上海市虹口区2023—-2024学年下学期八年级期末数学试卷

2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．（2分）下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝2x﹣1 C． D． 2．（2分）已知一次函数y＝（3﹣m）x+3，如果函数值y随x增大而减小（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 3．（2分）下列事件中，必然事件是（　　） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意选取两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度 4．（2分）下列方程中，有实数解的是（　　） A． B．x2+1＝0 C． D． 5．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，联结DE，DE∥AB，不是的相反向量的是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．（2分）直线y＝﹣2x+6的截距是 　 　． 8．（2分）方程的解是 　 　． 9．（2分）如果一次函数y＝（3m﹣2）x+1的图象经过A（1，8），那么m的值是 　 　． 10．（2分）已知一次函数y＝2x+m﹣1的图象与y轴的交点在负半轴上，那么m的取值范围是 　 　． 11．（2分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 　 　． 12．（2分）如果多边形的每一个内角都等于144°，那么它的内角和为 　 　． 13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOD＝120°，且DE∥OC，则四边形OCED的周长为 　 　． 14．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E，BE＝2，AF＝6，则△ABE的面积为 　 　. 15．（2分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，，表示向量为 　 　． 16．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE＝3，那么FG＝　 　． 17．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝30°．如果梯形的中位线长为6，那么BD的长为 　 　． 18．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，点B恰好落在CD边上的点B'处，若四边形ABFE的面积为6　 　． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19．（8分）解方程：． 20．（8分）解方程组：． 21．（8分）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． （1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 　 　； （2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球； （3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 22．（9分）某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本y1与产量x之间是一次函数关系，函数y1与自变量x（kg）的部分对应值如下表： x（单位：kg） 10 20 30 y1（单位：/元） 3030 3060 3090 （1）求y1与x之间的函数关系式； （2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入y2（元）与销量x（kg）之间满足如图所示的函数关系 ①y2与x之间的函数关系式为　 　； ②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少kg，才不会亏损？ 23．（9分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，AC平分∠DAE． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）过点B作BG与DC的延长线交于点G，且∠GBC＝∠CAE．求证：四边形ABGC是矩形． 24．（10分）如图，已知∠ABP＝90°，AB＝8（点C、E不与点B重合且点C在点E的左侧），联结AC、AE，D为AC的中点，交ED的延长线于点F，联结AF． （1）求证：四边形ABCF是梯形； （2）如果CE＝5，当△CDE为等腰三角形时，求BC的长． 25．（12分）已知直线y＝kx+b（其中kb≠0），我们把直线y＝bx+k称为直线y＝kx+b的“轮换直线”．例如：直线y＝3x+2的“轮换直线”是直线y＝2x+3． 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x+m（m≠1）的“轮换直线”是直线l2，交y轴于点A，l2交y轴于点B，l1和l2相交于点M． （1）如果直线l1经过点（﹣1，﹣3）． ①求直线l1、l2的表达式和点M的坐标； ②点N是平面内一点，如果四边形AMBN是等腰梯形，且AM∥BN （2）将AM绕点A顺时针旋转90°，点M的对应点M1落在与直线l2平行的直线l3上．小明说：“直线l3一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确 2023-2024学年上海市虹口区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．（2分）下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝2x﹣1 C． D． 【分析】依据形如y＝xx+b（k，b是常数，k≠0）的函数是一次函数进行解答即可． 【解答】解：A、该函数是二次函数； B、该函数符合一次函数的定义； C、该函数不是一次函数； D、该函数不是一次函数； 故选：B． 【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 2．（2分）已知一次函数y＝（3﹣m）x+3，如果函数值y随x增大而减小（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【分析】根据y随x的增大而减小可知3﹣m＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴3﹣m＜0， ∴m＞6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 3．（2分）下列事件中，必然事件是（　　） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意选取两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、上海明天太阳从西边升起是不可能事件； B、任意选取两个非零实数，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的硬币，不符合题意； D、在平面内画一个平行四边形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2分）下列方程中，有实数解的是（　　） A． B．x2+1＝0 C． D． 【分析】方程两边都乘x﹣1得出x＝1，再进行检验即可判断选项A；移项后得出x2＝﹣1，即可判断选项B；方程两边平方得出x2﹣1＝0，求出方程的解，即可判断选项C；求出＞0即可判断选项D． 【解答】解：A．＝， 方程两边都乘x﹣1，得x＝1， 经检验x＝7不是原方程的解，即原方程无实数根； B．x2+1＝7， 移项，得x2＝﹣1， ∵不论x为何值，x6不能为负数， ∴此方程无实数根，故本选项不符合题意； C．＝6， 方程两边平方，得x2﹣1＝4， x2＝1， x＝±8， 经检验x＝1和x＝﹣1都是原方程的解，即原方程有实数根； D．＝2， ∵不论x为何值，x2≥0， ∴x2+1≥1， ∴＞8， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，解分式方程，分式方程的解等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 5．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，联结DE，DE∥AB，不是的相反向量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据AD∥BC，DE∥AB推知四边形ABED是平行四边形，则AD＝BE．由点E是边BC的中点知：BE＝EC，所以AD＝BE＝EC，结合相反向量的定义进行分析判断． 【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝EC． ∴AD＝BE＝EC． ∴与相反向量的是：、、， 观察选项，只有选项D不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了梯形，平行四边形的判定与性质以及平面向量，解题的关键是掌握平行向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作向量a的相反向量． 6．（2分）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B． C． D． 【分析】先利用正方形的性质得到AB＝AD＝10cm，在图2中，连接BD交AC于O，证明△ABD是等边三角形得BD＝10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得AO的长即可求． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形cm， ∴AB＝AD＝AC＝10cm， 在图2中，连接BD交AC于O， ∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm， ∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝＝5cm，AC⊥BD， ∴AO＝＝＝5， ∴AC＝4AO＝10（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．（2分）直线y＝﹣2x+6的截距是 　6　． 【分析】根据截距的定义即可解决问题． 【解答】解：将x＝0代入y＝﹣2x+8得， y＝6， 所以直线y＝﹣2x+7的截距是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知截距的定义是解题的关键． 8．（2分）方程的解是 　x＝11　． 【分析】方程两边平方得出x﹣2＝9，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方，得x﹣8＝9， 解得：x＝11， 经检验：x＝11是原方程的解． 故答案为：x＝11． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 9．（2分）如果一次函数y＝（3m﹣2）x+1的图象经过A（1，8），那么m的值是 　3　． 【分析】把点（1，8）代入一次函数y＝（3m﹣2）x+1，求出m的值即可． 【解答】解：一次函数y＝（3m﹣2）x+3的图象经过点（1，8）， ∴4＝3m﹣2+8， 解得m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 10．（2分）已知一次函数y＝2x+m﹣1的图象与y轴的交点在负半轴上，那么m的取值范围是 　m＜1　． 【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+m﹣1的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴m﹣6＜0 解得m＜1． 故m的取值范围是m＜6． 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式是关键． 11．（2分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 　3y2﹣2y﹣1＝0　． 【分析】结合已知条件，利用换元法将原分式方程换元后并化为整式方程即可． 【解答】解：设y＝， 则原分式方程可化为：4y﹣＝2， 去分母得：6y2﹣1＝3y， 即3y2﹣4y﹣1＝0， 故答案为：6y2﹣2y﹣3＝0． 【点评】本题考查换元法解分式方程，换元法是解方程的常用方法，必须熟练掌握． 12．（2分）如果多边形的每一个内角都等于144°，那么它的内角和为 　1440°　． 【分析】设多边形的边数为n，根据题意得，（n﹣2）×180°＝144°n，即可求出边数n，然后代入多边形内角和公式计算即可． 【解答】解：设多边形的边数为n， 根据题意得，（n﹣2）×180°＝144°n， 解得n＝10， 所以（10﹣2）×180°＝1440°， 故答案为：1440°． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟知：多边形的内角和为（n﹣2）×180°是解题的关键． 13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOD＝120°，且DE∥OC，则四边形OCED的周长为 　8　． 【分析】根据矩形的性质可得OC＝OD，再证明四边形OCED是平行四边形，即可证▱OCED是菱形，由∠AOD＝120°可得∠DOC＝60°，证得△OCD是等边三角形，可求得菱形的边长是2，即可求得周长的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2． ∴OC＝OD，AB＝CD＝2． ∵DE∥OC，CE∥OD． ∴四边形OCED是平行四边形． ∴▱OCED是菱形． ∵∠AOD＝120°． ∴∠DOC＝60°． ∴△OCD是等边三角形． ∴OC＝OD＝CD＝7． ∴菱形OCED的周长＝2×4＝3． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和等边三角形，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键． 14．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E，BE＝2，AF＝6，则△ABE的面积为 　8　. 【分析】由正方形ABCD，BE＝2，AF＝6，AE∥CF，得AF∥EC，得四边形AECF为平行四边形，得EC＝AF＝6，得AB＝BC＝2+6＝8，即可得△ABE的面积＝AB•BE＝×8×2＝8． 【解答】解：由正方形ABCD，BE＝2，AE∥CF， 得AF∥EC， 得四边形AECF为平行四边形， 得EC＝AF＝6， 得AB＝BC＝5+6＝8， 得△ABE的面积＝AB•BE＝． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形． 15．（2分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，，表示向量为 　+　． 【分析】在△ABC中，利用三角形法则求得，继而利用D是边BC的中点求得；最后在△ABD中，再次利用三角形法则求得． 【解答】解：∵向量，， ∴＝﹣＝﹣． ∵D是边BC的中点， ∴＝＝﹣． ∴＝+＝+﹣＝+． 故答案为：+． 【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，熟练运用三角形法则是解题的关键． 16．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，如果DE＝3，那么FG＝　4.5　． 【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝6，DE∥BC，得到四边形DBCE为梯形，根据梯形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵D、E分别是边AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2×5＝6，DE∥BC， ∴四边形DBCE为梯形， ∵F、G分别是DB， ∴FG＝（DE+BC）＝， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 17．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝30°．如果梯形的中位线长为6，那么BD的长为 　4　． 【分析】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，根据平行四边形的性质得到DE＝AC，AD＝CE，求得BE＝BC+CE＝12，在梯形ABCD中，AC＝BD，得到BD＝DE，过D作DH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E， ∵AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴DE＝AC，AD＝CE， ∵梯形的中位线长为6， ∴（AD+BC）＝6， ∴AD+BC＝12， ∴BE＝BC+CE＝12， 在梯形ABCD中，AC＝BD， ∴BD＝DE， 过D作DH⊥BC于H， ∴BH＝， ∵∠DBC＝30°， ∴BD＝， ∵BD2＝BH2+DH4， ∴BD2＝68+（BD）5， ∴BD＝4， 故答案为：2． 【点评】本题考查了梯形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，点B恰好落在CD边上的点B'处，若四边形ABFE的面积为6　　． 【分析】连接BB′，交EF于O，过点F作FG⊥AD于G．根据四边形ABFE的面积为6，得到AE+BF＝3，设AE＝x，利用翻折特征，得到BB′⊥EF，证明△EGF≌BCB，依次得到BC＝EG＝3﹣2x，BF＝3﹣x，在Rt△FBC 利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：连接BB交EF于O，过点F作FG⊥AD于G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴四边形ABFE是梯形， ∴四边形ABFE的面积为， 又∵AB＝4， ∴AE+BF＝3， 设AE＝x， 则BF＝4﹣x，FC＝BC﹣BF＝4﹣（3﹣x）＝7+x， ∵AD∥BC，FG⊥AD， ∴四边形GDCF为矩形， ∴GD＝FC＝1+x， ∴EG＝AD﹣AE﹣GD＝4﹣x﹣（3+x）＝3﹣2x， ∵四边形GDCF为矩形， ∴∠EFB+∠EFG＝90°， ∵点B是点B沿着EF的翻折点， ∴BB′⊥EF， ∴∠B'BC+∠EFB＝90°， ∴∠EFG＝∠B′BC， 又∵FG＝CD＝BC，∠EGF＝∠BCB＝90°， ∴△EGF≌BCB， ∴B′C＝EG＝4﹣2x， 在Rt△FBC 中， 根据翻折特征，BF＝BF＝3﹣x， 利用勾股定理得，B'F7＝B'C2+FC2， 即 （2﹣x）2＝（3﹣3x）2+（1+x）3， 解得， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19．（8分）解方程：． 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验，即可得出答案． 【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3），得3（x+3）＝5﹣（x2﹣9）， 整理，得 x2+5x﹣8＝0， 解这个整式方程，得 x2＝﹣4，x2＝3， 经检验：当x＝﹣4，x＝2时， 所以，原方程的根是x5＝﹣4，x2＝6． 【点评】本题考查了解分式方程，关键是四则混合元算的应用． 20．（8分）解方程组：． 【分析】先由②得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，再由①和③组成两个二元一次方程组，最后求出两个二元一次方程组的解即可． 【解答】解：， 由②得：（x﹣y）（x﹣2y）＝8， x﹣y＝0或x﹣2y＝8③， 由①和③组成两个二元一次方程组：，， 解得：，， 所以原方程组的解是，． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 21．（8分）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． （1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 　　； （2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球； （3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． （3）结合概率公式设计游戏方案即可． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果， ∴从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有7种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种， ∴两次摸出的球都是白球的概率为＝． （3）再往箱子里放2个白球，1个红球，摸出白球的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．（9分）某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本y1与产量x之间是一次函数关系，函数y1与自变量x（kg）的部分对应值如下表： x（单位：kg） 10 20 30 y1（单位：/元） 3030 3060 3090 （1）求y1与x之间的函数关系式； （2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入y2（元）与销量x（kg）之间满足如图所示的函数关系 ①y2与x之间的函数关系式为　y2＝5x　； ②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少kg，才不会亏损？ 【分析】（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式． （2）利用利润问题中的等量关系解决这个问题． 【解答】解：（1）设y1＝kx+b，由已知得： ， 解得：． 给所求的函数关系式为y7＝3x+3000． （2）y2＝5x， （3）由y1＝y2得 8x＝3x+3000， 解得x＝1500． 答：每月至少要生产该种食品1500kg，才不会亏损． 【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题． 23．（9分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，AC平分∠DAE． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）过点B作BG与DC的延长线交于点G，且∠GBC＝∠CAE．求证：四边形ABGC是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠BCD，得到AF∥CE，得到四边形AECF是平行四边形，根据角平分线的定义得到∠EAC＝∠FAC，根据平行线的性质得到∠FAC＝∠ECA，得到AE＝CE，根据菱形的判定定理得到平行四边形AECF是菱形； （2）根据菱形的性质得到AE＝CE，得到∠CEA＝∠ACE，求得∠ACE+∠ABE+∠BAE+∠CAE＝180°，得到∠BAC＝90°，根据平行四边形的性质得到AB∥DC，求得AB∥CG，根据矩形的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AF∥CE， ∵E，F分别是边BC， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC平分∠DAE， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵AF∥CE， ∴∠FAC＝∠ECA， ∴∠FAC＝∠FAC， ∴AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE， ∴∠CEA＝∠ACE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AE， ∴∠BAE＝∠ABE， ∵∠ACE+∠ABE+∠BAC＝180°， ∴∠ACE+∠ABE+∠BAE+∠CAE＝180°， ∴2（∠BAE+∠CAE）＝180°， ∴∠BAE+∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴AB∥CG， ∴四边形ABGC是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴平行四边形ABGC是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 24．（10分）如图，已知∠ABP＝90°，AB＝8（点C、E不与点B重合且点C在点E的左侧），联结AC、AE，D为AC的中点，交ED的延长线于点F，联结AF． （1）求证：四边形ABCF是梯形； （2）如果CE＝5，当△CDE为等腰三角形时，求BC的长． 【分析】（1）先证△DCF和△DAE全等得CF＝AE，则四边形AECF为平行四边形，由此得AF∥BC，据此即可得出结论； （2）根据△CDE为等腰三角形，可分为以下三种情况：①当CD＝CE＝5时，则AC＝10，由勾股定理可得BC的长；②当CE＝DE＝5时，过点F作FH⊥BP于H，则EF＝2DE＝10，AF＝CE＝5，AF∥BP，进而得四边形ABHF为矩形，则BH＝AF＝5，FH＝AB＝8，由勾股定理得EH＝6，进而根据BC＝BH+EH+CE可得出BC的长；③当CD＝DE时，则AC＝EF，进而得四边形AECF为矩形，此时点B与点E重合，故不合题意，综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CF∥AE， ∴∠DCF＝∠DAE，∠DFC＝∠DEA， ∵D为AC的中点， ∴CD＝AD， 在△DCF和△DAE中， ， ∴△DCF≌△DAE（AAS）， ∴CF＝AE， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF∥CE，即AF∥BC， ∵CF∥AE，AE与AB交于点A， ∴CF与AB不平行， ∴四边形ABCF是梯形； （2）解：∵△CDE为等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①当CD＝CE＝5时，如图1所示：   ∵D为AC的中点， ∴AC＝8CD＝10， ∵AB＝8，∠ABP＝90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝； ②当CE＝DE＝5时，过点F作FH⊥BP于H   由（1）可知：四边形AECF为平行四边形， ∴EF＝2DE＝10，AF＝CE＝6， ∵∠ABP＝90°，FH⊥BP， ∴四边形ABHF为矩形， ∴BH＝AF＝5，FH＝AB＝8， 在Rt△EFH中，由勾股定理得：EH＝， ∴BC＝BH+EH+CE＝5+5+5＝16； ③当CD＝DE时，如图3所示： 由（1）可知：四边形AECF为平行四边形， ∴AC＝EF， 此时平行四边形AECF为矩形，即∠AEC＝90°， ∵∠ABP＝90°， ∴点B与点E重合，故不合题意， 综上所述：BC的长为8或16． 【点评】此题主要考查了梯形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握梯形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 25．（12分）已知直线y＝kx+b（其中kb≠0），我们把直线y＝bx+k称为直线y＝kx+b的“轮换直线”．例如：直线y＝3x+2的“轮换直线”是直线y＝2x+3． 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝x+m（m≠1）的“轮换直线”是直线l2，交y轴于点A，l2交y轴于点B，l1和l2相交于点M． （1）如果直线l1经过点（﹣1，﹣3）． ①求直线l1、l2的表达式和点M的坐标； ②点N是平面内一点，如果四边形AMBN是等腰梯形，且AM∥BN （2）将AM绕点A顺时针旋转90°，点M的对应点M1落在与直线l2平行的直线l3上．小明说：“直线l3一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确 【分析】（1）①由新定义求出函数表达式，进而求解； ②由AN＝BM，即t2+（﹣2﹣t﹣1）2＝12+（﹣1﹣1）2，即可求解； （2）求出点M′（1，m﹣1），即可求解． 【解答】解：（1）①由题意得：l2的表达式为：y＝mx+1， 将（﹣5，﹣3）代入直线l1的表达式得：﹣8＝﹣1+m， 解得：m＝﹣2， 则直线l2、l2的表达式分别为：y＝x﹣2，y＝﹣2x+1； 联立上述两个函数表达式得：x﹣2＝﹣7x+1， 解得：x＝1， 则点M（3，﹣1）； ②如下图，由直线l1、l2的表达式知，点A（0，B（0， ∵AM∥BN，则直线BN的表达式为：y＝x+3， 设点N（t，t+1）， ∵四边形AMBN是等腰梯形，则AN＝BM， 即t2+（﹣2﹣t﹣1）2＝62+（﹣1﹣3）2， 解得：t＝﹣2或﹣7， 当t＝﹣1时，N（﹣1，此时AN//MB， ∴点N（﹣4，﹣1）； （2）正确，直线l3过定点（4，﹣1） 由题意得：l2的表达式为：y＝mx+5， 联立l1、l2的表达式得：mx+8＝x+m， 解得：x＝1，则点M（1， 过点M′、M分别作y轴的垂线、G， 由题意得，∠OAM＝45°， 则△AGM、△AHM′均为等腰直角三角形且AM＝AM′， 由点M的坐标知，GM＝7， 则AH＝HM′＝GM＝GA， 则点M′（1，m﹣1）， 设直线l7的表达式为：y＝mx+n， 将点M′的坐标代入上式得：m﹣1＝m+n， 解得：n＝﹣1， 则直线l3的表达式为：y＝mx﹣1， 即直线l3过点（8，﹣1），﹣1）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、新定义、图形的旋转、等腰梯形的性质等，理解新定义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/28 11:21:31；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$