2024年 陕西师范大学附属中学九年级中考数学八模试卷

2024年陕西师大附中中考数学八模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．10℃ B．﹣10℃ C．6℃ D．﹣6℃ 2．（3分）为弘扬“中国航天精神”，设立每年的4月24日为“中国航天日”，如图是一个正方体的展开图，“国”字对面的字是（　　） A．航 B．天 C．精 D．神 3．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝150°，那么∠3的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 4．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过点（﹣1，4），则该一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（3分）如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则cos∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为OC、BC的中点．若EF＝3（　　） A． B．6 C．9 D．12 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O中，点E为，若∠A＝120°，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝1（　　） A．8a+c＜0 B．abc＞0 C．当﹣1＜x＜2时，y≥0 D．若（﹣2，y1），，（3，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）与﹣最接近的整数是　 　． 10．（3分）如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则∠BAC的度数为 　 　°． 11．（3分）程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，第8次输出的结果是 　 　． 12．（3分）若直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则﹣2x1y2+5x2y1的值为 　 　． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，AE＝OB＝2，对角线AC＝14，点Q为⊙O上一动点，⊙O半径为1．若EP+PQ＝7　 　． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14．（5分）计算：． 15．（5分）求不等式的非负整数解． 16．（5分）化简：． 17．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，连接ED．请用尺规作图法，在ED上找一点P（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝AE，求证：CD＝BE． 19．（5分）为响应阳光体育运动的号召，学校足球社团组织队员进行了足球友谊赛，每场比赛均决出胜负，负一场扣2分．已知甲队在参与的8场比赛中最终得到9分，则甲队胜了多少场？ 20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字﹣1，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，记录卡片上的数字为y．若x＞y，则甲获胜，说明这个游戏对双方是否公平． 21．（6分）学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为1.8米的标杆EF垂直立于地面上的点F处，FC＝1米，接着沿斜坡从C走到点D处，D到地面BC的距离DM为9米，CM为12米 22．（7分）为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，各等级对应分数段为A：0≤x＜60；B：60≤x＜70；D：85≤x≤100，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 　 　； （2）所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在 　 　等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”） （3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号 23．（7分）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．如表为实验时记录的一些数据． 温度x（℃） … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y（米/秒） … 331 334 337 340 343 … （1）在如图的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点． （2）根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 　 　（填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，并求出该函数的表达式． （3）某地冬季的室外温度是﹣10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2），求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计） 24．（8分）如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，与AB相切于点A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD＝∠DCO． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求⊙O的半径． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，某跳水运动员站在跳台上的O处进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）1，最高点A的坐标为． （1）求抛物线L1的函数表达式，及点B的坐标． （2）如图，该运动员从点B入水后，经过最低点C，运动路线为另一条抛物线L2.若抛物线L1与L2开口大小相同，且BD＝BE，求最低点C离水面的距离． 26．（10分）（1）初步探究： 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，以AD为边作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，，求△CDE的面积． （2）深入探究： 如图2，正方形ABCD为一个艺术演艺规划区域，AB＝80m．在正方形ABCD内部或边上，点E为AD中点，点F在边CD上，，点P在AB上，AP＝20m，等边△PQI为表演舞台，△APQ和△BPI为观看区域．请问观看区域△APQ和△BPI面积之和是否为定值？如是；如不是，说明理由． 2024年陕西师大附中中考数学八模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．10℃ B．﹣10℃ C．6℃ D．﹣6℃ 【分析】用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解． 【解答】解：8﹣（﹣2）＝5+2＝10℃． 故选：A． 【点评】本题利用有理数的减法运算法则求解． 2．（3分）为弘扬“中国航天精神”，设立每年的4月24日为“中国航天日”，如图是一个正方体的展开图，“国”字对面的字是（　　） A．航 B．天 C．精 D．神 【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面的文字即可解答． 【解答】解：在正方体中，与，“国”字对应的字是“精”． 故选：C． 【点评】本题考查了正方体相对面上的文字，掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 3．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝150°，那么∠3的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】过E作EF∥CD，得到EF∥AB，推出∠1+∠AEF＝180°，∠3＝∠CEF，求出∠AEF＝30°，∠CEF＝45°﹣30°＝15°，得到∠3＝15°． 【解答】解：过E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠1+∠AEF＝180°，∠3＝∠CEF， ∵∠6＝150°， ∴∠AEF＝30°， ∴∠CEF＝45°﹣30°＝15°， ∴∠3＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出1+∠AEF＝180°，∠3＝∠CEF． 4．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过点（﹣1，4），则该一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据待定系数法求出上解析式，再根据函数的图象和性质求解． 【解答】解：由题意得：﹣k﹣k＝4， 解得：k＝﹣2， ∴一次函数为：y＝﹣7x+2， ∴一次函数的图象不经过第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上的点的特征，掌握待定系数法是解题的关键． 5．（3分）如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的顶点），则cos∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：连接AC， 则△ABC为直角三角形． 令小正方形的边长为a， 由勾股定理得， BC＝， AB＝， 在Rt△ABC中， cos∠ABC＝． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，连接AC构造出直角三角形及熟知余弦的定义是解题的关键． 6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为OC、BC的中点．若EF＝3（　　） A． B．6 C．9 D．12 【分析】由矩形的性质得AC＝BD，OD＝OB，由点E、F分别为OC、BC的中点，EF＝3，根据三角形的中位线定理得OB＝2EF＝6，BD＝OD+OB＝12，所以AC＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC， ∴AC＝BD，OD＝OB， ∵点E、F分别为OC，EF＝3， ∴OB＝2EF＝7×3＝6， ∴OD＝OB＝3， ∴BD＝OD+OB＝6+6＝12， ∴AC＝BD＝12， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，正确地求出OB的长是解题的关键． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O中，点E为，若∠A＝120°，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】连接BE，BD，OE，OD，过点O作OM⊥DE于点M，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理求出∠BED＝∠BCD＝60°，根据弧与弦的关系求出BE＝DE，进而求出△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质、圆周角定理求出∠EOD＝2∠EBD＝120°，根据垂径定理求出EM＝DM＝DE，∠EOM＝∠EOD＝60°，解直角三角形求解即可． 【解答】解：连接BE，BD，OD， ∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠BED＝∠BCD＝60°， ∵点E为的中点， ∴＝， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠EBD＝60°， ∴∠EOD＝2∠EBD＝120°， ∵OM⊥DE， ∴EM＝DM＝DE∠EOD＝60°， ∴sin∠EOM＝＝， ∵OE＝3， ∴EM＝， ∴DE＝3， 故选：B． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理等知识，熟练运用有关知识并作出合理的辅助线是解题的关键． 8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝1（　　） A．8a+c＜0 B．abc＞0 C．当﹣1＜x＜2时，y≥0 D．若（﹣2，y1），，（3，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2 【分析】依据题意，根据图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，从而b＝﹣2a0，又抛物线与y轴交于正半轴，从而可判断B；由图象知，当x＝3时，y＜0，以及a＜0可以判断A；根据抛物线与x轴的交点和对称轴可以得出抛物线与x轴的交点在﹣1﹣0之间，从而可以判断C；根据函数的对称性可以判断D． 【解答】解：由题意，根据图象开口向下， ∴a＜0， 又对称轴是直线x＝﹣＝3， ∴b＝﹣2a＞0， 又抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞4， ∴abc＜0，故B错误； 由图象知，当x＝3时， 即8a+3b+c＝3a+c＜3， ∵a＜0， ∴8a+c＜6， 故A正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的交点在2﹣3之间， ∴抛物线与x轴的另一交点在﹣1﹣0之间， 故C错误； ∵4﹣（﹣2）＝3，3﹣＝， ∴y2＞y4＞y1， 故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）与﹣最接近的整数是　﹣2　． 【分析】大约等于1.732，由此可得出本题的答案． 【解答】解：﹣≈﹣1.732， ∴最接近的整数为﹣4． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 10．（3分）如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则∠BAC的度数为 　36　°． 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由邻补角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，结合图形代入求解即可． 【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB＝∠ACD＝＝108°， ∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°， ∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 11．（3分）程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，第8次输出的结果是 　1　． 【分析】分别求出x＝1，8，4，2时输出的值，找到规律即可求解． 【解答】解：当输入x的值是1时，x+7＝7+7＝8； 当输入x的值是5时，0.5x＝2.5×8＝3； 当输入x的值是4时，0.8x＝0.5×2＝2； 当输入x的值是2时，7.5x＝0.4×2＝1； 当输入x的值是8时，x+7＝1+8＝8； ......； 可以发现，每4次一循环， ∴4÷4＝2， ∴第8次输出的结果是1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了代数式求值，规律问题，根据计算结果找出规律是解题的关键． 12．（3分）若直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则﹣2x1y2+5x2y1的值为 　9　． 【分析】根据正比函数与反比例函数的对称性可得出x2＝﹣x1，y2＝﹣y1，再根据x1y1＝﹣3即可解决问题． 【解答】解：因为正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点O成中心对称， 所以点（x1，y1）与点（x2，y2）关于原点O对称， 所以x2＝﹣x7，y2＝﹣y1， 所以﹣4x1y2+5x2y1＝﹣8x1•（﹣y1）+4（﹣x1）y1＝﹣8x1y1， 将点（x2，y1）代入y＝得， x4y1＝﹣3， 所以﹣4x1y2+4x2y1＝﹣3×（﹣3）＝9． 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数图象的对称性是解题的关键． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，AE＝OB＝2，对角线AC＝14，点Q为⊙O上一动点，⊙O半径为1．若EP+PQ＝7　．　． 【分析】根据对称，得到EP＝GP，又因为EP+PQ＝7，圆的半径为1，所以G，P，Q，O四点共线，通过相似得出AP的长． 【解答】解：作点E关于AC的对称点G， ∴EP+PQ＝GP+PQ＝7， ∵AB＝8，r＝5， ∴G，P，Q，O四点共线， ∴AB∥OG， ∴△AEP∽△ABC， ∴， ∴， ∴AP＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，属于综合题，解题的关键是找到G，P，Q，O四点共线． 三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程） 14．（5分）计算：． 【分析】先算乘法，去绝对值，计算负整数指数幂，然后计算加减法即可． 【解答】解： ＝+2﹣ ＝3+8﹣ ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．（5分）求不等式的非负整数解． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【解答】解：， 去分母得：5x﹣2＜3（x+1）， 去括号得：8x﹣1＜3x+2， 移项、合并同类项得：2x＜4， 解得：x＜3， 故不等式的非负整数解为0，3． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 16．（5分）化简：． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可． 【解答】解：原式＝÷（a+2﹣） ＝÷ ＝• ＝• ＝． 【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 17．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，连接ED．请用尺规作图法，在ED上找一点P（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】过点C作CP⊥DE于点P即可． 【解答】解：如图，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝AE，求证：CD＝BE． 【分析】根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠EAB＝∠DAC，利用SAS证明△ABE≌△ACD，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠EAB，∠ACB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠DAC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， 即CD＝BE 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（5分）为响应阳光体育运动的号召，学校足球社团组织队员进行了足球友谊赛，每场比赛均决出胜负，负一场扣2分．已知甲队在参与的8场比赛中最终得到9分，则甲队胜了多少场？ 【分析】设甲队胜了x场，负了（8﹣x）场，根据得分为9分可列方程求解． 【解答】解：设甲队胜了x场，负了（8﹣x）场， 根据题意得：3x﹣6（8﹣x）＝9， 解得：x＝8， 答：甲队胜了5场． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键设出胜的场数，以总分数作为等量关系列方程求解． 20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字﹣1，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，记录卡片上的数字为y．若x＞y，则甲获胜，说明这个游戏对双方是否公平． 【分析】画树状图，其中x＞y的结果有6种，x＜y的结果有6种，再由概率公式求出甲获胜的概率＝乙获胜的概率，即可得出结论． 【解答】解：这个游戏对双方公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12个等可能的结果，其中x＞y的结果有6种， ∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝， ∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率， ∴这个游戏对双方公平． 【点评】本题考查了游戏公平性以及树状图法求概率，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（6分）学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为1.8米的标杆EF垂直立于地面上的点F处，FC＝1米，接着沿斜坡从C走到点D处，D到地面BC的距离DM为9米，CM为12米 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，则得矩形DGBM，证明△AGD是等腰直角三角形，由△CFE∽△CBA，得＝，求出AG，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∴DG＝BM，DM＝GB＝9米， ∵α＝45°， ∴△AGD是等腰直角三角形， ∴AG＝DG， ∵EF∥AB， ∴△CFE∽△CBA， ∴＝， ∵CF＝1米，EF＝6.8米， ∴BF＝BM﹣FC﹣CM＝GD﹣13＝（AG﹣13）米， ∴＝， ∴＝， ∴AG＝38.25， ∴AB＝AG+GB＝38.25+9＝47.25（米）， 答：古树的高度为47.25米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 22．（7分）为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，各等级对应分数段为A：0≤x＜60；B：60≤x＜70；D：85≤x≤100，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 　153°　； （2）所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在 　C　等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”） （3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号 【分析】（1）根据七年级A的人数和所占的百分比求出总人数，根据B的百分比求出七年级B的人数，再补全条形统计图即可，用360°乘以C所占的百分比即可求出扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体思想求解． 【解答】解：（1）七年级总人数为：5÷12.5%＝40（人）， 七年级B等级人数为：40×25%＝10（人）， 补全条形统计图如下所示： 扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为360°×＝153°； 故答案为：153°； （2）将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知， 因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在C等级； 故答案为：C； （3）720×20%+800×＝384（人）， 答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、利用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（7分）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．如表为实验时记录的一些数据． 温度x（℃） … 0 5 10 15 20 … 声音在空气中传播的速度y（米/秒） … 331 334 337 340 343 … （1）在如图的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点． （2）根据描点发现这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 　一次　（填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，并求出该函数的表达式． （3）某地冬季的室外温度是﹣10℃，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2），求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计） 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）观察可知这些点在同一条直线上，用待定系数法可得函数表达式； （3）求出x＝﹣10时y的值，再根据路程＝速度×时间即可得到答案． 【解答】解：（1）描出以表格中数据为坐标的各点如下： （2）观察所描各点可得，这些点在同一条直线上， 故答案为：一次； 设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b， 把（0，331），334）代入得： ， 解得， ∴这条直线所对应的函数表达式为y＝0.2x+331； （3）当x＝﹣10时，y＝0.6×（﹣10）+331＝325， ∴当气温是﹣10℃时，声音在空气中传播的速度为325米/秒， ∵小明同学看到烟花2秒后才听到声响， ∴325×3＝975（米）， ∴小明与燃放烟花地的距离为975米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 24．（8分）如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，与AB相切于点A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD＝∠DCO． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求⊙O的半径． 【分析】（1）作OE⊥BC，先由∠CBD＝∠DCO求得∠BCD＝∠COD＝∠BOA，再由∠BAC＝∠D＝90°及∠BCD＝∠BOA求得∠OBA＝∠OBC，根据角平分线的性质得OE＝OA，依据切线的判定可得； （2）在Rt△ABC中求得AC＝12，由切线长定理知BE＝AB＝5，则CE＝8，证明△CEO∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：过点O作OE⊥BC于点E， ∵CD⊥BO， ∴∠D＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°，∠COD+∠DCO＝90°， ∵∠CBD＝∠DCO， ∴∠BCD＝∠COD＝∠BOA， 又∵AB为⊙O的切线， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC＝∠D＝90°， ∵∠BCD＝∠BOA， ∴∠OBA＝∠OBC， ∴OE＝OA， ∵OE⊥BC，OE是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，AC＝， ∵AB、BC为⊙O的切线， ∴BE＝AB＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝8， ∵∠OCE＝∠BCA，∠OEC＝∠BAC＝90°， ∴△CEO∽△CAB， ∴， ∴， ∴OE＝， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定与性质． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，某跳水运动员站在跳台上的O处进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）1，最高点A的坐标为． （1）求抛物线L1的函数表达式，及点B的坐标． （2）如图，该运动员从点B入水后，经过最低点C，运动路线为另一条抛物线L2.若抛物线L1与L2开口大小相同，且BD＝BE，求最低点C离水面的距离． 【分析】（1）设空中运动的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+，将（0，0）代入可求a的值，即可确定函数的解析式； （2）先根据题意设抛物线L2的解析式为y＝（x﹣h）2+k，再根据B（4，﹣10），E（﹣，﹣10），BD＝BE，求出D（9，﹣10），然后求出抛物线L2的对称轴是直线x＝，再把B点坐标代入解析式求出k，然后得出点C到水面的距离． 【解答】解：（1）由题意，设空中运动的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+， ∵抛物线经过原点， ∴a+＝0， ∴a＝﹣， ∴抛物线L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+； 当y＝﹣10时，﹣（x﹣1）2+＝﹣10， ∴x＝4或x＝﹣8（舍去）， ∴B（4，﹣10）； （2）由题意，设另一条抛物线L2的解析式为y＝（x﹣h）2+k， 又B（2，﹣10），﹣10）， ∴D（6，﹣10）， ∴抛物线L5的对称轴是直线x＝＝， ∴抛物线L8的解析式为y＝（x﹣）2+k． 又将B（4，﹣10）代入解析式得， ﹣10＝（4﹣）2+k， 解得k＝﹣， ∴顶点C的坐标为（，﹣）， ∴最低点C离水面的距离为﹣10＝． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 26．（10分）（1）初步探究： 如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，以AD为边作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，，求△CDE的面积． （2）深入探究： 如图2，正方形ABCD为一个艺术演艺规划区域，AB＝80m．在正方形ABCD内部或边上，点E为AD中点，点F在边CD上，，点P在AB上，AP＝20m，等边△PQI为表演舞台，△APQ和△BPI为观看区域．请问观看区域△APQ和△BPI面积之和是否为定值？如是；如不是，说明理由． 【分析】（1）先证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝2，∠ACE＝∠B＝45°，推出∠DCE＝90°，利用勾股定理可知BC的长度，从而得到CD的长度，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）作IR⊥AB交AB于点R，作QN⊥RN交RI的延长线于点N，作QM⊥AB交AB于点M，作PH⊥QI交QI于点H，过点H作HK⊥AB交AB于点K，作QJ⊥AD交AD于点J，延长KH交QN于 点T，先证明四边形AMQJ是矩形，四边形AKTJ 是矩形，四边形ARNJ是矩形，，设，EJ＝9x，证明△PKH﹣△HTQ，得到，设HT＝y，那么，接下来利用，得到，又因为S△APQ+S△BPI＝AP•QM+PB•RI，从而计算出面积的定值． 【解答】解：（1）∵△ABC、△ADE为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝3，∠ACE＝∠B＝45° ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝45°+45°＝90°， 又∵BC＝＝＝7， ∴DC＝BC﹣BD＝8﹣2＝7， ∴S△CDE＝DC•CE＝； （2）观看区域△APQ和△BPI面积之和为定值；理由如下： 作IR⊥AB交AB于点R，作QN⊥RN交RI的延长线于点N，作PH⊥QI交QI于点H，作QJ⊥AD交AD于点J，如图所示： ∴∠AMQ＝∠AJQ＝∠ARI＝∠QNR＝∠HKP＝90°， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴四边形AMQJ是矩形，四边形AKTJ是矩形， ∴AJ＝MQ＝KT＝RN，AM＝JQ，∠JTK＝∠JNR＝90°， ∴AK﹣AM＝JT﹣JQ， ∴MK＝QT， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝80m， ∴AD＝80m，BP＝AB﹣AP＝80﹣20＝60（m）， ∵点E为AD中点， ∴AE＝AD＝40m， ∵tan∠DEF＝， ∴＝， 设JQ＝5x＝AM， ∴AJ＝AE+EJ＝40+6x＝MQ＝KT＝RN，PM＝AP﹣AM＝20﹣5x， ∵△PQI是等边三角形，PH⊥QI， ∴∠PIQ＝60°＝∠QPI，∠HPI＝∠HPQ＝，QH＝HI＝， ∴tan∠QPH＝＝tan∠30°＝， 即＝， ∵∠PHK+∠QHT＝180°﹣∠PHQ＝180°﹣90°＝90°，∠HPK+∠PHK＝180°﹣∠PKH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠QHT＝∠HPK， 又∵∠HKP＝∠HTQ＝90°， ∴△PKH∽△HTQ， ∴＝＝＝， 设HT＝y，则PK＝y， ∵∠QTH＝∠JNR＝90°， ∴HT∥IN， ∴△OHT∽△OIN， ∴＝＝， ∴IN＝2HT＝4y， ∵KT＝40+9x＝RN＝MQ， ∴KH＝KT﹣HT＝40+9x﹣y，RI＝RN﹣IN＝40+3x﹣2y， ∴TQ＝＝， ∵MK＝MP+PK＝20﹣5x+y， ∴＝20﹣5y， ∴6x﹣y＝5﹣10， ∵S△APQ＝AP•QM＝，S△BPI＝PB•RI＝， ∴S△APQ+S△BPI＝400+90x+1200+270x﹣60y＝1600+360x﹣60y＝1600+60（3x﹣y）， ∴S△APQ+S△BPI＝1600+60×（5﹣10）＝（1000+3002， ∴观看区域△APQ 和△BPI面积之和为定值，定值为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/28 11:20:19；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$