精品解析：山东省临沂市费县探沂镇初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

数学试题 本试题共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，将答案写在试卷上． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ）． A. 2024 B. C. D. 2. 篆刻艺术是于金属、玉、石等材质之上雕刻以篆体文字的艺术．因以制作印章为主，又称印章艺术．下列篆刻作品是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年，我国经济总量稳步攀升，国内生产总值（GDP）超过126万亿元，比上年增长，实现了左右的预期目标．数据“126万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 6. 化简结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 有三张正面分别写有数字1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 10. 如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为________． 13. 已知方程的根为，，则方程的根是________． 14. 在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为______． 15. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线分别交两弧于点，，则图中阴影部分的面积是______． 16. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 每年的3月12日都是我国的植树节.植树节的设立是为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境．某学校植树节带领学生举办植树活动，用400元购进甲种树苗若干棵，用780元购进乙种树苗若干棵，所购乙种树苗比甲种树苗多10棵，且乙种树苗每棵的进价是甲种树苗每棵进价的1.3倍． （1）甲、乙两种树苗每棵进价分别为多少元？ （2）如果购进甲、乙两种树苗共550棵，且购进甲种树苗不多于350棵，为了使总费用最低，应购进甲种树苗和乙种树苗各多少棵？总费用最低是多少元？ 19. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处．将出水装置水平移动至处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处，．（参考数据：，， ，） （1）求水流和连接水管的长；（结果保留整数） （2）求水盆两边缘，之间的距离．（结果保留一位小数） 20. 某校八年级共有学生200名，为了解该年级学生道法、生物两门学科的学习情况，在学期中随机抽取了50名学生进行测试，并将测试成绩（百分制）进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：道法学科成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）； 信息二：道法学科成绩在这一组的是70，70.5，71，71，71，72，75，76，77，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5； 信息三：道法、生物两门学科成绩的平均数、中位数和方差如下： 学科 平均数 中位数 方差 道法 76 148.4 生物 74.9 78 356.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为______； （2）在此次测试中，道法学科高于平均分的人数为，生物学科高于平均分的人数为，请比较与的大小，并说明理由； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计道法学科成绩高于75.5分的人数； （4）请结合上述数据，对这50名学生测试的两门学科成绩进行简要评价． 21. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 22. 如图，在中，，O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线 于点E，连接 、 ，能否使 与 的面积之比为 ？若能，请求出点D的坐标和 的面积；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 24. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转． 特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试题共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，将答案写在试卷上． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ）． A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握相关定义是解题关键．先根据绝对性的性质化简，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：，且的相反数是， 的相反数是， 故选：B． 2. 篆刻艺术是于金属、玉、石等材质之上雕刻以篆体文字的艺术．因以制作印章为主，又称印章艺术．下列篆刻作品是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，即“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 2023年，我国经济总量稳步攀升，国内生产总值（GDP）超过126万亿元，比上年增长，实现了左右的预期目标．数据“126万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数． 将原数表示为a时，n取决于小数点移动了多少位，然后进行计算即可． 【详解】解：126万 ∴“126万”用科学记数法表示为 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可；本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵正确， 故A符合题意． ∵，原选项错误， ∴B不合题意． ∵，原选项错误， ∴C不合题意． ∵，原选项错误， ∴D不合题意． 故选：A． 5. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 6. 化简结果正确的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 7. 有三张正面分别写有数字1，2，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意画图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种 则记录的两个数字乘积是正数的概率是 故选A． 【点睛】本题考查了列表法或者画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能得结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出，，最后根据的面积进行求解． 【详解】由题意知，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，，结合，得到，得到是直角三角形，，利用勾股定理，，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，直角三角形的判定，勾股定理应用，熟练掌握基本作图，灵活应用勾股定理是解题的关键． 【详解】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选C． 10. 如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知：当时，，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：由图象可知：当时，， 即， 解得， ∵点D是的中点， ∴， 当时，面积发生转折，此时点P和点A重合， ∴， 在中，，，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是结合函数图象运用分类讨论的思想，注意函数图象中的拐点． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据，，边的中点是，得到，根据沿折叠，点与边的中点恰好重合，得到，得到四边形的周长为，解答即可． 【详解】解：由，，边的中点为， ∴， ∵沿折叠，点与边的中点恰好重合， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：4． 13. 已知方程的根为，，则方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】设，可得，根据的根为，，可得或，即可得到答案； 【详解】解：设，可得， ∵的根为，， ∴或， 解得：，， 故答案为，； 【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设，得到，结合方程的根为，． 14. 在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为______． 【答案】3.6#### 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将抛物线解析式转化为顶点式，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 即篮球在空中运行的最大高度为． 故答案为：3.6． 15. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线分别交两弧于点，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，三角形面积公式，利用边长求角度数等．根据题意连接，可得，即可得，再求扇形面积，再求的面积，再利用减法即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ∵圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆， ∴扇形面积等于扇形面积， ∴， ∴， ∴， ∴扇形面积：， ∴的面积：， ∴阴影部分的面积扇形面积的面积：， 故答案为：． 16. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，则______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出规律是解题的关键． 利用分式的加减法则分别可求，，，利用规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：2024． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合计算，涉及零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值等知识点，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 先分别化简绝对值，求特殊角的三角函数值，计算零指数幂和负指数幂，然后进行合并即可． 【详解】解： 18. 每年的3月12日都是我国的植树节.植树节的设立是为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境．某学校植树节带领学生举办植树活动，用400元购进甲种树苗若干棵，用780元购进乙种树苗若干棵，所购乙种树苗比甲种树苗多10棵，且乙种树苗每棵的进价是甲种树苗每棵进价的1.3倍． （1）甲、乙两种树苗每棵进价分别为多少元？ （2）如果购进甲、乙两种树苗共550棵，且购进甲种树苗不多于350棵，为了使总费用最低，应购进甲种树苗和乙种树苗各多少棵？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种树苗每棵进价分别为元和元 （2）购进甲种树苗和乙种树苗各棵和棵总费用最低是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一次函数的应用，关键是找出等量关系列出方程和函数关系式，注意分式方程要检验． （1）设甲种树苗每棵进价为x元，则乙种树苗礼盒每盒进价为元，根据用元所购乙种树苗比用元购进甲种树苗多10棵列出方程，解方程即可，注意验根； （2）根据总费用等于甲乙树苗费用之和列出函数关系式，并根据函数的性质和甲种树苗购进不多于350棵求最值即可． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵进价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴乙种树苗每棵进价为元， 答：甲、乙两种树苗每棵进价分别为元和元． 【小问2详解】 解：设购进甲种树苗a棵，总费用为y元， 则， 又∵， ∴ 当时，最小，最小值为元，这时乙种树苗购进棵， 答：购进甲种树苗和乙种树苗各棵和棵总费用最低是元． 19. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处．将出水装置水平移动至处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘处，．（参考数据：，， ，） （1）求水流和连接水管的长；（结果保留整数） （2）求水盆两边缘，之间的距离．（结果保留一位小数） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，，在中，根据得到，可求水流；根据得到，可求连接水管的长； （2）连接根据平移性质，得，继而得到四边形是平行四边形，结合，得到四边形是矩形，继而得到，在中，根据，求，之间的距离即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 在中，∵， ∴； ∵， ∴． 【小问2详解】 解：连接，根据平移性质，得， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形 判定和性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键． 20. 某校八年级共有学生200名，为了解该年级学生道法、生物两门学科的学习情况，在学期中随机抽取了50名学生进行测试，并将测试成绩（百分制）进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：道法学科成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）； 信息二：道法学科成绩在这一组的是70，70.5，71，71，71，72，75，76，77，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5； 信息三：道法、生物两门学科成绩的平均数、中位数和方差如下： 学科 平均数 中位数 方差 道法 76 148.4 生物 74.9 78 356.1 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为______； （2）在此次测试中，道法学科高于平均分的人数为，生物学科高于平均分的人数为，请比较与的大小，并说明理由； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计道法学科成绩高于75.5分的人数； （4）请结合上述数据，对这50名学生测试的两门学科成绩进行简要评价． 【答案】（1） （2） （3）估计道法学科成绩高于分的人数为人 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的意义求出即可； （2）算出的值，估计出的范围，再比较大小即可； （3）将样本中道法学科成绩高于分的人数占比乘以即可作出估计； （4）可从统计量的意义方面对这名学生测试的两门学科成绩进行评价即可． 【小问1详解】 解：∵道法成绩有小到大排列第，第个个数据分别为75，76， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 道法学科成绩在＜这一组中高于平均分的人数为人， ， 生物成绩中位数为分，平均分为分， ， ； 【小问3详解】 解：∵样本中道法学科成绩高于分的人数为：（人）， 且（人）， 故估计道法学科成绩高于分的人数为人； 【小问4详解】 解：从平均分看，道法平均分高于生物平均分，所以道法成绩好于生物成绩； 从中位数看，道法中位数低于生物中位数，所以生物成绩中等以上比地理成绩好； 从方差看，道法方差小于生物方差，所以道法成绩波动小于生物成绩的波动． 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，方差，明确相关统计量的意义是解题的关键． 21. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数． （1）求出，的值； （2）为线段上的点，将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； （3）在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得，，设，且，根据平移性质可得，即可求得答案； （3）在轴上存在点，使得，分两种情况：当点D在轴正半轴上时，在轴负半轴上时，分别求得点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：点在直线：上， ， ∴， ∵反比例函数经过点， 则， 解得：； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵为线段上的点， 设，且， 将点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点， ∴， 点恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下， 当点在轴正半轴时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点 当点在轴负半轴上时， 如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合问题，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平移的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 如图，在中，，O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，角平分线的定义，勾股定理，锐角三角函数等知识，正确连接辅助线是解题关键． （1）连接，根据切线的性质证得，得到，再根据等腰三角形的性质即可证明； （2）连接，可得，根据勾股定理得到，再利用得到的长，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴平分． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是直径， ∴ ∵，， ∴ 由勾股定理，得 由（1）知， ∴ ∴ 由勾股定理，得． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线 于点E，连接 、 ，能否使 与 的面积之比为 ？若能，请求出点D的坐标和 的面积；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）D的坐标为，的面积为 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，求出D点横坐标为2，再根据三角形面积公式作答即可； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 能． 当=时， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为. ∵为公共边，， ∴D点横坐标为2， ∴， ∴D的坐标为，的面积=； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴， ， ， 当时，为直角三角形，， 即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，， 此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，学会运用分类讨论的数学思想解决问题是解答本题的关键． 24. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转． 特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 【答案】（1）证明：连接，，，如图， ∵四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P恰为的中点； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形，都是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）的形状不改变，理由如下： 延长至点M，使，连接， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设交于点H，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可； （2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $