专题 1-2 一元二次不等式初步【6类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-2 一元二次不等式初步 模块一 总览 内容总览（目录） 【题型1】一元二次不等式 【题型2】 分式不等式 【题型3】绝对值不等式 【题型4】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型5】含参一元二次不等式恒成立问题初步 【题型6】能成立问题（不等式有解） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】一元二次不等式 数形结合解一元二次不等式 -1 -1 如图，若二次函数，则的取值范围是________；若，则的取值范围是________. 【总结】开口向上：大于取两根______，小于取两根______.（也就是说关键在于求出“根”） 【思考】若遇到开口向下的二次函数，应该怎样解对应的一元二次不等式？________________. 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 1． 解下列不等式： （1） 第一步：化为一般式：， 第二步：求根：， ______；______， 【法1】：利用口诀“大于取两边，小于取中间” 【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. 2） 【解答】 第一步：将开口向下化为开口向上：________， 第二步：求根：______；______， 【法1】利用口诀：“大于取两边，小于取中间”【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. （3） （4） 【巩固练习1】 （1） （2） 【巩固练习2】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【题型2】 分式不等式 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 2． 解下列不等式： （1） （2） 【巩固练习1】解不等式： 【巩固练习2】解不等式： 【巩固练习3】解不等式：（1） （2） 【题型3】绝对值不等式 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5）若 3． 解不等式：（1）； （2） 【巩固练习1】 【巩固练习2】解不等式： 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【题型4】 由一元二次不等式的解集求参数 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 4． （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 【巩固练习1】已知关于x的不等式的解集为或，求a，b的值. 【巩固练习2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 【题型5】含参一元二次不等式恒成立问题初步 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 5． 已知不等式对任意实数都成立，则的取值范围是________. 【分析】①若m=0，则： ②若m≠0，则： 二次函数的图像恒在x轴______， 所以，需要满足的条件是________， 综上，解得：________. 【巩固练习1】已知对任意的实数x，恒成立，求实数a的取值范围. 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，求a的取值范围 【巩固练习3】若不等式在实数范围内恒成立，则实数的取值范围是________. 【题型6】能成立问题（不等式有解） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 6． 若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【巩固练习1】若关于的不等式有解，求实数a的取值范围． 【巩固练习2】若关于的不等式有解，求实数的取值范围 模块三 【课后作业】 1． 解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2． 解下列不等式： (1)； (2) (3)； 3． 已知函数，且的解集为，求. 4． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 5． 若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围 6． 不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 7． 若关于的不等式有实数解，求的取值范围． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-2 一元二次不等式初步 模块一 总览 内容总览（目录） 【题型1】一元二次不等式 【题型2】 分式不等式 【题型3】绝对值不等式 【题型4】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型5】含参一元二次不等式恒成立问题初步 【题型6】能成立问题（不等式有解） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】一元二次不等式 数形结合解一元二次不等式 -1 -1 如图，若二次函数，则的取值范围是________；若，则的取值范围是________. 【总结】开口向上：大于取两根______，小于取两根______.（也就是说关键在于求出“根”） 【思考】若遇到开口向下的二次函数，应该怎样解对应的一元二次不等式？________________. 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 1． 解下列不等式： （1） 第一步：化为一般式：， 第二步：求根：， ______；______， 【法1】：利用口诀“大于取两边，小于取中间” 【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. （2） 【解答】 第一步：将开口向下化为开口向上：________， 第二步：求根：______；______， 【法1】利用口诀：“大于取两边，小于取中间”【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. （3） （4） 【答案】(1)(2)(3)（4）无解 【分析】(1)不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； (2) 不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； (3) 不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； 【详解】（1）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为； （2）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为； （3）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为. （4）无解 【巩固练习1】 （1） （2） 【答案】(1). (2)R. 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）原不等式化为 ， 即 ， 所以 ， 故不等式的解集为 . （2）原不等式化为， 又 ， 所以 的解集为R. 【巩固练习2】解不等式： （1） （2） （3） (4) 【答案】（1）x>2或x<-2 (2) (3) (4) 【分析】(1)对原式因式分解化简即可解得. (2)先将最高次前的系数化为正数再因式分解即可解得. 【详解】（1）x>2或x<-2 （2）原不等式等价于： 解得： 所以原不等式解集为： （3）原不等式等价于： 即 解得：或 所以原不等式的解集为： （4）， 整理得， 解得， 即不等式的解集为. 【题型2】 分式不等式 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 2． 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） (2)或 【解答】 （1）由，得，解得或， 故不等式的解集为. （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式得解集为或. 【巩固练习1】解不等式： 【答案】 【解答】不等式等价于， ，解得或. 原不等式的解集为或. 【巩固练习2】解不等式： 【答案】 【解答】（2）， 或 解得 【巩固练习3】解不等式：（1） （2） 【答案】（1） （2） 【解答】（1）因为， 所以，则，即，故，解得 （2）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. 【题型3】绝对值不等式 一．绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上数到原点的距离 的几何意义：在数轴上，数和数之间的距离 二．常见的绝对值不等式 （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）若 （4）若或 （5）若 3． 解不等式：（1）；（2） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习1】 【答案】 【解析】由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习2】解不等式： 【答案】或 【解析】方法一：（分类讨论） （1）当时，原不等式变为：， 解得，所以； （2）当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【巩固练习3】不等式的解集是___________ 【答案】或 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 【题型4】 由一元二次不等式的解集求参数 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 4． （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解. 【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得 ， 故A错误，B正确，，故C正确， 不等式变为，解得，故D错误 【巩固练习1】已知关于x的不等式的解集为或，求a，b的值. 【答案】(1) 【分析】根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值； 【详解】（1）关于x的不等式的解集为或 即方程的根为， ，解得 【巩固练习2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】或 【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案. 【详解】由不等式的解集为， 知是方程的两实数根， 由根与系数的关系，得，解得：， 所以不等式可化为，解得：或 【题型5】含参一元二次不等式恒成立问题初步 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 5． 已知不等式对任意实数都成立，则的取值范围是________. 【分析】①若m=0，则： ②若m≠0，则： 二次函数的图像恒在x轴______， 所以，需要满足的条件是________， 综上，解得：________. 【答案】 【详解】① 若,则恒成立，满足题意； ② ,则， , ∴. 综上所述 【巩固练习1】已知对任意的实数x，恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题，结合判别式分析运算. 【详解】因为对任意，恒成立， 则，解得 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则 【巩固练习3】若不等式在实数范围内恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由题意知在上恒成立，只需，解得的取值范围. 【详解】根据条件可以转化为， 不等式在上恒成立，等价于在上恒成立， 只需满足，，解得 【题型6】能成立问题（不等式有解） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 6． 若存在实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为 【巩固练习1】若关于的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【巩固练习2】若关于的不等式有解，求实数的取值范围 【答案】 【解析】根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：， 则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集， 则有，解得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为 模块三 【课后作业】 1． 解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）因式分解可得结果； （2）配方法可得结果； （3）配方法可得结果. 【详解】（1）由，得，得， 所以不等式的解集为. （2）由得，得， 得，得或，即或， 所以原不等式的解集为或. （3）由得，所以. 所以原不等式的解集为. 2． 解下列不等式： (1)； (2) (3)； 【答案】(1)（﹣1，1） (2) (3) 【详解】不等式化为，即＜0，解得﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）． （2）因为，所以且， 所以且，所以且 （3）， 或 解得， 即不等式的解集为； 3． 已知函数，且的解集为，求. 【答案】， 【分析】根据韦达定理列式求出即可得解； 【详解】（1）因为的解集为,所以和是方程的两根， 所以，，即， 4． （多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，， 由韦达定理可得，可得，，则， 由可得，解得，B错； 对于C选项，由可得，即，解得， 因此，不等式的解集是，C对； 对于D选项，，D对. 5． 若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围 【答案】 【分析】讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围． 【详解】由题意，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，满足， 即，解得； 故实数的取值范围是． 6． 不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意问题等价于恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围． 【详解】关于x的不等式的解集为， 即恒成立． 当时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件． 当时，应满足且，解得． 7． 若关于的不等式有实数解，求的取值范围． 【答案】 【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意； 当时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式有实数解，符合题意； 当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得， 所以，综上所述：的取值范围是 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$