专题2.5 绝对值与相反数（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.5 绝对值与相反数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的地，0的相反数是0； 【知识点二】相反数的性质： （1） a,b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0，则a,b互为相反数； （2） 一个有理数有且只有一个相反数； （3） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数. 【知识点三】相反数的几何意义： 一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等. 【知识点四】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点五】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点六】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相反数的定义与多重符号化简 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数；(2)1.2，，与互为相反数 (3)，； (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 解：（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点拨】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 解：∵，， ∴，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，与不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D正确； 故选：D． 【变式2】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ． 【答案】②④ 【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数， ②a+b与-a-b，是互为相反数， ③a+1与1-a，不是相反数， ④-a+b与a-b，是互为相反数． 故答案为：②④． 【点拨】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键． 【题型2】数反数与数轴（数形结合） 【例2】（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．    (1)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______； (2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 【答案】(1)； (2)5，C点 【分析】本题考查了相反数的定义和数轴，绝对值的意义， （1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 解题的关键是根据题意找出原点的位置． 解：（1）∵点A、B表示的数是互为相反数 ∴数轴上原点的位置如图，    故点C表示的数是． （2）∵点B、E表示的数是互为相反数 ∴点C表示的数为0，点D表示的数为， ∴， ∵0的绝对值是0为最小， ∴C点表示的数最小． 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可． 解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度， ∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是 ． 【答案】1 【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于、两点表示的数互为相反数，因此、一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数． 解：由于点，表示的数互为相反数，且， 原点与各点的位置如图所示： 将单位长度视为1， 因此所表示的数为1． 故答案为：1． 【点拨】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口． 【题型3】绝对值几何（代数）意义 【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 解：（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数中的相关概念，掌握绝对值，负整数，正整数的概念是解题的关键． 解：绝对值最小的数是，即， 最大的负整数为，即， 最小的正整数为，即， 故选：A ． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的代数意义，由题意确定的符号，由绝对值的代数意义化简即可得到答案，熟记绝对值的代数意义是解决问题的关键． 解：， ，则， ， 故答案为：． 【题型4】求一个数的绝对值与化简绝对值 【例4】（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： （1）_______； （2）若，则x的值为_______； （3）若与互为相反数，则_______； （4）若，则所有符合条件的整数x的和为_______； （5）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    （6）若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 【答案】(1)5； (2)； (3)1； (4)； (5)；(6)一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 【分析】本题考查了绝对值的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的性质直接求解即可．（2）利用绝对值的性质直接求解即可． （3）利用绝对值的非负性求解即可． （4）分情况讨论，化简绝对值求值即可． （5）根据数轴判断式子的正负，化简绝对值求值即可；（6）根据绝对值的性质求解即可． （1）解： （2）解：， ． （3）解：∵与互为相反数， ∴，， 解得：， （4）解： 当时，原式（舍去）， 当时，原式（舍去）， 当时，原式， ∴符合条件的整数x有 故所有符合条件的整数x的和为． （5）解：由数轴可知， （6）一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题，在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号，解题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 解：∵， ∴，，， ∴原式 ， ， 故选：． 【变式2】（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，去绝对值等知识，先去绝对值，再化成同分母比较大小即可，掌握有理数大小比较的常见方法是解题的关键． 解：∵，， ∵ ∴ 故答案为： 【题型5】绝对值的非负性 【例5】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习） 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 【答案】的值分别是，，． 【分析】根据非负数的性质求出、、的值即可得解． 解：∵， ∴，，， ∴，，． 【点拨】此题考查了绝对值非负性，正确理解几个非负数的和等于，则每一个算式都等于进行列式是解题的关键． 【变式1】（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【题型6】利用绝对值的意义比较有理数的大小 【例6】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． （1）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． （2）先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值大小，然后根据绝对值大的其值反而小求解即可． 解：（1）解：∵，， 又∵ ∴； （2）解：∵，， 又∵ ∴． 【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．熟练掌握绝对值的代数意义，有理数的大小比较法则，是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则，绝对值的代数意义逐一判断即可． 解：A、， ∵，， ∴， 故此选项不符合题意； B、， ∵，， 又∵， ∴， 故此选项符合题意； C、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、， ∵， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）用“”或“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可． 解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型7】解绝对值方程（分类讨论思想） 【例7】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 【变式1】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）使成立的条件是（    ） A．A为任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值方程．分3种情况进行讨论求解即可． 解：∵， 当， ，满足题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，不成立； ∴； 故选D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 解：因为， 所以，， 解得或． 故答案为：4或． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 【例2】（2024·湖南·中考真题）计算： ． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 解：， 故答案为：2024． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： （1）表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． （2）表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． （3）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 解：（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【例2】（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． （1）用“”将连接起来． （2） 1， 0（填“”“”，“”） （3）求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：（1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得；③由的意义，结合即可得解． （1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 绝对值与相反数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的地，0的相反数是0； 【知识点二】相反数的性质： （1） a,b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0，则a,b互为相反数； （2） 一个有理数有且只有一个相反数； （3） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数. 【知识点三】相反数的几何意义： 一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等. 【知识点四】绝对值定义：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点五】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即= 【知识点六】几点温馨提示 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有， （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】相反数的定义与多重符号化简 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ． 【题型2】数反数与数轴（数形结合） 【例2】（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．    (1)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______； (2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【变式2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是 ． 【题型3】绝对值几何（代数）意义 【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【题型4】求一个数的绝对值与化简绝对值 【例4】（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： （1）_______； （2）若，则x的值为_______； （3）若与互为相反数，则_______； （4）若，则所有符合条件的整数x的和为_______； （5）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    （6）若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【题型5】绝对值的非负性 【例5】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习） 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 【变式1】（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【题型6】利用绝对值的意义比较有理数的大小 【例6】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【变式1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）用“”或“”连接 ． 【题型7】解绝对值方程（分类讨论思想） 【例7】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【变式1】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）使成立的条件是（    ） A．A为任意实数 B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【例2】（2024·湖南·中考真题）计算： ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： （1）表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． （2）表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． （3）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【例2】（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． （1）用“”将连接起来． （2） 1， 0（填“”“”，“”） （3）求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$