五 认识方程（课件）2023-2024学年四年级下册数学北师大版

[单元思维图解] 认识 方 程 字母表 示数 用含有字母的式子表示数量及数量关系 加法交换律:a＋b=b＋a; 加法结合律(a＋b )＋c=a＋ (b＋c); 乘法交换律:ab=ba; 乘法结合律:(ab )c=a(bc); 乘法分配律:(a＋b )xc=ac ＋bc。 表示数量关系时它的值是待定的,只有字母的值确定了,这个式子的值才能随之确定。 用字母表示 计算公式 正方形的周长公式:C=4a,面积公式:S=a';长方形的周长公式:C=2(a＋6), 面积公式:S=ab。 用字母表示 运算律 五 认识方程 -1- 认识方程 等量关系的意义 数量之间具有的相等关系。 含有未知数的等式叫方程。方程一定是等式,但等式不一定是方程。 等式的性质(一) 方程的 意义 解方程(一) 等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。 利用等式的性质(一)解方程 解形如x±a=b的方程。 解方程(二) 等式的性质(二) 利用等式的性质(二)解方程 解形如ax=b或x÷a=b(a不等于0)的方程。 等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为 0的数),等式仍然成立。 五 认识方程 -2- 认识方程 解形如ax±b=c(a不等于0)的方程 方程的两边先同时加上(或减去)b,然后再同时除以a。 五 认识方程 -3- ■考点一 用含有字母的式子表示数量及数量关系 用字母或者含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量,又可以表示数量关系。表示数量关系时它的值是待定的，只有字母的值确定了,这个式子的值才能随之确定。 第 1 课时 字母表示数 -4- 五 认识方程 例1 小明去商店买了3支铅笔,每支铅笔a元，小明应付( )元根据表中的数据把下面的统计图补充完整。 解析:根据总价=单价x数量,买3支铅笔应付的钱数为a×3或3×a。 正确答案:a×3或3×a 满分备考:审清题意,根据要求写出用字母或含有字母的式子表示的数量及数量关系。 五 认识方程 -5- ■考点二 白用字母表示计算公式 1.数字和字母相乘时,乘号可以写成小圆点,也可以不写,数字一般写在字母的前面。如4×a可以写成4·a或4a。字母和字母之间的乘号也可以省略不写。如a×b可以写成ab。 2.用字母表示正方形周长的计算公式:C =4a;用字母表示正方形面积的计算公式:S=a2;用字母表示长方形周长的计算公式:C=2(a＋b);用字母表示长方形面积的计算公式:S=ab。 五 认识方程 -6- -7- 例2 一个长方形的长是16厘米，宽是x厘米。 (1)长方形的长比宽长( )厘米。 (2)长方形的周长是( ) 厘米。 (3)长方形的面积是( )厘米。 解析:(1)长方形的长比宽长多少厘米,要用减法计算,列式为16-x。(2)长方形的周长=(长＋宽)×2,用C表示长方形的周长,则C=(a＋b)×2=2a＋26,将a=16,b=x代入公式计算,结果为C=2×16 ＋2x= (32＋2x)厘米。(3)长方形的面积=长x宽,用S表示长方形的面积,则S=ab,将a=16,b=x代入公式计算，结果为S=16x厘米2。 正确答案:(1)16-x (2)32＋2x (3)16x 易错答案:(1)x-16 (2)16＋2x (3)16x2 错因分析:(1)没有搞清楚是谁比谁多。(2)计算错误,在去括号运算时出错。(3)混淆了长方形的面积公式。 满分备考:做题时要审清题意,熟练掌握长方形的周长公式和面积公式。 五 认识方程 -8- ■考点三 用字母表示运算律 通常用固定的字母表示运算律。用字母表示运算律更简便易记。 加法交换律:a＋b=b＋a 加法结合律:(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 乘法交换律:a×b=b×a或ab=ba 乘法结合律:(a×b)×c =a×(b×c)或(ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a＋b)×c=a×c ＋b×c或(a＋b)c=ac＋bc 五 认识方程 -9- 例3 利用运算律 在口中填写字母或数。 (1)a ＋ =5 ＋ (2)b(x＋y) = ＋ (3)5×b×c=5×( × ) 解析:分别利用加法交换律、乘法分配律、乘法结合律填写即可。 正确答案:(1)5 a (2)bx by (3)b c 易错答案:(1)a 5 (2)bx y (3)b c 错因分析:没有掌握各种运算律。 满分备考:要熟记各种运算律。 五 认识方程 -10- ■乘法的简写与平方的应用 例4 当a=3 时,计算下面各题。 (1)2a=( ) (2)a2 =( ) (3)2a2 =( ) 解析:(1)2a表示2乘a,a=3,所以2a=2×3=6;(2)a2表示两个a相乘,a=3,所以a2=3 x3=9;(3)2a2=2×a×a=2×3×3=18。 答案:69 18 易错警示:a2表示两个a相乘,不要与2a产生混淆。 [易错易混分析] 五 认识方程 ■考点 等量关系的意义 等量关系是指数量之间具有的相等关系寻找等量关系的方法有很多,画图是最有效、最直观的方法。 第 2 课时 等量关系 -11- 五 认识方程 例1 写出下列各题的等量关系。 (1)买1千克苹果和1千克香蕉一共花了10.5元。 (2)箱子里的小球拿了5次正好拿完,每次拿的数量一样。 解析:(1)题根据题意可知1千克苹果的价格加上1千克香蕉的价格是10.5 元;(2)题根据题意可知每次拿的小球数量乘以拿的次数就是箱子里小球的 数量。 正确答案:(1)1千克苹果的价格+1千克香蕉的价格=10.5元 (2)每次拿的小球数量x5=箱子里小球的数量 易错答案:(1)1千克苹果的价格-1千克香蕉的价格=10.5元 (2)每次拿的小球数量x5=箱子里小球的数量 错因分析:错解错在(1)小题中没有找准等量关系,误认为1千克苹果的价格比1千克香蕉的价格多10.5元。 满分备考:在写等量关系时，一定要分析清楚题中各个量之间的关系,找准等量关系。 五 认识方程 -12- -13- 例2 甲数比乙 .数的2倍多20,甲数和乙数之间的等量关系是什么? 解析:根据“甲数是乙数的2倍还多20”可知,乙数×2=甲数-20。 正确答案:乙数×2=甲数-20 易错答案:乙数×2=甲数+20 错因分析:错解错在没有读懂题意,从甲数里减去20,剩下的才是乙数的 2倍。 满分备考:找两个数量间的等量关系时,要理清两个数量之间的关系，同一组数量，分析的角度不同,找到的等量关系一般也是不同的。 五 认识方程 -14- ■没有找准等量关系 例3 写出下面情境的等量关系。 小雨付了100 元,找回20元。 解析:根据题意可以知道小雨买的这本书的价格乘以5加上找回的钱数等于100元。 答案:书的价格×5+20元=100元 易错警示:注意在写等量关系时,一定要弄清楚各个量之间的关系。 [易错易混分析] 五 认识方程 ■考点 方程的意义 1.像10=x+2、4y=2000,这样含有未知数的等式叫方程。 2.所有的方程都是等式,但等式不一定都是方程。等式与方程的关系如 下图: 第 3 课时 方程 -15- 五 认识方程 -16- 例1 下面的式子哪些是等式，哪些是方程?填在圆圈里。 ①5+7=12 ②4+7y=25 ③8=3x ④z÷3=10 ⑤x-9>6 ⑥5(x+2)=10 ⑦a+5 ⑧36＜20+25 五 认识方程 -17- 解析:含有“=”的式子就是等式,所以可以判断出①②③④⑥是等式。含有未知数的等式叫方程,所以方程必须具备两个条件:一是含有未知数;二是等式。从等式中找方程即可。①5 +7=12,虽是等式,但不含有未知数,因此不是方程;②③④⑥是含有未知数的等式,是方程。也可以先找到含有未知数的式子再判断是不是等式。 正确答案:①②③④⑥ ②③④⑥ 易错答案:①②③④⑥ ②③④⑤⑥⑦ 错因分析:错解认为只要是含有未知数的式子就是方程,忽略了必须是等式这个条件。 满分备考:判断一个式子是不是方程有两大关键点,缺一不可，一是必须是等式，二是必须含有未知数。 五 认识方程 -18- ■易错易混分析误认为含有未知数的式子就是方程 例2 判断。 (1)9x＜15.6中含有未知数, 所以它是方程。( ) (2)方程是等式,等式也是方程。( ) 解析:(1)9x＜15.6中含有字母,但不是等式，所以它不是方程;(2)含有未知数的等式是方程,所以方程是等式,但等式不一定是方程,还必须有未知数。 答案:(1)× (2) × 一定含有未知数,等式中不一定有未知数,由此可知,所有的方程都是等式,但不是所有的等式都是方程。 [易错易混分析] 五 认识方程 ■考点一 等式的性质(一) 等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。 例1 根据等式的性质(一)在 里填上合适的运算符号,在括号里填上合适的数。 (1)如果m-7 =n,那么m-7+7 =n ( )。 (2)如果a+5=b, 那么a+5-5=b ( )。 第 4 课时 解方程(一) -19- 五 认识方程 -20- 解析:根据等式的性质(一),等式两边都加上(或减去)同一个数,左右两边仍然相等。所以,在第(1)题中,已知m-7 =n,如果在等式左边加.上7,为了使等式成立，等式右边也要同时加上7;同理,第(2)题按此性质应在等式右边减5。 正确答案:(1) + 7 (2) - 5 易错答案:(1)- 7 (2) + 5 错因分析:错解错在误认为如果等式左边加上一个数，等式右边要减去这个数才能使等式成立。 满分备考:根据等式的性质(一),要想使等式成立,等式的左边加上或减去一个数，等式的右边也应该加上或减去同一个数。 五 认识方程 -21- ■考点二 利用等式的性质(一)解方程 1.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。 2.解方程:求方程的解的过程叫解方程。 3.利用等式的性质(一)解形如x士a=b的方程,步骤如下: x+a=b 解:x+a-a=b-a x=b-a 4.检验步骤:(1)把求出的未知数的值代入原方程中。(2)计算,看等式是否成立。(3)等式成立,说明这个未知数的值是方程的解;等式不成立，说明计算错误,需要重新计算。 五 认识方程 x-a=b 解:x-a+a=b+a x=b+a -22- 例2 解方程:2.5+x=12.5 解析:在方程两边同时减去2.5,左右两边仍相等,方程左边减2.5后只剩下x,方程右边减2.5后所得的数就是x的值。 正确答案:2.5+x=12.5 解:2.5+x-2.5=12.5 -2.5 x=10 易错答案:2.5 +x =12.5 解:2.5 +x-2.5=12.5-12.5 x=0 错因分析:错解错在方程的左边减去2.5,在方程的右边减去12.5,使等式不再成立,应该在方程右边也减去2.5。 满分备考:在解方程时，要时刻想着每一步都要遵循等式的基本性质,此外，可以将方程的解代入原方程来检验方程的解是否正确。 五 认识方程 -23- ■解方程时,等式的性质(一)运用错误 例3 下面的解方程对吗?对的画“√”,错的画“X”,并改正。 x-16=24 改正: 解:x-16+16=24+24 x=48( ) 解析:这是形如x士a =b的方程，应让等式的左右两边同时加16,而原式中等式左边加16而等式右边却加了24,等式不成立了,所以是错误的。改正时应让等式左右两边都加16,进行计算求解方程即可。 答案:× x-16=24 x-16+16=24+16 x=40 易错警示:要正确运用等式的性质(一)解方程。等式两边要做相同的变化。 [易错易混分析] 五 认识方程 ■考点一 等式的性质(二) 等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数) ,等式仍然成立。 例1 根据等式的性质(二)在 里填上合适的运算符号,在括号里填上合适的数。 (1)如果x=y,那么xx5=y ( )。 (2)如果m÷3=n,那么m +3x3 =n ( )。 (3)如果7a=b ,那么7a+7=b ( )。 第5课时 解方程(二) -24- 五 认识方程 -25- 解析:根据等式的性质(二),等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。所以,在第(1)题中,等式左边乘5,为了使等式仍然成立,等式右边也要乘5;同理,在第(2)题中,已知m +3=n,若在等式左边乘3,为了使等式成立,等式右边也要乘3;同理,(3)题按此性质应在等式右边除以7。 正确答案:(1)× 5 (2）× 3 (3)÷ 7 易错答案:(1)÷ 5 (2)÷ 3 (3)× 7 错因分析:错解错认为如果等式左边乘(或除以)一个不为0的数,等式右边要同时除以(或乘)这个数,等式才能成立。 满分备考:等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，等式仍然成立。 五 认识方程 -26- ■考点二 利用等式的性质(二)解方程 1.形如ax=b(a不等于0)的方程的解法 如下: 2.形如x÷a=b(a不等于0)的方程的解法 如下: 五 认识方程 ax =b 解:ax÷a=b ÷a x =b÷a x÷a=b 解:x÷a×a=b×a x=b×a -27- 例2 解方程。 (1)4x=48 (2)x÷1.2=6 解析:(1)在方程两边都除以4,等式仍然成立,方程左边除以4后只剩下x,方程右边除以4后所得的数就是x的值。(2) 在方程两边同乘1.2,左右两边仍相等,方程左边乘1.2后只剩下x,方程右边乘1.2后所得的数就是x的值。检验时,将解出来的x的值代入方程中,看方程左边的值是否等于右边的值即可。 正确答案：（1）4x =48 解：4x÷4=48÷4 x=12 五 认识方程 易错答案: (2)x÷1.2=6 解: x÷1.2×1.2=6÷1.2×1.2 x=6 (2) x÷1.2=6 解：x÷1.2×1.2=6×1.2 x=7.2 -28- 错因分析:错解中等式右边多除以了1.2。 满分备考:在解形如ax=b(a不等于0)或x÷a=b(a不等于0)的方程时,一定要遵循等式的性质(二)。 五 认识方程 -29- ■没有充分理解等式的性质(二)，致使解题错误 例3 解方程:x÷5=7 解析:方程左边是x÷5要使等号左边只有x,要在等号左边乘5,根据等式的性质(二),等号右边也乘5。 答案: x÷5=7 解:x÷5×5 =7×5 x =35 易错警示:解方程时要正确运用等式性质(二)求解未知数。 [易错易混分析] 五 认识方程 ■考点 解形如ax±bax +b =c(a不等于0)的方程 1.形如ax +b=c(a不等于0)的方程的解法如下: 2.形如ax-b=c(a不等于0)的方程的解法如下: 第6课时 猜数游戏 -30- 五 认识方程 ax+b =c 解:ax+b-b=c-b ax=c-b x=(c-b)÷a ax-b=c 解:ax-b+b=c+b ax=c+b x=(c+b)÷a -31- 例1 解方程:5x+7 =42 解析:先把5x看作一个整体,根据等式的性质(一),在方程两边都减去7,方程变成5x=35 ,再根据等式的性质(二),在方程两边都除以5,最后得到x=7。 错因分析:错解错在没有先将5x看成一个整体,方程两边也没有做相同的变化。 满分备考:在解形如ax +b=c(a不等于0)的方程时，一定要先把ax看作一个整体，把方程转化为形如ax=b的方程再解方程。 五 认识方程 正确答案:5x +7=42 解:5x +7-7=42 -7 5x=35 5x÷5=35÷5 x=7 易错答案: 5x+7=42 解:x+7=42 x=35 -32- 例2 解方程:2x-46=10 解析:先把2x看作一个整体,根据等式的性质(一),在方程两边都加上46,方程变成2x=56,再根据等式的性质(二),在方程两边都除以2,最后得到x=28 错因分析:错解错在将2x和10分别除以2,而46没有相应变化。 满分备考:解形如ax-b=c(a不等于0)的方程，一定要先把ax看作一个整体,把方程转化为形如ax=b的方程再解方程。 五 认识方程 正确答案:2x-46 = 10 解:2x-46+46=10+46 2x=56 2x÷2=56÷2 x=28 易错答案:2x -46 =10 解:x-46 =5 x =51 -33- ■解方程时错把某个式子看作一个整体出现错误 例3 下面的解方程对吗?对的画“√”,错的画“×”，并改正。 3x-30 =96 改正: 解:3x÷3-30 =96÷3 x-30=32 x-30 +30 =32 + 30 x=62( ) [易错易混分析] 五 认识方程 -34- 解析:先把3x看作一个整体,根据等式的性质(一),在方程两边同时加30,方程变成3x =126,再根据等式性质(二),在方程两边同时除以3,得到x的解 即可。 答案:× 3x-30 =96 解:3x-30 +30=96+30 3x= 126 3x÷3=126÷3 x =42 易错警示:解形如ax+b=c(a不等于0)的方程,要先把ax看作一个整体。 五 认识方程 考点 内容梳理 字母表 示数 1.理解用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示数.有关图形的计算公式和运算律。 2.数与字母相乘、字母与字母相乘时,乘号可以省略不写,数通常写在字母的前面。 等量关系 的意义 等量关系是指数量间的相等关系。 方程的 意义 1.像100 +x= 250 ,3x=32.4，这样含有未知数的等式叫方程。 2.所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。如图所示: 3.用方程表示等量关系。 -35- [单元知识梳理] 整理和复习 五 认识方程 解方程(-） 1.等式的性质(一):等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。 2.利用等式的性质(一)解形如x士a=b的方程,步骤如下: x +a=b 解:x+a-a=b-a x=b-a 解方程(二) 1.等式的性质(二):等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。 2.利用等式的性质(二)解形如ax=b(a不等于0)或x六a=b(a不等于0)的方程,步骤如下: ax =b 解:ax÷a=b÷a x =b÷a -36- （续表） 五 认识方程 x-a=b 解:x-a+a=b+a x=b+a x ÷a=b 解:x÷a×a=b ×a x=b×a 解方程(二） 3.解形如ax+b=c(a不等于0)的方程也要根据等式的性质,具体步骤如下: ax+b=c 解:ax=c-b x=(c-b)÷a -37- （续表） 五 认识方程 ax-b=c 解:ax=c+b x =(c+b)÷a $$