专题08 解析几何（解答题）【好题汇编】-五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题08 解析几何（解答题） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 椭圆及其性质 2024 Ⅰ 甲卷 北京卷 天津卷 2023 北京 乙卷 天津 2022 乙卷 北京卷 浙江卷 2021 北京卷Ⅱ卷 2020 ⅠⅡ卷 新Ⅰ Ⅱ卷 椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点 考点02 双曲线及其性质 2024 Ⅱ卷 2023 Ⅱ 新课标Ⅱ 2022 Ⅰ卷 2021 Ⅰ 双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点 考点03 抛物线及其性质 2023 甲卷 2022甲卷 2021 浙江 甲卷 乙卷 2020浙江 抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P的证明类问题 考点01：椭圆及其性质 1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 2．（2024·全国·高考甲卷）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 4．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 5 .(2023年全国乙卷理科)已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 6 .(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程． 7.(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 8.(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E方程； (2)证明：直线CD过定点． 9.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程： (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 10.(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 11.(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 12.(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 13(2023年北京卷)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 14.(2023年天津卷)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 15.(2022高考北京卷)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 16.(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 17.(2021高考北京)已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 考点02 双曲线及其性质 1（2024·全国·高考Ⅱ）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 2．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上． 3.(2022新高考全国II卷)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 4．(2021年新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 5.(2022新高考全国I卷)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l斜率； (2)若，求的面积． 考点03 抛物线及其性质 1.(2023年全国甲卷理科)已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 2.(2021年高考浙江卷)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围． 3.(2021年高考全国乙卷)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． (1)求； (2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 4.(2021年高考全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． (1)求C，的方程； (2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 5.(2020年浙江省高考数学试卷)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)． (Ⅰ)若，求抛物线的焦点坐标； (Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 6.(2022年高考全国甲卷)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 7.(2023年新课标全国Ⅰ卷)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解析几何（解答题） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 椭圆及其性质 2024 Ⅰ 甲卷 北京卷 天津卷 2023 北京 乙卷 天津 2022 乙卷 北京卷 浙江卷 2021 北京卷Ⅱ卷 2020 ⅠⅡ卷 新Ⅰ Ⅱ卷 椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点 考点02 双曲线及其性质 2024 Ⅱ卷 2023 Ⅱ 新课标Ⅱ 2022 Ⅰ卷 2021 Ⅰ 双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点 考点03 抛物线及其性质 2023 甲卷 2022甲卷 2021 浙江 甲卷 乙卷 2020浙江 抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P的证明类问题 考点01：椭圆及其性质 1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1)(2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 2．（2024·全国·高考甲卷）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 4．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，使得恒成立. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立. 5 .(2023年全国乙卷理科)已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 解析：(1)由题意可得，解得， 所以椭圆方程为． (2)由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点． 6 .(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程． 【答案】(1)；(2)，． 解析：(1)，轴且与椭圆相交于、两点， 则直线的方程为， 联立，解得，则， 抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； (2)由(1)知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或(舍去)， 由抛物线的定义可得，解得． 因此，曲线的标准方程为， 曲线的标准方程为． 7.(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为； (2)由(1)得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立； 充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得， 所以，所以 ， 化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是． 8.(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1)；(2)证明详见解析． 【解析】(1)依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ，， 椭圆方程为： (2)证明：设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为．同理可得：点的坐标为 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 故直线过定点 9.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程： (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【答案】(1)；(2)详见解析． 解析：(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：． (2)设点．因为AM⊥AN，∴，即,①当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1． 代入椭圆方程消去并整理得： ②,根据,代入①整理可得： 将②代入，， 整理化简得,∵不在直线上，∴， ∴，于是MN的方程为， 所以直线过定点直线过定点．当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2． 代入得, 结合,解得,此时直线MN过点, 由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边， 所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半)． 由于，故由中点坐标公式可得． 故存在点，使得|DQ|为定值． 10.(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】(1) (2) 解析：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，，所以椭圆E的方程为：． 【小问2详解】，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线．代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到．求得HN方程： ，过点． ②若过点的直线斜率存在，设． 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立，综上，可得直线HN过定点 11.(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 【答案】(1)；(2)18． 解析：(1)由题意可知直线AM的方程为：，即． 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12．所以C的方程：． (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得． 所以△AMN的面积的最大值：． 12.(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 【答案】(1)；(2)．解析：(1) ，， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即； (2)不妨设,在x轴上方 点在上，点在直线上，且，， 过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ，，， 又，， ，根据三角形全等条件“”， 可得：，， ，， 设点为，可得点纵坐标为，将其代入， 可得：，解得：或，点为或， ①当点为时，故， ，， 可得：点为，画出图象，如图 ,， 可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：， 面积为：； ②当点为时， 故，， ，可得：点为， 画出图象，如图 ,， 可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：， 面积为：， 综上所述，面积为：． 13(2023年北京卷)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析：(1)依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为． (2)因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即，显然，与不重合，所以． 14.(2023年天津卷)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为． (2)． 解析：(1)如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为． (2)由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，． 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为． 15.(2022高考北京卷)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】解析:(1)依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； (2)解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ，所以， 即 即 即 整理得，解得 16.(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 【答案】解析:(1)设是椭圆上任意一点,,则 ，当且仅当时取等号，故的最大值是． (2)设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，因为直线与直线交于,则,同理可得,．则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 17.(2021高考北京)已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 解析：(1)因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：． (2) 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理 直线，由可得， 故，解得或． 又，故，所以 又 故即， 综上，或． 考点02 双曲线及其性质 1（2024·全国·高考Ⅱ）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 2．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析． 解析：(1)设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程为． (2)由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动． 3.(2022新高考全国II卷)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)见解析:(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； (2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零． 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③:由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立． 4．(2021年新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 【答案】解析：因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为； (2)设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 不妨直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得， 设点、，则且． 由韦达定理可得，， 所以，， 设直线的斜率为，同理可得， 因为，即，整理可得， 即，显然，故． 因此，直线与直线的斜率之和为． 5.(2022新高考全国I卷)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 解析：(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． (2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， 由(1)知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得(负值舍去) 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得(负值舍去)， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，， 点到直线的距离， 故的面积为． 考点03 抛物线及其性质 1.(2023年全国甲卷理科)已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 解析：(1)设，由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． (2)因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ，因为，所以， 即，亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 2.(2021年高考浙江卷)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围． 【答案】(1)；(2)． 解析:(1)因为，故，故抛物线的方程为：． (2)设，，， 所以直线，由题设可得且．由可得，故， 因为，故，故． 又，由可得， 同理， 由可得，所以， 整理得到， 故，令，则且， 故，故即， 解得或或． 故直线在轴上的截距的范围为或或． 3.(2021年高考全国乙卷)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． (1)求； (2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)． 解析：(1)抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； (2)抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值． 4.(2021年高考全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． (1)求C，的方程； (2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)抛物线，方程为；(2)相切，理由见解析 ：(1)依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为， 所以的方程为； (2)设若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在，则， 所以直线方程为，整理得， 同理直线的方程为，直线的方程为， 与圆相切，整理得， 与圆相切，同理所以为方程的两根，， 到直线的距离为： ，所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切． 5.(2020年浙江省高考数学试卷)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)． (Ⅰ)若，求抛物线的焦点坐标； (Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 解析：(Ⅰ)当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为； (Ⅱ)设， 由， ， 由在抛物线上，所以， 又， ，， ．由即 ， 所以，，，所以，的最大值为，此时． 法2：设直线，． 将直线的方程代入椭圆得：， 所以点的纵坐标为．将直线的方程代入抛物线得：，所以，解得，因此， 由解得， 所以当时，取到最大值为． 6.(2022年高考全国甲卷)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2)． 【解析】(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； (2)设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以， 所以直线． 7.(2023年新课标全国Ⅰ卷)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】(1) (2)见解析 解析：(1)设,则，两边同平方化简得， 故． (2)法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则．，易知则令, 令，解得，当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增，则， 故,即．当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证． 法二：不妨设在上，且， 依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得， ，则 则，同理， 令，则，设， 则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则，， 但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故． 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线, 矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于． 设 , 根据对称性不妨设 ． 则 , 由于 , 则 ． 由于 且 介于 之间, 则 ． 令 , ,则,从而 故 ①当时, ②当 时,由于,从而,从而又,故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$