专题 2-1 等式性质与不等式性质【9大题型】-【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版2019）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-1 等式性质与不等式性质 总览 题型·解读 模块一 重难点题型突破 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 【题型5】其它方法比大小 【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案） 模块二 中档题突破 【题型7】糖水不等式的证明及应用 【题型8】不等式的证明及不等式判断综合 【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重难点题型突破 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 基础知识 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 基础知识 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 【例题1】（24-25高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习3】（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 基础知识 作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论． 对任意两个实数、 ①；②；③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 【例题1】已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【巩固练习1】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 所以． 【巩固练习2】已知，试比较与的大小. 【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 基础知识 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 1 ；②；③． 【例题1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【例题2】已知，，试比较与的大小； 【巩固练习1】设，比较与的大小 【巩固练习2】，则的大小关系为 ． 【巩固练习3】已知，试比较和的大小. 【题型5】其它方法比大小 基础知识 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 【例题1】比大小：_____． 【例题2】若，，则a、b的大小关系是 ． 【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空） 【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”） 【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案） 基础知识 常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【例题2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【巩固练习3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． (1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、； (2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； (3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 模块二 中档题突破 【题型7】糖水不等式的证明及应用 基础知识 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【题型8】不等式的证明及不等式判断综合 基础知识 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【巩固练习3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 模块三 【课后作业】 1． （24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 2． 将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 3． （24-25高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4． （24-25高一上·广东惠州·期中）已知，，则的取值范围是 . 5． 下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6． 已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7． 设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 8． 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 9． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10． （24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 11． 已知，，则的范围是 . 12． （23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 13． （24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）（1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 14． （25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 15． （24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 16． 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 17． （高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-1 等式性质与不等式性质 总览 题型·解读 模块一 重难点题型突破 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 【题型5】其它方法比大小 【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案） 模块二 中档题突破 【题型7】糖水不等式的证明及应用 【题型8】不等式的证明及不等式判断综合 【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 模块三 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重难点题型突破 【题型1】用不等式（组）表示不等式关系 基础知识 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 【巩固练习1】下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【题型2】利用不等式的性质判断命题真假 基础知识 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 【例题1】（24-25高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到，又，所以，即， 所以可以推出，由选项A知推不出，所以是的充分不必要条件，故选项B正确， 对于选项C，易知可以推出，取，显然满足， 但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确，对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误 【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误 【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 【巩固练习3】（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，，，所以，， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误，故选：BC 【题型3】作差法比较两数（式）的大小 基础知识 作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论． 对任意两个实数、 ①；②；③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 【例题1】已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小； （2）利用作差法，即可证明． 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 【巩固练习1】比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【解析】（1）由， 所以. （2）由， 所以． 【巩固练习2】已知，试比较与的大小. 【解析】由， 因为，，可得， 所以. 【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【解析】（1）， . （2）， ， ，则， . 【题型4】作商法比较两数（式）的大小 基础知识 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 1 ；②；③． 【例题1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【例题2】已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 【巩固练习1】设，比较与的大小 【答案】 【解析】， ， ， . 【巩固练习2】，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【解析】因为， 则 由 所以 【巩固练习3】已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【题型5】其它方法比大小 基础知识 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 【例题1】比大小：_____． 【答案】> 【分析】对，两边平方，再做差比较大小可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以. 【例题2】若，，则a、b的大小关系是 ． 【答案】 【解析】，， 因为，所以， . 故答案为：. 【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空） 【答案】< 【详解】此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大. 【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【答案】B 【分析】平方后作差比较大小即可. 【详解】， ∴M<N. 【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”） 【答案】 【解析】依题意，，，而，因此， 所以. 故答案为： 【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案） 基础知识 常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 【例题2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足；故选：C. 【巩固练习3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． (1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、； (2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； (3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 【答案】(1)，，， (2)，，，，， (3)甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析 【分析】（1）直接利用长方体体积公式求解即可； （2）直接写出各种可能情况即可； （3）按照，的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可． 【详解】（1），，，的体积分别为，，，， 因为容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为， 则，，，． （2）甲从，，，中任选2个，有，，，，，，共6种可能． （3）当时，则，即． 则，，即甲取，均不能够稳操胜券； 当时，则， 即， 则，， 即甲取，均不能稳操胜券； 若甲先取，则：， 即， 即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券， 综上所述：甲必胜的方案：甲选AD． 模块二 中档题突破 【题型7】糖水不等式的证明及应用 基础知识 糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。 其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有： 含义解释： （1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）. （2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）. 关键点： 前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数. 结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1. 应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。 【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时，所以“”是“”的必要不充分条件. 【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小； （2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明； （3）根据条件建立不等式，再作差证明. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且， 求证： (其中). 证明：，且， ，即， ， 即， ， 即 （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水， 求证： (其中，). 证明：， 【题型8】不等式的证明及不等式判断综合 基础知识 常用不等式的证明方法 1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． 2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 4、平方法：对两式先平方，再比较大小． 5、利用平方公式的非负性 【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ，．故选：C． 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确 【巩固练习1】证明：已知，且，求证：. 【解析】因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 【巩固练习5】（1）已知，证明：； （2）若a，b，c为三角形的三边长，则． 【解析】（1）， 由，得，而，，， 则，所以． （2）为的三边长，则有，，， 由（1）知：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以． 【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解. （2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法） 基础知识 例题：已知，且，求和的取值范围. 第一步：令，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围 第五步：将和平方作差即可得出的取值范围 解析：（1）设，则解得 由已知得，则， 即. （2）因为，所以，即， 所以，则，所以. 【例题1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，所以，故选：D 【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得，即， ，所以，即，故选：D 【例题3】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 【巩固练习3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 模块三 【课后作业】 1． （24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，则,则. 2． 将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D 3． （24-25高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断． 【详解】解：当，时，A显然错误； 当时，，则，B正确； 若，则， 所以， 所以，C正确； 若，，则， 所以，D错误． 4． （24-25高一上·广东惠州·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，可得结果. 【详解】因为，， 所以，，所以，即，即. 5． 下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 6． 已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，故选： 7． 设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】因为，所以. 8． 已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误；故选：D. 9． 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以，故选：A． 10． （24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的范围，利用待定系数法可求的范围. 【详解】因为，，故即， 设， 故，所以，故， 又，， 所以，故答案为：. 11． 已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 12． （23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 13． （24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）（1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可； （2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果. 【详解】（1）， 因为，所以， 又，所以， 即. （2）令， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 又，所以， 故的取值范围为. 14． （25-26高一上·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 15． （24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 16． 不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立： (2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，. 证明：. .， ，. （2）设的三边长分别为，则有， 由（1）已证不等式可得：，，， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以， 17． （高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$