精品解析：河南省郑州市荥阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023−2024学年下学期期末学情调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在我国古代文化艺术宝库中，传统纹样丰富多彩，璀璨夺目．它既代表着中华民族悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．下列纹样图案不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不成立是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中，平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对角相等 B. 两组对边分别平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称性 5. 将先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，若将看成是由经过一次平移得到，则这一平移的距离是（ ） A. 3个单位长度 B. 4个单位长度 C. 5个单位长度 D. 个单位长度 6. 下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分，交于点E，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 年月日是第个“世界读书日”，新华书店特推出“倡导全民阅读，构建文明社会”的主题促销活动，某种标价元/本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（ ） A. 五折 B. 六折 C. 六五折 D. 不确定 9. 如图，在中，，点E是边上一点，，连接，，，，垂足为F，点G是的中点，则线段的长为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 7 10. 如图，在中，，，点M是边上一动点，连接，将绕着点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当x______时，分式有意义． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 __边形． 13. 已知的面积为，，则边上的高为______（用含a的式子表示） 14. 若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是______． 15. 如图，在中，，，点M是平面内一动点，满足，过点M作交直线于点N，当时，点M到边的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）因式分解：． （2）化简：． 17. 先阅读小年解分式方程过程，然后回答问题： 第一步：去分母，得， 第二步：去括号，得， 第三步：移项，得， 第四步：合并同类项，得， 第五步：系数化为1，得， 第六步：经检验，原方程的解为． （1）第一步的依据是______； （2）小轩的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （3）原分式方程正确的解为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； （3）如果点是边上的任意一点，则点M在上的对应点的坐标是______． 19. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点，若设过点A和点C的直线表达式为，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B坐标； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解也是不等式的解，求m的取值范围； （2）求差可以比较两个数的大小．若设方程的解为M，方程的解为N，请比较M与N的大小． 21. 如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 22. 2024年4月25日，社会各界热切期盼的北京国际汽车展览会在北京举办，展览会场分汽车展区和零部件展区．已知每个汽车展位的面积比每个零部件展位的面积多4平方米，汽车展位每平方米的租金为万元，零部件展位每平方米的租金为万元．用1200平方米建零部件展位的个数是用同样面积建汽车展位个数的倍． （1）求每个汽车展位和零部件展位的面积各为多少平方米； （2）某新能源汽车公司为满足客户的个性化定制需求，向客户展示了其新款车的所有系列车型及高质量的零部件，决定租用汽车展位和零部件展位共18个，且汽车展位的数量不少于零部件展位数量的2倍，该公司如何租用汽车展位和零部件展位才能使总租金最少？ 23. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年下学期期末学情调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在我国古代文化艺术宝库中，传统纹样丰富多彩，璀璨夺目．它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．下列纹样图案不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，选项A、B、D的图形能绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项C的图形不是中心对称图形； 故选：C． 2. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，故本选项不符合题意； B、在不等式的两边同时减去，不等好的方向不变，即，故本选项不符合题意； C、在不等式的两边同时乘以，再加，不等号的方向改变，即，故本选项不符合题意； D、在不等式的两边同时减去，再除以，不等号方向不变，即，故本选项符合题意； 故选D． 3. 下列由左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不符合题意； B. ，，是整式的乘法，不符合题意； C. ，最后运算加法，不符合题意 D. ，是因式分解，符合题意； 故选D． 4. 下列语句中，平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对角相等 B. 两组对边分别平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称性 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 【详解】解：∵平行四边形的性质为对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形， ∴不具备对角线相等， 故选C 5. 将先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，若将看成是由经过一次平移得到的，则这一平移的距离是（ ） A. 3个单位长度 B. 4个单位长度 C. 5个单位长度 D. 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理．熟练掌握平移的性质，勾股定理是解题的关键． 根据平移的距离是，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，将看成是由经过一次平移得到的，则这一平移的距离是个单位长度， 故选：D． 6. 下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—基本作图，掌握五种基本作图是解题的关键． 【详解】由基本作图可知，选项A、C、D中所作直线均满足题意，只有B选项不确定， 故选B． 7. 如图，在中，，，平分，交于点E，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求，由平分，可得，可求，则是等边三角形，，设，则，由勾股定理得，，可求，进而可得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 8. 年月日是第个“世界读书日”，新华书店特推出“倡导全民阅读，构建文明社会”的主题促销活动，某种标价元/本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（ ） A. 五折 B. 六折 C. 六五折 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先设这本书打折，然后根据“售价进价利润”列出不等式，再求解即可．解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 【详解】解：设这本书打折， 依题意，得：， 解得：， 即书店对该畅销书最多可打六五折． 故选：C． 9. 如图，在中，，点E是边上一点，，连接，，，，垂足为F，点G是的中点，则线段的长为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可得到，根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，即是的中位线，然后根据三角形的中位线定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中点， 又∵点G是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选B． 10. 如图，在中，，，点M是边上一动点，连接，将绕着点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，然后连接，则，即，然后根据垂线段最短可得当时，最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：在上截取，然后连接， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得当时，最小， 这时， 又∵， ∴， ∴，即， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当x______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不为零是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是 __边形． 【答案】八 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理． 【详解】解：设多边形的边数是，根据题意得， ， 解得， 这个多边形为八边形． 故答案为：八． 13. 已知的面积为，，则边上的高为______（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式和整式的有关因式，解题关键是熟练掌握三角形的面积公式和几种常见的分解因式的方法． 先根据三角形的面积公式，列出算式，然后把能够分解因式的多项式分解因式，再进行约分，最后根据单项式乘多项式法则算出结果即可． 【详解】解：的面积为，， 边上的高为： ， 故答案为：． 14. 若关于x的不等式的解集为，且分式的值为整数，则满足上述条件的整数m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的值．熟练掌握解一元一次不等式，分式的值是解题的关键． 由题意可得，，即，然后根据分式的值为整数，确定整数m的值，进而可得满足条件的整数m的值． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， ， ∴， 解得，， ∵分式的值为整数， ∴整数的值为，，0，1， 又∵， ∴满足条件的整数m的值为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点M是平面内一动点，满足，过点M作交直线于点N，当时，点M到边的距离为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，分为点N在线段上和线段的延长线上两种情况分别画图，先根据题意判断是等边三角形，然后得到，然后根据点M到得距离为解题即可． 【详解】如图，当点N在线段上时，连接，过点N作于点D， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点M到边的距离为； 如图，当点N在线段的延长线上时，连接，过点N作于点D， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点M到边的距离为； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）因式分解：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，分式的化简等知识．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． （1）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）先通分计算括号里的，然后进行除法运算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 先阅读小年解分式方程的过程，然后回答问题： 第一步：去分母，得， 第二步：去括号，得， 第三步：移项，得， 第四步：合并同类项，得， 第五步：系数化为1，得， 第六步：经检验，原方程的解为． （1）第一步的依据是______； （2）小轩的解题过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______； （3）原分式方程正确的解为______． 【答案】（1）等式的基本性质 （2）三，常数2前的符号移项未变号 （3）1.5 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意解分式方程要检验． （1）（2）观察解分式方程的步骤，找出每一步的依据和错误，进行解答即可； （3）按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出的值，然后进行检验即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 【小问2详解】 解：小轩的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因常数2前符号移项未变号， 故答案为：三，常数2前的符号移项未变号； 小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：把代入， 是原分式方程的解， 故答案为：1.5． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的； （2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； （3）如果点是边上的任意一点，则点M在上的对应点的坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作旋转图形，点坐标的平移等知识．熟练掌握平移作图，作旋转图形，点坐标的平移是解题的关键． （1）由平移的性质作图即可； （2）由旋转的性质作图即可； （3）根据点坐标平移左减右加求解作答即可． 【小问1详解】 解：由平移的性质作图，如图1，即为所作； 【小问2详解】 解：由旋转的性质作图，如图2，即为所作； 【小问3详解】 解：由平移的性质可知，在上的对应点的坐标是， 故答案为：． 19. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点，若设过点A和点C的直线表达式为，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图像直接写出不等式的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2） （3），， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，平行四边形的性质． （1）求出当和时的对应值，即可得到点的坐标； （2）借助图象可知当时，直线在的下方，即可得到不等式的解集； （3）分是对角线、是对角线和是对角线，根据平移的性质得到点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 令，则，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 由图象可得当时，； 【小问3详解】 当是对角线时，由C到点B平移可得向右平移个单位长度，即点A向右平移个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 当是对角线时，由B到点C平移可得向左平移个单位长度，即点A向左平移个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 当是对角线时，由A到点C平移可得向左平移个单位长度，向下平移3个单位长度，即点B向左平移个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为，，． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解也是不等式的解，求m的取值范围； （2）求差可以比较两个数的大小．若设方程的解为M，方程的解为N，请比较M与N的大小． 【答案】（1） （2），理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解以及完全平方式的性质，熟知解一元一次不等式的步骤及解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）用表示出方程的解，再求出不等式的解集，建立关于的不等式即可解决问题． （2）根据题意用含的代数式表示出，再判断所得代数式的正负即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ． 解不等式得， ． 因为该方程的解也是不等式的解， 所以， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 解方程得， ， 即， 所以， 所以． 21. 如图1，四边形中，点E，点F在对角线上，，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点O，连接，若平分，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明，然后得到，，即可得到结论； （2）证明四边形是矩形，然后可以得到是等边三角形，利用勾股定理求出和长即可解题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 22. 2024年4月25日，社会各界热切期盼的北京国际汽车展览会在北京举办，展览会场分汽车展区和零部件展区．已知每个汽车展位的面积比每个零部件展位的面积多4平方米，汽车展位每平方米的租金为万元，零部件展位每平方米的租金为万元．用1200平方米建零部件展位的个数是用同样面积建汽车展位个数的倍． （1）求每个汽车展位和零部件展位的面积各为多少平方米； （2）某新能源汽车公司为满足客户的个性化定制需求，向客户展示了其新款车的所有系列车型及高质量的零部件，决定租用汽车展位和零部件展位共18个，且汽车展位的数量不少于零部件展位数量的2倍，该公司如何租用汽车展位和零部件展位才能使总租金最少？ 【答案】（1）每个汽车展位的面积为24平方米，每个零部件展位的面积为20平方米 （2）当该公司租用12个汽车展位，6个零部件展位时总租金最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每个零部件展位的面积为平方米，则每个汽车展位的面积为平方米，利用展位数量总面积每个展位的面积，结合用1200平方米建零部件展位的个数是用同样面积建汽车展位个数的1.2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即每个零部件展位的面积），再将其代入中，即可求出每个汽车展位的面积； （2）设租用个汽车展位，则租用个零部件展位，根据租用汽车展位的数量不少于零部件展位数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设总租金为万元，利用总租金每个展位的租金租用数量，可列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个零部件展位的面积为平方米，则每个汽车展位的面积为平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每个汽车展位的面积为24平方米，每个零部件展位的面积为20平方米； 【小问2详解】 解：设租用个汽车展位，则租用个零部件展位， 根据题意得：， 解得：， 设总租金为万元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时． 答：当该公司租用12个汽车展位，6个零部件展位时总租金最少． 23. （1）爱探索的小刚同学将长方形纸片沿它的对角线所在直线折叠后，如图1所示，边的对应边与交于点F，连接． 发现一：是______三角形； 发现二：的位置关系是______； 于是，他提出问题：对于任意平行四边形是否也具有相同的结论呢？ （2）如图（2），将（1）的“长方形纸片”改为“”，其他条件不变，请问（1）中的发现一和发现二是否成立？如果成立，请选择其中一个进行证明，如果不成立，请说明原因； （3）拓展应用：如图（3），已知，点A，B为定点，点C在射线上运动，分别过点A，点C作的平行线，交点为点D，将沿着所在直线折叠，点B的对应点为点E，连接，若，请直接写出当为多少度时，为等腰三角形． 【答案】（1）等腰，；（2）（1）中的发现一和发现二成立，证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由长方形，可得，，则，由翻折的性质可知，，，则，可证是等腰三角形，如图（1），过作交的延长线于，则，，证明四边形是平行四边形，进而可得； （2）证明过程同理（1）； （3）由，，证明四边形是平行四边形，，则，，，，由翻折的性质可知，，，，，由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴等腰三角形， 如图（1），过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：等腰，； （2）解：（1）中的发现一和发现二成立，证明如下； 证明：∵， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴是等腰三角形， 如图（2），过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（1）中的发现一和发现二成立； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， 由翻折的性质可知，，，，， 由题意知，当为等腰三角形时，分，两种情况求解； 当时，， ∴，， 设，， ∴，，， 解得，， 如图（3）记交点为， ∴， ∴，即， ∴； 当时，， 设，则，， ∴， 如图（4）记交点为， 图（4） ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，当为或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$