上海市华东师范大学附属周浦中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高一（下）期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1．（3分）角1400°属于第 　 　象限角． 2．（3分）在△ABC中，如果三条边a：b：c＝2：3：4，那么角C＝　 　．（用反三角形式表示角C） 3．（3分）若z是复数，，则＝　 　． 4．（3分）计算：＝　 　． 5．（3分）在复数范围内因式分解：2x2﹣x+1＝　 　． 6．（3分）小数化为分数是 　 　． 7．（3分）设等差数列{an}中，a1+a4+a8+a12+a15＝10，前n项和为Sn，则S15＝　 　． 8．（3分）在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若，，则an＝　 　． 9．（3分）已知数列{an}的前n项和，则它的通项公式an＝　 　． 10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2x+k＝0有两个根x1，x2，且|x1|+|x2|＝4，则满足条件的实数k的值为 　 　． 11．（3分）若是偶函数，则有序实数对（a，b）　 　．（注：写出你认为正确的一组数字即可） 12．（3分）已知数列{an}的通项公式为an＝|n﹣18|，记，若Sn+30﹣Sn＝225，则正整数n的值为 　 　． 二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．（4分）设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（　　） A．如果|z1|＝a，a是正实数，那么 B．如果|z1|＝|z2|，那z1＝±z2 C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a D．如果，那么z1＝z2＝0 14．（4分）要得到函数y＝3sin2x的图象，只要把函数图象（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 15．（4分）等比数列{an}的首项，公比为q，数列{bn}满足bn＝log0.5an（n是正整数），若当且仅当n＝4时，{bn}的前n项和Bn取得最大值，则q取值范围是（　　） A． B．（3，4） C． D． 16．（4分）设数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，使得；②数列（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题（满分48分，8+8+10+10+12） 17．（8分）当实数m为何值时，复数z＝（3m2﹣4m﹣4）+（2m2﹣3m﹣2）i为： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应点在第二象限？ 18．（8分）已知，求的值． 19．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x． （1）求f（x）的最小正周期、对称中心； （2）求f（x）的单调区间、最值以及取得最值时x的值． 20．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3an﹣1+4（n≥2）．设bn＝log3（an+2）． （1）求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}通项公式； （2）设数列，且对任意正整数n，不等式cn≤2λ﹣1恒成立，求实数λ的取值范围． 21．（12分）对于数列{xn}，{yn}，其中yn∈Z，对任意正整数n都有，则称数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”．已知{bn}为数列{an}的“接近数列”，且． （1）若（n是正整数），求b1，b2，b3，b4的值； （2）若（n是正整数），是否存在k（k是正整数），使得Ak＜Bk，如果存在，请求出k的最小值，如果不存在； （3）若{an}为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{bn}为等差数列的充要条件是d∈Z． 2023-2024学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1．（3分）角1400°属于第 　四　象限角． 【分析】根据终边相同的角的定义即可得． 【解答】解：1400°＝360°×4﹣40°，1400°与﹣40°终边相同． 故答案为：四． 【点评】本题考查终边相同的角的定义，属于基础题． 2．（3分）在△ABC中，如果三条边a：b：c＝2：3：4，那么角C＝　　．（用反三角形式表示角C） 【分析】先设a＝2x，b＝3x，c＝4x，然后结合余弦定理可求cosC，进而可求C． 【解答】解：∵在△ABC中，a：b：c＝2：3：8， 设a＝2x，b＝3x， 根据余弦定理得，， 故C＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题． 3．（3分）若z是复数，，则＝　﹣　． 【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据共轭复数的概念求得答案． 【解答】解：∵， ∴＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查了复数的四则运算及共轭复数的概念，属于基础题． 4．（3分）计算：＝　1000　． 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【解答】解：原式＝＝＝． 故答案为：1000． 【点评】本题考查了复数的运算性质，属于基础题． 5．（3分）在复数范围内因式分解：2x2﹣x+1＝　　． 【分析】根据已知条件，结合求根公式，即可求解． 【解答】解：令2x2﹣x+3＝0， Δ＝（﹣1）6﹣4×2×2＝﹣7＜0，由求根公式可知，x3，2＝， 故2x8﹣x+1＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题． 6．（3分）小数化为分数是 　　． 【分析】设＝x，10x＝7.7777...，两式相减可得答案． 【解答】解：设＝x， ∵x＝＝0.7777...， ∴10x＝8.7777...， ∴10x﹣x＝7， 解得x＝． 故答案为：． 【点评】本题考查方程思想的应用，属于基础题． 7．（3分）设等差数列{an}中，a1+a4+a8+a12+a15＝10，前n项和为Sn，则S15＝　30　． 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【解答】解：等差数列{an}中，a1+a4+a3+a12+a15＝5a8＝10，即a8＝2， 则S15＝＝15a8＝30． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 8．（3分）在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若，，则an＝　2n﹣1　． 【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得，变形可得q的值，进而求出a1的值，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若，，即，变形可得3＝7， 解可得：q＝2； 又由，即a1（2+q+q2）＝a1（8+2+4）＝，解可得a1＝， 故an＝a1qn﹣3＝2n﹣1． 故答案为：3n﹣1． 【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题． 9．（3分）已知数列{an}的前n项和，则它的通项公式an＝　　． 【分析】由an与Sn的关系，化简可得所求通项公式． 【解答】解：由，可得n＝1时，a1＝S7＝3； 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣6＝n2+3n﹣7﹣（n﹣1）2﹣6（n﹣1）+1＝5n+2． 综上，可得an＝． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 10．（3分）已知关于x的实系数一元二次方程x2+2x+k＝0有两个根x1，x2，且|x1|+|x2|＝4，则满足条件的实数k的值为 　﹣3或4　． 【分析】根据函数有实根或复数根进行讨论，从而解出k． 【解答】解：当Δ≥0即k≤1时，由于x7+x2＝﹣2，若x5，x2同为负数，|x1|+|x3|＝﹣（x1+x2）＝2，矛盾！ 所以x1，x2一正一负，不妨设x6＞0，则有|x1|+|x4|＝x1﹣x2＝4， 又有（x1﹣x2）5＝（x1+x2）4﹣4x1x8＝4﹣4k＝16，得k＝﹣7， 当Δ＜0即k＞1时，令x8+2x+k＝0，得，x＝﹣4±i， |x7|+|x2|＝2＝2，得k＝2． 故答案为：﹣3或4． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布于系数的关系，需要注意讨论复根，属中档题． 11．（3分）若是偶函数，则有序实数对（a，b）　（1，﹣1）　．（注：写出你认为正确的一组数字即可） 【分析】若能通过化简变形为f（x）＝Acos（ωx）的形式，即可找到f（x）为偶函数的条件，从而得出结论． 【解答】解：ab≠0， ＝ ＝（a+b）sinx+． ∵f（x）是偶函数， ∴只要a+b＝0即可， 可以取a＝1，b＝﹣5． 【点评】知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三： （1）奇偶性的定义； （2）数形结合； （3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性． 12．（3分）已知数列{an}的通项公式为an＝|n﹣18|，记，若Sn+30﹣Sn＝225，则正整数n的值为 　2或3　． 【分析】先令bn＝n﹣18，则an＝|bn|，再对n分n≤18，n＞18两种情况进行讨论，根据绝对值的知识及等差数列的求和公式推导出Sn+30，Sn的表达式，代入Sn+30﹣Sn＝225进行计算即可得到符合题意的正整数n的值． 【解答】解：由题意，令bn＝n﹣18，则an＝|bn|， ①当n≤18时，Sn＝a1+a2+…+an ＝|b3|+|b2|+…|bn| ＝﹣（b1+b2+…bn） ＝ ＝， Sn+30＝a2+a2+…+a18+a19+a20+…+an+30 ＝﹣（b1+b8+…+b18）+（b19+b20+…+bn+30） ＝（b1+…+bn+30）﹣2（b5+…+b18） ＝， 由Sn+30﹣Sn＝225， 可得， 化简整理，得n2﹣5n+6＝3， 解得n＝2或3， ②当n＞18时，Sn＝a2+…+a18+…+an ＝|b1|+…+|b18|+|b19|…+|bn| ＝（b1+…+bn）﹣4（b1+…+b18） ＝， 由Sn+30﹣Sn＝225， 可得， 化简整理，得60n＝600， 解得n＝10， 这与n＞18矛盾，不合题意， 综合①②，可得符合题意的正整数n＝4或3． 故答案为：2或7． 【点评】本题主要考查绝对值数列的求和问题．考查了分类讨论思想，方程思想，转化与化归思想，等差数列的求和公式的运用，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题． 二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．（4分）设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（　　） A．如果|z1|＝a，a是正实数，那么 B．如果|z1|＝|z2|，那z1＝±z2 C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a D．如果，那么z1＝z2＝0 【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断． 【解答】解：设z1＝x1+y6i，z2＝x2+y7i，（x1，y1，x4，y2∈R）， 对于选项A：∵，则， ∴，故A正确； 对于选项B：∵|z1|＝|z6|，即，则， 不能得到x1＝±x7，y1＝±y2，更不能得到z5＝±z2， 例如z1＝4，z2＝i，则|z1|＝|z4|＝1，但z1≠±z3，故B错误； 对于选项C：∵，则， 但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小； 对于选项D：∵，则， 可得，不能得到x1＝y1＝x4＝y2＝0， 例如z7＝1，z2＝i，则，但显然z1≠0，z8≠0，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了复数的相关概念，考查了复数的四则运算，属于基础题． 14．（4分）要得到函数y＝3sin2x的图象，只要把函数图象（　　） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【分析】由条件利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：把y＝3sin（2x+）的图象上所有的点向右平移， 可得函数y＝3sin[2（x﹣）+， 故选：C． 【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 15．（4分）等比数列{an}的首项，公比为q，数列{bn}满足bn＝log0.5an（n是正整数），若当且仅当n＝4时，{bn}的前n项和Bn取得最大值，则q取值范围是（　　） A． B．（3，4） C． D． 【分析】求出{bn}的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解． 【解答】解：， 所以{bn}是以b1＝6为首项，d＝log3.5q为公差的等差数列， 若当且仅当n＝4时，{bn}的前n项和Bn取得最大值， 所以 ，即． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 16．（4分）设数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，使得；②数列（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】通过判定命题①的否定，进一步说明命题①的真假，对于命题②通过验证前8项，进一步说明第9项以后的数列都符合递减数列． 【解答】解：对于数列{an}为：1，，，，，，，，，，，，，，，…， 首先判断命题：①存在正整数k，使得； 命题①的否定为：对∀正整数k，都有，通过验证k＝1，3，3，4，2，6，7，当k≥6时，，故命题的否定为真命题； 对于②数列满足，，，，，，，，从第9项起，故②为真命题． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：验证法，命题真假的判定，数列的单调性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题． 三、解答题（满分48分，8+8+10+10+12） 17．（8分）当实数m为何值时，复数z＝（3m2﹣4m﹣4）+（2m2﹣3m﹣2）i为： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应点在第二象限？ 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数z＝（3m2﹣3m﹣4）+（2m4﹣3m﹣2）i （1）z为实数， 则8m2﹣3m﹣5＝0，解得； （2）z为纯虚数， 则，解得m＝； （3）z对应点在第二象限， 则，解得． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的概念，属于基础题． 18．（8分）已知，求的值． 【分析】观察角度的关系发现，（α+β）﹣（β﹣）＝α+，然后利用两角和的正切函数公式化简后，把tan（α+β）和tan（β﹣）的值代入即可求出所求式子的值． 【解答】解：∵α+， ∴tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣＝＝． 【点评】此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意找角度的关系． 19．（10分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x． （1）求f（x）的最小正周期、对称中心； （2）求f（x）的单调区间、最值以及取得最值时x的值． 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得f（x）＝cos（2x+），利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）因为f（x）＝cos2x﹣2sinxcosx﹣sin7x ＝cos2x﹣sin2x ＝cos（2x+）， 所以f（x）的最小正周期T＝＝π， 令2x+＝kπ+，解得x＝+， 所以f（x）的对称中心为； （2）令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ（k∈Z）+kπ≤x≤﹣，所以f（x）的严格增区间， 令2kπ≤3x+≤2kπ+π（k∈Z）+kπ≤x≤，所以f（x）的严格减区间， 可得当时，最大值为；当时． 【点评】本题考查了二倍角公式以及两角和的余弦公式的应用，考查了余弦函数的性质，属于基础题． 20．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3an﹣1+4（n≥2）．设bn＝log3（an+2）． （1）求证：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}通项公式； （2）设数列，且对任意正整数n，不等式cn≤2λ﹣1恒成立，求实数λ的取值范围． 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得cn，推得{cn}递减，可得cn≤c1＝，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）证明：由a1＝1，an＝3an﹣1+4， 可得an+2＝3an﹣1+6＝3（an﹣1+5）， 即数列{an+2}是首项和公比均为3的等比数列， 则an+8＝3n，即an＝3n﹣6； （2）数列＝＝， 则＝•＝＜1， 可得{cn}递减，可得cn≤c7＝， 对任意正整数n，不等式cn≤5λ﹣1恒成立，可得2λ﹣7≥， 即有λ≥，即λ的取值范围是[． 【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的单调性和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 21．（12分）对于数列{xn}，{yn}，其中yn∈Z，对任意正整数n都有，则称数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”．已知{bn}为数列{an}的“接近数列”，且． （1）若（n是正整数），求b1，b2，b3，b4的值； （2）若（n是正整数），是否存在k（k是正整数），使得Ak＜Bk，如果存在，请求出k的最小值，如果不存在； （3）若{an}为无穷等差数列，公差为d，求证：数列{bn}为等差数列的充要条件是d∈Z． 【分析】（1）根据定义逐一计算即可； （2）求得An，Bn的通项公式，分类讨论k为奇数，k为偶数时列不等式求解即可； （3）根据充分必要条件的定义即可证明． 【解答】解：（1）由题意得，（n是正整数）n}为数列{an}的“接近数列”， ∴bn＝n（n是正整数）， ∴b6＝1，b2＝7，b3＝3，b8＝4． （2）当n为奇数时，，由函数， ∴，， ∴，∴，可得bn＝2， 当n为偶数时，，由函数， ∴，， ∴，∴），可得bn＝1， 综上所述：， ， 当k为偶数时，令，无解； 当k为奇数时，令， 所以k＞log≈16.66min＝17， 因此，存在k（k是正整数）k＜Bk，k的最小值为17． （3）①若d∈Z时，由题意对于任意正整数n均有，且bn∈Z， 则，， ∴an+1﹣an﹣1＜bn+3﹣bn＜an+1﹣an+1，即﹣3＜bn+1﹣bn﹣d＜1， ∵bn∈Z，d∈Z， ∴bn+7﹣bn﹣d＝0，即bn+1﹣bn＝d， 因此{bn}为等差数列，且公差也为d（d∈Z）； ②若{bn}为等差数列，设公差为d′（d′∈Z）， |an+5﹣a1|＝|an+1﹣bn+5+bn+1﹣b1+b5﹣a1|≤|an+1﹣bn+2|+|bn+1﹣b1|+|b3﹣a1|＜n|d'|+1， 又|an+2﹣a1|≥|bn+1﹣b6|﹣|an+1﹣bn+1+b4﹣a1|＞n|d'|﹣1， 即n|d'|﹣4≤n|d|≤n|d'|+1， ∴，对于任意正整数n都成立， ∴|d|＝|d'|，又d'∈Z， 因此，数列{bn}为等差数列的充要条件是d∈Z． 【点评】本题考查数列的应用，是难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/28 11:40:54；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$