重点专题1-3 集合间的基本关系【九大题型】- 【赢在暑假】2025-2026学年新高一数学暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-3 集合间的基本关系 总览 题型·解读 模块一 基础题型梳理 【题型1】子集、真子集的确定 【题型2】判断两集合是否相等 【题型3】韦恩图及其应用 【题型4】空集的概念及性质应用 【题型5】集合间的基本关系（三种类型） 模块二 中档题 【题型6】求子集与真子集的个数（两种类型） 【题型7】由子集的个数求参数的值或范围 【题型8】由集合间的关系求参数的范围:方程型 【题型9】由集合间的关系求参数的范围: 不等式型 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基础题型梳理 【题型1】子集、真子集的确定 基础知识 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 典型例题 【例题1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，则集合的子集有 . 【巩固练习2】设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【题型2】判断两集合是否相等 基础知识 判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 典型例题 【例题1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 巩固练习 题型 【巩固练习1】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【题型3】韦恩图及其应用 基础知识 韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 典型例题 【例题1】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【例题2】 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】 【题型4】空集的概念及性质应用 基础知识 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 典型例题 【例题1】在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【例题2】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【巩固练习2】下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【题型5】集合间的基本关系（三种类型） 基础知识 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 典型例题 【例题1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】设，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【例题3】已知，，且，则_______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）若集合，，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【巩固练习4】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】若，则 ． 【巩固练习6】已知集合，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 模块二 中档题 【题型6】求子集与真子集的个数（两种类型） 基础知识 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 典型例题 【例题1】已知集合，则集合A的真子集有 个． 【例题2】已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 巩固练习 题型 【巩固练习1】集合的真子集的个数是_______. 【巩固练习2】（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【巩固练习3】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 所以集合为，共3个 【题型7】由子集的个数求参数的值或范围 典型例题 【例题1】若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 【例题2】集合至多有1个真子集，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【巩固练习3】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是 . 【巩固练习4】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【题型8】由集合间的关系求参数的范围:方程型 解题技巧 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 典型例题 【例题1】已知集合，且，则 ． 【例题2】已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习4】（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【题型9】由集合间的关系求参数的范围: 不等式型 典型例题 【例题1】设集合，，若，则a的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【例题2】若，，且，则实数a的取值范围是_______. 【例题3】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】设集合，集合，若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 【巩固练习3】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【课后训练】 1. 满足条件⊆的集合的个数是（　　） A．7个 B．15个 C．16个 D．14个 1. 若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 2． 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1. 已知集合，若，则实数a等于_______. 4． 已知集合，，且，则实数的值为 ． 5． 设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 6． （多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 7． 设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8． 已知集合，若，则_______. 9． （24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 10． 已知集合，若，则实数a等于_______. 11． 已知，，若，求m的值． 12． 集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 13． （高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 14． （广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 15． 已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 16． （高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-3 集合间的基本关系 总览 题型·解读 模块一 基础题型梳理 【题型1】子集、真子集的确定 【题型2】判断两集合是否相等 【题型3】韦恩图及其应用 【题型4】空集的概念及性质应用 【题型5】集合间的基本关系（三种类型） 模块二 中档题 【题型6】求子集与真子集的个数（两种类型） 【题型7】由子集的个数求参数的值或范围 【题型8】由集合间的关系求参数的范围:方程型 【题型9】由集合间的关系求参数的范围: 不等式型 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 基础题型梳理 【题型1】子集、真子集的确定 基础知识 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 典型例题 【例题1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确.故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【解析】∵， 所以集合的子集有：，，，. 【巩固练习2】设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 【题型2】判断两集合是否相等 基础知识 判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 典型例题 【例题1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误 巩固练习 题型 【巩固练习1】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【解析】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 【题型3】韦恩图及其应用 基础知识 韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 典型例题 【例题1】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．∵M＝{﹣1，0，1}，∴NM，故答案为②． 【例题2】 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B. 【巩固练习2】已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以集合的元素集合也有，即.故选：B 【巩固练习3】 【题型4】空集的概念及性质应用 基础知识 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 典型例题 【例题1】在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【答案】②③⑤ 【解析】①，空集是任何非空集合的真子集，①正确. ②，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，②错误. ③，空集没有任何元素，③错误. ④，根据集合元素的无序性可知④正确. ⑤，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，⑤错误. 【例题2】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得，所以a的取值范围值是. 【巩固练习2】下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 【巩固练习3】（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 【题型5】集合间的基本关系（三种类型） 基础知识 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 典型例题 【例题1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 【例题2】设，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答. 【详解】依题意，， ， ， 而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有， 集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 【例题3】已知，，且，则_______. 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 因此，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 【巩固练习2】（多选）若集合，，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 【巩固练习3】已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【答案】B 【解析】集合，，， 集合，，， 集合，，， 时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；所以 【巩固练习4】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 【巩固练习5】若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 【巩固练习6】已知集合，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则 模块二 中档题 【题型6】求子集与真子集的个数（两种类型） 基础知识 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 典型例题 【例题1】已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【解析】集合，所以集合A的真子集个数是. 【例题2】已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由得且不全部是的元素， 令，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个，故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】集合的真子集的个数是_______. 【答案】7 【分析】首先确定集合中的元素，再由子集概念可得． 【详解】由得，，又，所以， 时，，时，，时，， 【巩固练习2】（多选）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD 【巩固练习3】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}， 则中必有两个元素，又是的真子集， 所以集合为，共3个 【题型7】由子集的个数求参数的值或范围 典型例题 【例题1】若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 【答案】或 【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值. 【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素， 当时，为满足题意. 当时，只有一个根，则： ， 所以，综上所述：或. 【例题2】集合至多有1个真子集，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解 【详解】当时，，满足题意， 当时，由题意得，得， 综上，的取值范围是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得，故或. 【巩固练习3】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是 . 【答案】，且 【分析】由题意可得方程有两个不相等的根，所以，从而可求出的范围 【详解】因为集合的真子集个数是3个，所以集合中有两个元素， 所以方程有两个不相等的根， 所以，解得，且 【巩固练习4】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或 【题型8】由集合间的关系求参数的范围:方程型 解题技巧 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 典型例题 【例题1】已知集合，且，则 ． 【答案】2 【解析】∵，且，∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2． 【例题2】已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故中至多一个元素. 又，且，则或或， 当时，， 当时，， 当时，，∴．故选：D. 【巩固练习2】（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 【巩固练习3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 【巩固练习4】（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【解析】，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 【题型9】由集合间的关系求参数的范围: 不等式型 典型例题 【例题1】设集合，，若，则a的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解． 【详解】集合，，， ， 故的取值集合是． 【例题2】若，，且，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可. 【详解】解：由已知， ， 当时，，解得 当时，，解得，综合得. 【例题3】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为 巩固练习 题型 【巩固练习1】设集合，集合，若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系列不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以 【巩固练习2】已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 【答案】 【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解. 【详解】当时，满足，此时，有，解得：； 当时，要使，只需，解得：. 综上，实数的取值范围为. 【巩固练习3】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【课后训练】 1. 满足条件⊆的集合的个数是（　　） A．7个 B．15个 C．16个 D．14个 【答案】选B。根据方法可得24-1=15 1. 若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 【答案】或 【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值. 【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素， 当时，为满足题意. 当时，只有一个根，则： ， 所以，综上所述：或. 2． 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是.故选：B 1. 已知集合，若，则实数a等于_______. 【答案】3 【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解. 【详解】因为，所以，即， 解得或， 经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾； 时，，满足题意. 4． 已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以 5． 设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B. 6． （多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 7． 设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,，，,，．故选：B． 8． 已知集合，若，则_______. 【答案】1 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去），所以. 9． （24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 10． 已知集合，若，则实数a等于_______. 【答案】3 【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解. 【详解】因为，所以，即， 解得或， 经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾； 时，，满足题意. 11． 已知，，若，求m的值． 【解析】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 12． 集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况. 【详解】，若，则是的子集， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，实数的取值范围是． 13． （高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 14． （广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【解析】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是A的真子集成立； 若，则，因为是A的真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 15． 已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 【解析】（1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. 16． （高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$