重庆市第八中学2023-2024学年七年级下学期期末模拟数学试卷

重庆市第八中学2023-2024学年七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置。 1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若二次根式有意义，则x应满足（　　） A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3 3．（4分）下列语句中，正确的是（　　） A．实数与数轴上的点是一一对应的 B．无限小数都是无理数 C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是有理数 4．（4分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，ED＝AB，∠A＝∠D，AC∥DF，则不能得到的是（　　） A．EB＝FC B．DF＝AC C．∠ABC＝∠DFE D．ED∥AB 5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．若BD＝4，CE＝6，则DE的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 6．（4分）估计的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．6与7之间 7．（4分）观察分析下列数据：0，，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．﹣27的立方根是±3 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．算术平方根等于它本身的数是1和0 D．a2的算术平方根是a 9．（4分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC'＝124°，那么∠ABE的度数为（　　） A．24° B．22° C．20° D．18° （多选）10．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是（　　） A．AF＝CB B．EF＝EB C．AC＝BC D．AE＝CE 二、填空题（每小题4分，共16分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的模线上。 11．（4分）在实数，，，π2，，0.1212212221…（2与1之间依次增加一个2）中，无理数的个数为 　 　个． 12．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是 　 　． 13．（4分）若，xy＝﹣2，则（x﹣2y）2的值为 　 　． 14．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，点E为AB中点，连接CE，DE，若CD＝1，，则△ABD的面积为 　 　． 三、解答题（本大题共5个小题，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（8分）计算： （1）； （2）． 17．（8分）化简求值：已知x、y满足：4x2+4x+1+＝0，求代数式的值． 18．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是DA延长线上的一点，点E是AC的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应序母（仅留作图痕迹．不写作法） ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； （2）求证：AF＝BC． 证明：∵AB＝AC， ∴　 　， ∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C， ∵AM平分∠DAC， ∴　 　． ∴∠C＝∠FAC， ∵E为AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CEB中 ∴△AEF≌△CEB（ 　 　）． ∴AF＝BC． 19．（10分）如图，AE为△ABC中的角平分线，∠ACB＝3∠B，AC＝AE，延长AE至F，连接CF． （1）求∠BAC的度数； （2）若∠ECF＝2∠F，求证：AB＝AF． 四、选择题（本大题1个小题，每小题4分，共4分）请将正确答案的代号填入答题卡中对应的方框涂黑。 （多选）20．（4分）如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，DE＝DG．下列结论：其中正确的是（　　） A．∠DBE＝∠F B．DB＝DF C． D． 五、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 21．（4分）的小数部分为a，的整数部分为b，则a（a+6）﹣3b＝　 　． 22．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣＝　 　． 23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，，F为AB的中点，点E、P分别为BC、AC上一动点，则EF+EP的最小值为 　 　． 24．（4分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　 　． 六、解答题：（本大题共3个小题，25题10分，26题10分，27题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）秦九韶是我国数学宋元时期的四大数学家之一，他提出了用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”，也称“三斜求积公式”：若三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s＝，其中p＝（a+b+c）．如图1，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，BC＝15． （1）求△ABC的面积； （2）如图2，若BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD、CE交于点Q，求点Q到BC的距离． 26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，过点B作DE∥AC，且BD＝BC，点B作BF⊥AB交CD于点F，连接EF． （1）如图1，若∠BAC＝40°，且BF＝BE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若DE＝AC，求证：AB＝BF+EF． 27．（10分）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE＝30°． （1）求证：AE＝BD． （2）如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置。 1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 2．（4分）若二次根式有意义，则x应满足（　　） A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3 【解答】解：由题意知，x+3≥0． 解得x≥﹣3． 故选：B． 3．（4分）下列语句中，正确的是（　　） A．实数与数轴上的点是一一对应的 B．无限小数都是无理数 C．无理数分为正无理数、0和负无理数 D．无理数的平方一定是有理数 【解答】解：实数与数轴上的点是一一对应的，A选项正确； 无限小数中，无限循环小数就是有理，所以B选项说法错误； 无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；C选项说法错误； 无理数的平方一定是有理数说法错误．比如π是无理数，π的平方不是有理数，D选项错误． 故选：A． 4．（4分）如图，E、B、F、C四点在一条直线上，ED＝AB，∠A＝∠D，AC∥DF，则不能得到的是（　　） A．EB＝FC B．DF＝AC C．∠ABC＝∠DFE D．ED∥AB 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠AFE＝∠C， 在△DEF和△ABC中， ， ∴△DEF≌△ABC（AAS）， ∴EF＝BC，DF＝AC，∠E＝∠ABC ∴ED∥AB， 故B不符合题意，D不符合题意； ∵EF﹣BF＝BC﹣BF， ∴EB＝FC， 故A不符合题意； 假设∠ABC＝∠DFE成立，则∠E＝∠DFE，与已知条件不符， ∴∠ABC＝∠DFE不成立， 故C符合题意， 故选：C． 5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．若BD＝4，CE＝6，则DE的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：∵BD⊥MN于D，CE⊥MN于E， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE＝90°﹣∠BAD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE＝4，AD＝CE＝6， ∴DE＝AE+AD＝4+6＝10， 故选：B． 6．（4分）估计的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．6与7之间 【解答】解：，＝﹣2， ∵， ∴4＜﹣2＜5， ∴4＜4﹣2＜5， 即的值在4和5之间， 故选：C． 7．（4分）观察分析下列数据：0，，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【解答】解：根据题意知第n个数为， ∴第10个数据应该是：， 故选：B． 8．（4分）下列说法正确的是（　　） A．﹣27的立方根是±3 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．算术平方根等于它本身的数是1和0 D．a2的算术平方根是a 【解答】解：A、﹣27的立方根是﹣3，故此选项不符合题意； B、实数与数轴上的点是一一对应的，故此选项不符合题意； C、算术平方根等于它本身的数是1和0，故此选项符合题意； D、a2的算术平方根是|a|，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．（4分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC'＝124°，那么∠ABE的度数为（　　） A．24° B．22° C．20° D．18° 【解答】解：∵BE∥FC′， ∴∠BEF+∠EFC′＝180°， ∵∠EFC'＝124°， ∴∠BEF＝56°， 由折叠的性质得到：∠DEF＝∠BEF＝56°， ∴∠AEB＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∴∠ABE＝90°﹣68°＝22°． 故选：B． （多选）10．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是（　　） A．AF＝CB B．EF＝EB C．AC＝BC D．AE＝CE 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°， 在Rt△AEF中，∠EAF+∠AFE＝90°， 在Rt△ABD中，∠EAF+∠B＝90°， ∴∠B＝∠AFE， 根据AAS添加AF＝CB或AE＝CE，根据ASA添加EF＝EB， 可证△AEF≌△CEB． 故A、B、D符合题意；C不符合题意； 故选：ABD． 二、填空题（每小题4分，共16分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的模线上。 11．（4分）在实数，，，π2，，0.1212212221…（2与1之间依次增加一个2）中，无理数的个数为 　3　个． 【解答】解：＝2，＝， 故在实数，，，π2，，0.1212212221…（2与1之间依次增加一个2）中，无理数有π2，，0.1212212221…（2与1之间依次增加一个2），公3个． 故答案为：3． 12．（4分）若＝3﹣x，则x的取值范围是 　x≤3　． 【解答】解：∵＝3﹣x， ∴3﹣x≥0，解得x≤3． 故答案为：x≤3． 13．（4分）若，xy＝﹣2，则（x﹣2y）2的值为 　33﹣12　． 【解答】解：∵，xy＝﹣2， ∴（x﹣2y）2 ＝（x+2y）2﹣8xy ＝（2﹣3）2﹣8×（﹣2） ＝8﹣12+9+16 ＝33﹣12． 故答案为：33﹣12． 14．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，点E为AB中点，连接CE，DE，若CD＝1，，则△ABD的面积为 　　． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°， ∴DF＝CD＝1， ∵∠ACB＝90°，点E为AB中点， ∴CE＝AB， ∵CE＝， ∴AB＝2， ∴△ABD的面积＝•AB•DF＝×1×2＝． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）＝＝； （2）＝＝2×3×3＝18； （3）＝＝； （4）＝＝． 16．（8分）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝+ ＝+ ＝； （2）原式＝12+4+1﹣（12﹣18） ＝13+4﹣（﹣6） ＝19+4． 17．（8分）化简求值：已知x、y满足：4x2+4x+1+＝0，求代数式的值． 【解答】解：∵4x2+4x+1+＝0， ∴（2x+1）2+＝0， ∴2x+1＝0且2x﹣y﹣1＝0， ∴x＝，y＝﹣4， ＝[（4x2﹣4xy+y2）﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2）]×（﹣） ＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2）×（﹣） ＝（﹣10xy+5y2）×（﹣） ＝﹣10xy×（﹣）+5y2×（﹣） ＝30x﹣15y， ＝30×（﹣）﹣15×（﹣4） ＝﹣15+60 ＝45． 18．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是DA延长线上的一点，点E是AC的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应序母（仅留作图痕迹．不写作法） ①作∠DAC的平分线AM； ②连接BE并延长交AM于点F； （2）求证：AF＝BC． 证明：∵AB＝AC， ∴　∠ABC＝∠C　， ∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C， ∵AM平分∠DAC， ∴　∠DAM＝∠CAM　． ∴∠C＝∠FAC， ∵E为AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CEB中 ∴△AEF≌△CEB（ 　ASA　）． ∴AF＝BC． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C， ∵AM平分∠DAC， ∴∠DAM＝∠CAM， ∴∠C＝∠FAC， ∵E为AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）． ∴AF＝BC． 故答案为：∠ABC＝∠C，∠DAM＝∠CAM，∠AEF＝∠CEB，ASA． 19．（10分）如图，AE为△ABC中的角平分线，∠ACB＝3∠B，AC＝AE，延长AE至F，连接CF． （1）求∠BAC的度数； （2）若∠ECF＝2∠F，求证：AB＝AF． 【解答】（1）解：∵AC＝AE， ∴∠ACB＝∠AEC， ∵∠ACB＝3∠B， ∴∠AEC＝3∠B， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠BAE＝2∠B， ∵AE为△ABC中的角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝4∠B， ∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠B+4∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝22.5°， ∴∠BAC＝90°； （2）证明：∵∠AEC＝∠F+∠ECF＝3∠B＝67.5°，∠ECF＝2∠F， ∴∠F＝22.5°＝∠B， ∵AE为△ABC中的角平分线， ∴∠BAE＝∠FAC， 在△ABE和△AFC中， ， ∴△ABE≌△AFC（AAS）， ∴AB＝AF． 四、选择题（本大题1个小题，每小题4分，共4分）请将正确答案的代号填入答题卡中对应的方框涂黑。 （多选）20．（4分）如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，DE＝DG．下列结论：其中正确的是（　　） A．∠DBE＝∠F B．DB＝DF C． D． 【解答】解：对于选项A： ∵BD为△ABC的高， ∴BD⊥CF， ∴∠DBE＝90°﹣∠BED， ∵FH⊥BE， ∴∠F＝90°﹣∠BED， ∴∠DBE＝∠F， 故A选项符合题意； 对于选项B： 由A知：∠DBE＝∠F； ∵BD⊥CF， ∴∠FDG＝∠BDE＝90°， 又∵DE＝DG， ∴△BDE≌△FDG（AAS）， ∴DB＝DF， 故B选项符合题意； 对于选项C： ∵∠BAF为△ABC的外角， ∴∠ABC＝∠BAF﹣∠C， ∵∠BEF为△BEC的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝＝（∠BAF﹣∠C）＝∠BAF﹣∠C， ∴∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠BAF﹣∠C＝∠BAF+∠C＝（∠BAF+∠C）， 故C选项符合题意； 对于选项D： ∵BE平分∠ABC， ∴， ∵BD⊥CF， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝﹣（90°﹣∠BAC）， ∵∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C， ∴∠DBE＝（180°﹣∠BAC﹣∠C）﹣（90°﹣∠BAC）＝﹣＝（∠BAC﹣∠C）， 由A知：∠DBE＝∠F， ∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）， 故D选项不符合题意； 故选：ABC． 五、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 21．（4分）的小数部分为a，的整数部分为b，则a（a+6）﹣3b＝　﹣2　． 【解答】解：∵3＜＜4，2＜＜3， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分a为﹣3，的整数部分b为2， ∴a（a+6）﹣3b ＝（﹣3）×（﹣3+6）﹣3×2 ＝（﹣3）×（+3）﹣6 ＝4﹣6 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 22．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣＝　2b﹣a　． 【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，a+b＜0， ∴|a﹣b|﹣ ＝（b﹣a）﹣a﹣（﹣a﹣b） ＝b﹣a﹣a+a+b ＝2b﹣a， 故答案为：2b﹣a． 23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，，F为AB的中点，点E、P分别为BC、AC上一动点，则EF+EP的最小值为 　　． 【解答】解：如图， 作点F关于BC的对称点F′，过点F′作F′P⊥AC于点P，由对称性质可知EF＝EF′， ∴EF+EP的最小值即为F′P的值， ∵AB＝4，BC＝8，AC＝， ∴sin∠BAC＝＝＝， ∴＝， ∵AF′＝AB+BF′＝4+2＝6， ∴PF′＝＝， ∴EF+EP的最小值为． 故答案为：． 24．（4分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　1或或　． 【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴5﹣2t＝6﹣3t， ∴t＝1， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴5﹣2t＝3t﹣6， ∴t＝， 当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ， ∴2t﹣5＝18﹣3t， ∴t＝， 综上所述：t的值为1或或． 六、解答题：（本大题共3个小题，25题10分，26题10分，27题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）秦九韶是我国数学宋元时期的四大数学家之一，他提出了用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”，也称“三斜求积公式”：若三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s＝，其中p＝（a+b+c）．如图1，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，BC＝15． （1）求△ABC的面积； （2）如图2，若BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD、CE交于点Q，求点Q到BC的距离． 【解答】解：（1）由题意p＝×（12+13+15）＝20， ∴s＝＝20； （2）过点Q作QG⊥BC于点G，QM⊥AB于点M，QN⊥AC于点N，连接AQ． ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴QG＝QM＝QN， ∵S△ABC＝S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ， ∴20＝×（12+13+15）×QG， ∴QG＝． 26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，过点B作DE∥AC，且BD＝BC，点B作BF⊥AB交CD于点F，连接EF． （1）如图1，若∠BAC＝40°，且BF＝BE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若DE＝AC，求证：AB＝BF+EF． 【解答】（1）解：∵DE∥AC， ∴∠ABE＝∠A＝40°， ∵BF⊥AB， ∴∠ABF＝90°， ∴∠EBF＝130°， ∵BD＝BC， ∴∠E＝25°， ∵BF＝BE， ∴∠D＝45°， ∴∠CFE＝∠E+∠D＝25°+45°＝70°； （2）证明：∵∠ACB＝90°，DE∥AC， ∴∠CBD＝∠ACB＝90°， ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠D＝45°， 如图，在AB上截取BG＝BF，连接GF、GC， ∵BF⊥AB， ∴∠GBC+∠CBF＝90°， ∵∠CBD＝∠CBF+∠FBD＝90°， ∴∠GBC＝∠FBD， 在△GBC和△FBD中， ， ∴△GBC≌△FBD（SAS）， ∴∠D＝∠BCG＝45°，DF＝GC， ∴∠ACG＝45°＝∠D， 在△AGC和△EFD中， ， ∴△AGC≌△EFD（SAS）， ∴AG＝EF， ∴AB＝AG+BG＝EF+BF， ∴AB＝BF+EF． 27．（10分）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE＝30°． （1）求证：AE＝BD． （2）如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵CG⊥AD，∠HCE＝30°， ∴CF＝2FG，∠CFG＝60°， ∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAD， ∴∠ACF＝∠BAD， 在△CAE和△ABD中， ， ∴△CAE≌△ABD（ASA）， ∴AE＝BD； （2）如图，延长BF交AC于点Q， ∵BF⊥CE，∠ECH＝30°， ∴∠FBC+∠BCG＝60°， ∵∠ABF+∠FBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝∠BCG， 在△ABQ和△BCH中， ， ∴△ABQ≌△BCH（ASA）， ∴AQ＝BH， ∴AB﹣BH＝AC﹣AQ， ∴AH＝CQ， 在△CFQ和△AGH中， ， ∴△CFQ≌△AGH（AAS）， ∴AG＝CF， ∴AG＝2FG， ∴点F是AG的中点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$