， 的长为 ． 【点睛】本题考查了求余弦函数的值，弧长公式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？ （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50件； （2）50元； （3）8折． 【解析】 【分析】（1）利用日销售量=20+2×降低的价格，即可求出结论； （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x-40）元，日销售量为（140-2x）件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价应定为50元； （3）设该商品需打y折销售，利用售价=原价×折扣率，结合售价格不超过（2）中的售价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 20+2×（60-45） =20+2×15 =20+30 =50． 答：当每件售价为45元时，日销量是50件． 【小问2详解】 设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x-40）元，日销售量为20+2（60-x）=（140-2x）件， 依题意得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20， 整理得：， 解得：， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴x=50． 答：每件售价应定为50元． 【小问3详解】 设该商品需打y折销售， 依题意得：62.5×≤50， 解得：y≤8． 答：该商品至少需打8折销售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，中，，以点C为圆心， 为半径作，D为上一点，连接 平分． （1）求证：是的切线； （2）延长、相交于点E，若，求 的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ． 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴， 即是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出 ，即可得证； （2）证明 ，根据相似三角形的性质，得出面积比为 ，继而根据面积比等于相似比的平方得出，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)可知， ， 又 ， ∴ ． ∵，且 ， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，求正切，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图所示，四边形是菱形，边在轴上，点，点，双曲线 与直线交于点D、点E． （1）求k的值； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）35 【解析】 【分析】（1）先求出D点的坐标，再代入求出即可； （2）设直线的解析式为 ，把，代入得出方程组，求出方程组的解即可； （3）求出E点的坐标，分别求出 和的面积，即可得出答案． 【小问1详解】 ∵点，点，， ∴， 由勾股定理得：， 过D作轴于F，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴D点的坐标为， 代入 得：； 【小问2详解】 设直线的解析式为 ， 把代入得：， 解得：， 所以直线的解析式是； 【小问3详解】 由（1）知：， 所以 ， 解方程组得：，， ∵点的坐标为， ∴E点的坐标为， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设 交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设 交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线 的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， 【小问3详解】 解：把代入 ，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $