精品解析：2024年山西省晋中市祁县多校中考三模数学试题

山西省2024年中考第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（　　） A. y B. C. D. 6. “杏花村里杏花开”近日，汾阳杏花村迎来杏花盛开时节，吸引众多游客前来观赏．已知杏花花粉的直径约为米，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8. 牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述四种气体的密度（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式a2b+ab2＝______． 12. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数__________． 13. 生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________． 14. 山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 15. 如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． （1）若，，求的度数．． （2）请再添加一个条件，使四边形为菱形． 18. 某校九年级组织的一次数学核心素养测评中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准如下： ．未清楚表达，只有一个观点或结论，评为分； ．略有错误，基本满足要求，评为分； ．正确阐明观点，且有结构，评为分； ．能简明地表达原理或进行推理说明，评为分； ．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，评为满分分． 为了解数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中抽取了两个小组学生的答卷进行统计分析，结果如下： （1）请补全第小组得分条形统计图； （2）在第小组得分扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为_______； （3）填空： 平均数/分 众数/分 中位数/分 第小组 ________ 第小组 _______ （4）结合你的分析，请给第小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 19. 项目化学习 项目背景：智能手机的日益进步，使手机的耗电量急速上升，为保证手机的续航时间，其内部搭载电池的容量也日益增大．为了能快速将手机充满电，手机快速充电技术应运而生．某校综合实践小组以探究“快速充电器与普通充电器的区别”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究充电时快速充电器比普通充电器少用的时间． 研究步骤：（1）准备两台华为“”手机，使其初始电量显示； （2）准备两个充电器，一个标注“输出 ”，另一个标注“输出 ”，分别用两个充电器给手机充电，对充电时间与充电量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 充电时间x（分） 0 10 20 30 40 普通充电器充电量 20 40 60 80 100 快速充电器充电量 20 60 100 100 100 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）根据表中信息，可知是x的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），直接写出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若将该手机的电量从充至，则快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 20. 小明的爸爸是测绘员，元旦期间，小明和爸爸带着经纬仪和无人机一起去郊外进行测绘实践活动，已知经纬仪的高度为1.5米． 活动一： 如图1，小明在点处安置经纬仪，测得与水平线的夹角，米，则点与点的高度差为________米． 活动二： 小明想继续测量山坡两侧点与点的高度差，但因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，小明寻求爸爸的帮助，爸爸画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别安置经纬仪，将无人机悬停到遮挡区域上空，测得与水平线的夹角，与水平线的夹角，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：，，，） 21. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 斯霍滕，荷兰数学家，以他的名字命名的定理是平面几何学中最著名的定理之一，在解题中有着广泛的应用． 定理内容：如图1，在中，为的平分线，则． 证明过程如下（部分）： 如图2，延长与的外接圆相交于点，连接． 为的平分线， 又，（依据1） （依据2） ． ． … 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：_______； 依据2：_______； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）如图3，在中，，，，为的平分线，，请直接写出的长． 22. 综合与实践 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________； （2）如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点． 与之间有什么数量关系？请说明理由． 当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． （1）求点B，C的坐标； （2）连接，求的最大值； （3）连接，当时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024年中考第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，可以得到的绝对值是多少． 【详解】解：的绝对值是， 故选B． 【点睛】本题考查实数的性质，解题的关键是明确绝对值的定义．绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、平方差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、平方差公式、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项错误，不符合题意； D. ，故本选项正确，符合题意． 故选D． 3. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，解题关键是掌握三视图的确定方法，根据从正面看到的图形确定即可． 【详解】解：这个常见的一种秤砣的主视图是 故选A． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解． 【详解】， 由①得x≤1； 由②得x＞﹣1； 故不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 在数轴上表示出来为： 故选：C． 【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 5. 化简的结果是（　　） A. y B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先计算括号内的减法，再把除法转换为乘法进行约分后可得答案． 【详解】解： ， 故选：C 6. “杏花村里杏花开”近日，汾阳杏花村迎来杏花盛开时节，吸引众多游客前来观赏．已知杏花花粉的直径约为米，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 7. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，根据作图判断，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出即可． 【详解】由作图可知垂直平分． ． ∵， ． ∵点D，E分别为，的中点， 为的中位线． ． 8. 牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若销售单价降低元，则每天可售出袋，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：若销售单价降低元，依题意得： ， 故选：D． 9. 一个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述四种气体的密度（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大， 故选：A 10. 如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法是解题的关键．连接，根据平行四边形的性质得到是等边三角形，求得，根据已知条件得到四边形是平行四边形，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可求解． 【详解】如图，连接． ，． 是等边三角形． ， ， ， ． ． ． 四边形是平行四边形， 故选：C 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式a2b+ab2＝______． 【答案】ab（a+b） 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：ab（a+b）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理求出，进而可求的度数． 【详解】解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后的对应角相等，旋转角的定义是解题的关键． 13. 生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．熟练掌握画树状图或列表法求概率，是解决问题的关键． 画树状图列举出所有等可能情况，看所求的情况占总情况多少，即可． 【详解】画出树状图， 共6种等可能结果，恰好抽到子鼠和丑牛的结果有2种， ∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率为，． 故答案为：． 14. 山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】168 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 15. 如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和相似三角形的判定和性质，根据题意可知，得，求得．则，利用勾股定理求得，继而证明，，可得即可求得答案． 【详解】解：如图，延长与交于点M． ∵四边形是矩形， ， ． ∵， ． ． ∵，， ． ． ． ． ∵， ，． ． ． ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先根据乘方、立方根的知识化简，然后根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1） ． （2），，， ． ． ，． 17. 如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． （1）若，，求的度数．． （2）请再添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】（1） （2），（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定； （1）由三角形内角和定理求得∠，根据平移的性质征得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论；求得答案； （2）根据菱形的判定定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据平移的性质，可得，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，， ． ． 【小问2详解】 答案不唯一，如， 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 18. 某校九年级组织的一次数学核心素养测评中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准如下： ．未清楚表达，只有一个观点或结论，评为分； ．略有错误，基本满足要求，评为分； ．正确阐明观点，且有结构，评为分； ．能简明地表达原理或进行推理说明，评为分； ．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，评为满分分． 为了解数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中抽取了两个小组学生的答卷进行统计分析，结果如下： （1）请补全第小组得分条形统计图； （2）在第小组得分扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为_______； （3）填空： 平均数/分 众数/分 中位数/分 第小组 ________ 第小组 _______ （4）结合你的分析，请给第小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）； （3），； （4）平时多思考，用数学的眼光观察实际生活，用规范的数学符号及图形语言，勤于动笔． 【解析】 【分析】（）根据条形统计图求出第小组得分为的人数即可补图； （）用乘以的百分比即可求解； （）根据众数和中位数的定义即可求解； （）根据第组众数、中位数、平均数，提出相应的建议即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数，中位数，平均数，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得，第小组得分为的人数为人， 【小问2详解】 解：所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：第小组得分次数最多的是分， ∴众数为， 第小组得分的中位数为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：建议：平时多思考，用数学的眼光观察实际生活，用规范的数学符号及图形语言，勤于动笔． 19. 项目化学习 项目背景：智能手机的日益进步，使手机的耗电量急速上升，为保证手机的续航时间，其内部搭载电池的容量也日益增大．为了能快速将手机充满电，手机快速充电技术应运而生．某校综合实践小组以探究“快速充电器与普通充电器的区别”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究充电时快速充电器比普通充电器少用的时间． 研究步骤：（1）准备两台华为“”手机，使其初始电量显示； （2）准备两个充电器，一个标注“输出 ”，另一个标注“输出 ”，分别用两个充电器给手机充电，对充电时间与充电量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 充电时间x（分） 0 10 20 30 40 普通充电器充电量 20 40 60 80 100 快速充电器充电量 20 60 100 100 100 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）根据表中信息，可知是x的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），直接写出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若将该手机的电量从充至，则快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1）一次， （2）快速充电器比普通充电器少用15分钟 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的应用． （1）由表中数据可得是x的一次函数，设与x的函数解析式为，采用待定系数法求解即可； （2）求出与x的函数解析式，把代入两个函数中，即求出充电到所需时间，即可解答． 【小问1详解】 根据表中信息，可知是x的一次函数， 设与x的函数解析式为， 由表中数据可得，当时，，当时，， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为， 自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 设与x的函数解析式为， 由表中数据可得，当时，，当时，， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）， 当时，解得； 当时，解得． （分）． 答：快速充电器比普通充电器少用15分． 20. 小明的爸爸是测绘员，元旦期间，小明和爸爸带着经纬仪和无人机一起去郊外进行测绘实践活动，已知经纬仪的高度为1.5米． 活动一： 如图1，小明在点处安置经纬仪，测得与水平线的夹角，米，则点与点的高度差为________米． 活动二： 小明想继续测量山坡两侧点与点的高度差，但因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，小明寻求爸爸的帮助，爸爸画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别安置经纬仪，将无人机悬停到遮挡区域上空，测得与水平线的夹角，与水平线的夹角，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：，，，） 【答案】活动一：51.5；活动二：点与点的高度差为15.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角函数的应用等知识，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 活动一：过点、分别作水平线、，过点作于点，与交于点，易知四边形为矩形，由矩形的性质可得米，进而证明，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可解得的值，由，即可获得答案； 活动二：过点作于点，过点作于点，过点作于点，在和中，利用三角函数解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：活动一：由题意可知，，米，米， 过点、分别作水平线、，过点作于点，与交于点，如下图， 则， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∴，即， ∵，米， ∴在中，米， ∴米， 即点与点的高度差为51.5米． 故答案为：51.5； 活动二：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 答：点与点的高度差为15.5米． 21. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 斯霍滕，荷兰数学家，以他的名字命名的定理是平面几何学中最著名的定理之一，在解题中有着广泛的应用． 定理内容：如图1，在中，为的平分线，则． 证明过程如下（部分）： 如图2，延长与的外接圆相交于点，连接． 为的平分线， 又，（依据1） （依据2） ． ． … 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：_______； 依据2：_______； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）如图3，在中，，，，为的平分线，，请直接写出的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；两角分别相等的两个三角形相似 （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，相似三角形的判定即可得到答案； （2）根据，可推出，从而推出，即可得到结论； （3）利用勾股定理求出的长度，再根据题目的定理即可求出答案． 【小问1详解】 ①由图可知圆周角和圆周角所对的弧是，则依据1为同弧所对的圆周角相等； ②根据相似三角形的判定定理可知，依据2为两角分别相等的两个三角形相似； 故答案为：为同弧所对的圆周角相等；两角分别相等的两个三角形相似 【小问2详解】 略 【小问3详解】 长为，理由如下 由定理，得 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并理解霍斯滕定理是解题的关键． 22. 综合与实践 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________； （2）如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点． 与之间有什么数量关系？请说明理由． 当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）， 理由：四边形是矩形， ，． ． 由折叠，得， ． ∵ ． 或， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠得，即可证得四边形是正方形； （2）由矩形性质得，由折叠得，，结合，可得．； （3）由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； 【小问1详解】 解：正方形 证明： 四边形是矩形， 由折叠性质可得：， 四边形是正方形， 故答案为正方形． 【小问2详解】 ①略 或． 由题得得四边形和都是边长为的正方形， 有两种情况： 如图，当射线经过的中点时，设中点为，则，连接． 由折叠，得，，， 在与中，，， ， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， 的长为． 如图，当射线经过的中点时，则， ， ， ， 由折叠，得，，，， ，， ， ， ， ， 综上，的长为或 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． （1）求点B，C的坐标； （2）连接，求的最大值； （3）连接，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据，利用待定系数法求得，分别令，，即可求解； （2）连接，过点P作轴，交于点E，由，知，利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，得，进而可得，即可求解； （3）如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则，先证，得，易知四边形是矩形，得，设，则．由，知．得，易证，可得，得点P的坐标为代入抛物线解析式即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得，解得． ． 令，解得，． ∵点B在点A右侧， ． 令，得， ． 【小问2详解】 如图．连接，过点P作轴，交于点E． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入，，解得． 直线的表达式为 设． 轴， ． ． ． ， 当时，的值最大，为． 的最大值为． 【小问3详解】 点P的坐标为． 如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则． ∵，，， ，． ． ． ． ∵ ． 易得， ． ． ． 易得四边形是矩形， 设，则． ∵， ． ． ∵，， ∴ ． ． 点P的坐标为． ，解得，（舍去）． 当时，，． 点P的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $