福建省福州延安中学2023-2024学年下学期八年级期末考数学试卷

第1页（共 4 页） 福州延安中学 2023-2024 学年第二学期初二期末试卷 数 学 （满分：150 分； 时间：120 分钟） 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小量 4 分） 1．下列函数中， y 关于 x的二次函数是（ ） A． 2y ax bx c= + + B． ( 1)y x x= − C． 2 1 y x = D． 2 2( 1)y x x= − − 2． 如果 2 4 3 x y y + = ，则 x y 等于 ( ) A． 1 6 B． 2 3 C． 7 6 D．6 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y ax c= + 和二次函数 2y ax c= + 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．某校九年级 1 班开展宪法知识竞赛，现抽取 7 位同 学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根 据统计图，关于这 7 位同学的成绩，下列描述正确的 是（ ） A．平均数为 81 分 B．众数为 85 分 C．中位数为 88 分 D．方差为 19.6 5．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． 2 2 0x x− = B． 2 4 4 0x x+ − = C． 2( 2) 3 0x − − = D． 23 2 0x + = 6．小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了 1 分钟，然后 继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张 离家的距离 S（单位：米）与时间 t（单位：分钟）的对应关系如图所 示，则文具店与小张家的距离为（ ） A．400 米 B．300 米 C．200 米 D．100 米 7．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九（1）班共有多少名学 生？设九（1）班共有 x名学生，那么所列方程为（ ） A． 2 1980x = B． ( 1) 1980x x + = C． 1 ( 1) 1980 2 x x − = D． ( 1) 1980x x − = 8．如图， EF 是△ ABC 的中位线，点O 是 EF 上一点，且满足 2OE OF= ，则△ ABC 的面积与△ AOC的面积之比为（ ） A．2 :1 B．3: 2 C．5: 3 D．3:1 9．已知点 1(1, )A y ， 2(2, )B y ， 3(3, )C y ， 2(4, )D a c+ 都在二次函数 2 (y ax bx c a= + + ，b ，c 为常数，且 0)a  的图象上，若 1 2 3y y y  ，则a 的取值范围是（ ） A． 8a  − 或 4a  B． 8a  − 或 8a  C． 4a  − 或 8a  D． 4a  − 或 4a  10．古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问 题，欧几里得的《原本》中记载了形如 2 2 ( 0, 0)x bx m b m+ =   的方程的图解法是：如图，画 Rt△ABC，使 90ACB = ， 2 b BC = ， AC m= ，再在斜边 AB上截取 2 b BD = ，则该方程的一个正实数 根等于（ ） A． AD 的长 B． AC 的长 C．BC 的长 D．CD的长 第 10 题图 第 8 题图 第 6 题图 第4题图 第2页（共 4 页） 二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11．如图，抛物线 2y ax bx c= + + 的对称轴是直线 1x = ，关于 x 的方程 2 0ax bx c+ + = 的一个 根为 4x = ，则另一个根为 ． 12．某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3: 2 :1: 2 : 2对员工进行年终考评．公司某职员 在 2023 年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 分． 13．如图， / / / /AB CD EF ，若 1 2 AC AE = ， 3BD = ，则 DF = ． 14．如图，“爱心”图案是由函数 2 10y x= − + 的部分图象与其关于直线 y x= 的对称图形组 成．点 A是直线 y x= 上方“受心”图案上的任意一点，点 B 是其对称点．若 8 2AB = ，则 点 A的坐标是 ． 15．小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了 O 的平分线OP，他这样做的数学原 理是 ． 第 15 题图 16．现有 y 是关于 x的二次函数 22 (1 ) 1y mx m x m= + − − − ，下列结论正确的是 ．（填写 正确的序号） ①当 1m = − 时，函数图象的顶点坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ； ②当 0m  时，函数图象总过定点； ③当 0m  时，函数图象在 x轴上截得的线段的长度大于 3 2 ； ④若函数图象上任取不同的两点 1 1(P x ， 1)y 、 2 2(P x ， 2 )y ，则当 0m  且 1 4 x  时一定能使 2 1 2 1 0 y y x x −  − 成立． 三．解答题（共 9 小题，共 86 分） 17．请用两种方法解这个方程： 2 6 5 0x x− + = ． 18．已知 3y − 与 2x + 成正比例，当 1x = 时， 3 2 y = − ． （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）试判断点 (3, 3)− 是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 19．已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 5) 6 2 0x k x k− + + + = ． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于 1− ，求 k 的取值范围． 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 第3页（共 4 页） 20．某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了 20 名学生某一周（按 周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分 信息． a ．消费金额的频数分布表如下： 消费金额 /x 元 50 60x  60 70x  70 80x  80 90x  90 100x 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b ．乙超市消费金额在70 80x  这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m 和n 的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为 500 人，估计甲超市一个月（按 4 周算）的学生消费 总金额． 21．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相 关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了 A 、B 两种不同 的茶具．若购进 A 种茶具 1 套和B 种茶具 2 套，需要 250 元：若购进 A 种茶具 3 套和B 种茶 具 4 套则需要 600 元．且已知销售一套 A 种茶具，可获利 30 元，销售一套B 种茶具可获利 20 元． （1） A 、B 两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进 A 、B 两种茶具共 80 套，茶具工厂对两种类型的茶 具进行了价格调整， A 种茶具的进价比第一次购进时提高了 8%， B 种茶具的进价按第一次 购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进 A 、B 两种茶具的总费用不超过 6240 元， 则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 22．已知：如图，在矩形 ABCD中，E 是边CD上的点，连接 AE ． （1）尺规作图，以 BC 为边，C 为顶点作 BCF DAE = ，CF 交线段 AB于点 F ．（要求： 基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形 AFCE为平行四边形． 第 22 题图 第4页（共 4 页） 23．某实验室在10 C ~ 15 C  的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速 度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培 育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的 增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过 一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该种幼苗所 能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、 表二所示． 表一在10 C 下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量 ( )mg 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度 ( /mm 天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度 ( C) 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均 所需的营养素用量 ( )mg 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10 C 下营养素用量从0mg 增加到0.5mg 的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的 规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10 C 下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素 是否能提前 12 天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该 种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形 ABCD的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ，BC 分别交于点E ， F ．求证：四边形 AFCE是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线EF 分别交矩形 ABCD的边 AD ，BC 于点 E ，F ，将矩形 ABCD沿EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为 D ，若 3AB = ， 4BC = ，求四边形 ABFE 的周 长； （3）【拓展延伸】如图③，直线EF 分别交平行四边形 ABCD的边 AD ，BC 于点E ，F ，将平行四边 形 ABCD沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为D ，若 2 2AB = ， 4BC = ， 45C = ，求EF 的长． 25．已知抛物线 2( ) 5y x t t= − + − ，其中 t是实数． （1）已知三个点 (1,0)，(1, 4)− ，(2, 7)− ，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛 物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点（点 B 在 x 轴正半轴），与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点的记为G ， ①若点D 在点B ，C 之间的抛物线上运动（不与点B ，C 重合），连接OD交BC 于点E ，连 接CD．记△CDE ，△COE 的面积分别为 1S ， 2S ，求 1 2 S S 的最大值； ②过点G 的直线 l 与抛物线的另一个交点为P ，直线 l 与直线 17 : 4 l y = − 交于点F ，过点 F 作 l的垂线，交抛物线于点Q，过PQ 的中点M 作MN l⊥ 于点N ．求证： 1 2 MN PQ= ． 福州延安中学 2023-2024 学年第二学期初二期末试卷 数学答案 （满分：150 分； 时间：120 分钟） 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小量 4 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D B D B D D D A 二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11 12 13 14 15 16 2x = − 7.6 3 ( 2,6)− 或 (1,9) 菱形的每一条对角线都平分它的一组对角 ①②③ 三．解答题（共 9 小题，共 86 分） 17．解方程： 2 6 5 0x x− + = （两种方法）． 【解答】解：方法一： ( 5)( 1) 0x x− − = ， 5x − =或 1 0x − = ， 所以 1 5x = ， 2 1x = ； 方法二： 2 6 5x x− = − ， 2 6 9 4x x− + = ， 2( 3) 4x − = ， 3 2x − =  ， 所以 1 5x = ， 2 1x = ． 18．已知 3y − 与 2x + 成正比例，当 1x = 时， 3 2 y = − ． （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）试判断点 (3, 3)− 是否在（1）中的函数图象上，请说明理由． 【解答】解：（1） 3y − 与 2x + 成正比例， 设 3 ( 2)y k x− = + ， 当 1x = 时， 3 2 y = − ，  3 3 (1 2) 2 k− − =  + ， 解得： 3 2 k = − ，  3 3 ( 2) 2 y x− = − + ，即 3 2 y x= − ， y 与 x 的函数表达式为 3 2 y x= − ； （2）点 (3, 3)− 不在（1）中的函数图象上，理由如下： 在 3 2 y x= − 中，当 3x = 时， 3 9 3 3 2 2 y = −  = −  − ， 点 (3, 3)− 不在（1）中的函数图象上． 19．已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 5) 6 2 0x k x k− + + + = ． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于 1− ，求 k 的取值范围． 【解答】（1）证明： △ 2( 5) 4(6 2 )k k= + − + 2 2 1k k= + + 2( 1) 0k= + ， 此方程总有两个实数根； （2） 5 ( 1) 2 k k x +  + = ， 1 2x = ， 2 3x k= + ， 此方程恰有一个根小于 1− ， 3 1k +  − ， 解得 4k  − ， 即 k 的取值范围为 4k  − ． 20．某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了 20 名学生某一周（按 周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部 分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额 50 60x  60 70x  70 80x  80 90x  90 100x /x 元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b ．乙超市消费金额在70 80x  这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c ．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m 和 n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为 500 人，估计甲超市一个月（按 4 周算）的学生消费 总金额． 【解答】解：（1） 75 12 85 6 95 2 80 20 m  +  +  = = （元 )， 第 10 和第 11 个数据为 71 和 73， 71 73 72 2 n +  = = （元 )， 即表中m 的值为 80， n的值为 72； （2）500 80 4 160000  = （元 )， 答：估计甲超市一个月（按 4 周算）的学生消费总金额为 160000 元． 21．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相 关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了 A 、B 两种不同 的茶具．若购进 A 种茶具 1 套和 B 种茶具 2 套，需要 250 元：若购进 A 种茶具 3 套和 B 种 茶具 4 套则需要 600 元．且已知销售一套 A 种茶具，可获利 30 元，销售一套 B 种茶具可获 利 20 元． （1） A 、 B 两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进 A 、B 两种茶具共 80 套，茶具工厂对两种类型的茶 具进行了价格调整，A 种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B 种茶具的进价按第一次 购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进 A 、B 两种茶具的总费用不超过 6240 元， 则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【解答】解：（1）设 A 种茶具每套进价 a元， B 种茶具每套进价b 元． 根据题意，得 2 250 3 4 600 a b a b + =  + = ， 解得 100 75 a b =  = ， A 种茶具每套进价 100 元， B 种茶具每套进价 75 元． （2）再次购进 A 、 B 两种茶具时， A 种茶具每套进价为100 (1 8%) 108 + = （元 )，B 种茶 具每套进价为 75 0.8 60 = （元 )． 设购进 A 种茶具 x 套，则购进 B 种茶具 (80 )x− 套． 根据题意，得108 60(80 ) 6240x x+ − ， 解得 30x ； 设获得的利润为W 元，则 30 20(80 ) 10 1600W x x x= + − = + ， 10 0 ， W 随 x 的增大而增大， 30x ， 当 30x = 时，W 的值最大， 10 30 1600 1900W =  + =最大 ，此时购进 B 种茶具80 30 50− = （套 )， 购进 A 种茶具 30 套、 B 种茶具 50 套获得最大的利润，最大的利润是 1900 元． 22．已知：如图，在矩形 ABCD中， E 是边CD上的点，连接 AE ． （1）尺规作图，以 BC 为边，C 为顶点作 BCF DAE =  ，CF 交线段 AB 于点 F ．（要 求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形 AFCE 为平行四边形 【解答】（1）解：如图所示， BCF 即为所求； （2）证明： 四边形 ABCD为矩形， AB CD = ， AD BC= ， / /AB CD ， 90B D =  = ， / /AF CE ， 在 ADE 和 CBF 中， D B AD BC DAE BCF  =   =  =  ， ( )ADE CBF ASA   ， DE BF = ， CD DE AB BF − = − ， 即CE AF= ， 四边形 AECF 为平行四边形． 23．某实验室在10 C ~ 15 C  的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长 速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到 培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量 的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超 过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该种幼苗 所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表 一、表二所示． 表一在10 C 下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量 ( )mg 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度 ( /mm 天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度 ( C) 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均 所需的营养素用量 ( )mg 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10 C 下营养素用量从0mg 增加到0.5mg 的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的 规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10 C 下使用营养素将该种幼苗从10mm 培育到30mm，比不使用营养 素是否能提前 12 天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10 C ~ 15 C  范围内的不同温度下，该 种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 【解答】解：（1）设营养素用量为 x mg ，该种幼苗的生长速度为 y cm， 在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大 致呈现出均匀增大的规律， 可设 ( 0)y mx n m= +  ， 根据表二，函数图象经过 (0,1) ， (0.5,2) ，代入可得 1 0.5 2 n m n =  + = ， 解得 2 1 m n =  = ， 2 1(0 0.5)y x x = + ； （2）不能提前 12 天完成，理由如下： 由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是1 /mm 天， 不使用营养素时，该种幼苗从10mm 培育到30mm所需的时间是 (30?10) 1 20 = 天， 由表三可知，在10 C 下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是0.540mg ， 即 0.540x = ， 代入（1）中所求函数解析式可得 2.08y = ， 即该种幼苗在10 C 使用营养素的最大生长速度是 2.08 /mm 天， 此种情况下，该种幼苗在 20?12 8= 天内的生长高度为 2.08 8 16.64mm = 10 16.64 30+  ， 不能提前 12 天完成； （3）设营养素用量为 x mg ，该种幼苗的生长速度为 y cm， 在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大 致呈现出均匀增大的规律， 可设 ( 0)y kx b k= +  ， 在10 ~ 15C C  的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同， 结合表二可知，当 0x = 时，都有 1y = ， 1b = ， 即 1( 0)y kx k= +  在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变， 由（2）可知，在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下， 2.08y =最大 ， 且当 y 取最大值时，在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二 行数据所示，将 (0.360,2.08)， (0.270,2.08)， (0.216,2.08)， (0.180,2.08)， (0.156,2.08)逐一 代入 1y kx= + ，分别可求得在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下解析式中相应的 k 的值，如 下表所示： ( )t C 10 11 12 13 14 15 k 2 3 4 5 6 6.92 根据表中数据， k 的值与相应的温度值大致符合关系式为 ?8k t= ， ( ?8) 1y t x= + ，其中 1.08 0 ?8 x t ， 在10 ~ 15C C  范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直 至达到最大的规律可用关系式 1.08 ( ?8) 1(0 ) ?8 y t x x t = + 表示． 24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形 ABCD的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ，BC 分别交于点 E，F．求证：四边形 AFCE是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线EF 分别交矩形 ABCD的边 AD，BC于点 E，F，将矩形 ABCD沿 EF 翻折，使点 C的对称点与点 A重合，点 D的对称点为D ，若 3AB = ， 4BC = ，求四边形 ABFE 的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线EF 分别交平行四边形 ABCD的边 AD，BC于点 E，F， 将平行四边形 ABCD沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D的对称点为D ，若 2 2AB = ， 4BC = ， 45C = ，求EF 的长． 【答案】（1）见详解；（2） 43 4 ；（3） 2 10 3 ． 【详解】（1）证明： 四边形 ABCD是矩形， AE CF ∥ ， EAO FCO = ， EF 垂直平分 AC ， 90AOE COF  = = ， AO OC= ， (ASA)EAO FCO△ ≌△ ， OE OF = ， 四边形 AFCE为平行四边形， EF AC⊥ ， 平行四边形 AFCE为菱形； （2）解：过点F 作 FH AD⊥ 于H ， 由折叠可知： AF CF= ， AFE EFC = ， 在Rt ABF中， 2 2 2AF BF AB= + ，即 2 2(4 ) 9BF BF− = + ，  7 8 BF = ，  25 8 AF CF= = ， AD BC， AEF EFC AFE =  =  ，  25 8 AE AF= = ， 90B BAD AHF =  =  = ， 四边形 ABFH 是矩形， 3AB FH = = ， 7 8 AH BF= = ，  9 4 EH = ，  2 2 81 15 9 16 4 EF EH FH= + = + = ， 四边形 ABFE 的周长 7 25 15 43 3 8 8 4 4 AB BF AE EF= + + + = + + + = ； （3）解：过点A 作 AN BC⊥ ，交CB的延长线于N ，过点F 作FM AD⊥ 于M ， 四边形 ABCD是平行四边形， 45C = ， 135ABC = ， 45ABN = ， AN BC⊥ ， 45ABN BAN = = ，  2 2 2 AN BN AB= = = ， 由折叠的性质可知： AF CF= ， AFE EFC = ， AD BC， AEF EFC AFE =  =  ， AE AF = ， 2 2 2AF AN NF= + ， ( ) 22 4 2 4AF AF = + + − ，  10 3 AF = ，  10 3 AE AF= = ， AN MF∥ ， AD BC∥ ， 四边形 ANFM 是平行四边形， AN BC⊥ ， 四边形 ANFM 是矩形， 2AN MF = = ， 在Rt AMF 中， 2 2 100 8 4 9 3 AM AF MF= − = − = ，  2 3 ME AE AM= − = ， 在Rt MFE△ 中， 2 2 4 2 10 4 9 3 EF MF ME= + = + = ． 25．已知抛物线 2( ) 5y x t t= − + − ，其中 t 是实数． （1）已知三个点 (1,0) ， (1, 4)− ， (2, 7)− ，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求 抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与 x 轴交于 A ， B 两点（点 B 在 x 轴正半轴），与 y 轴交于 点C ，抛物线的顶点的记为G ， ①若点 D 在点 B ，C 之间的抛物线上运动（不与点 B ，C 重合），连接OD 交 BC 于点 E ， 连接CD ．记 CDE ， COE 的面积分别为 1S ， 2S ，求 1 2 S S 的最大值； ②过点G 的直线 l 与抛物线的另一个交点为 P ，直线 l 与直线 17 : 4 l y = − 交于点 F ，过点 F 作 l的垂线，交抛物线于点Q，过 PQ的中点M 作MN l⊥ 于点 N ．求证： 1 2 MN PQ= ． 【解答】（1）解： 2( ) 5y x t t= − + − 的顶点坐标为 ( , 5)t t − ， 顶点在直线 5y x= − 上， 当 1x = 时， 4y = − ， 当 2x = 时， 3y = − ， 顶点为 (1, 4)− ， 抛物线为 2 2( 1) 4 2 3y x x x= − − = − − ； （2）①解：过点 E 作 EM OC⊥ 于点 M ，点 D 作 DN OC⊥ 于点 N ，如图 1， COE 的面积为 2S ， 2 1 2 S OC ME=   ， CDE 的面积为 1S ，则 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 OCD OCES S S OC ND OC ME OC ND ME = − =   −   =   − ，  1 2 1 ( ) 2 1 2 OC ND ME S ND ME S ME OC ME   − − = =   ， 令 0y = ，则 2 2 3 0x x− − = ， 解得 1x = − 或 3x = ， ( 1,0)A − ， (3,0)B ， 当 0x = 时， 3y = − ， (0, 3)C − ； 设直线 BC 的解析式为 y kx b= + ，将 (3,0)B ， (0, 3)C − 代入得： 0 3 3 k b b = +  − = ， 解得 1 3 k b =  = − ， 直线 BC 的解析式为 3y x= − ， 设 ( , 3)E a a − ，则直线OE 的解析式为 3a y x a − = ， 设 2( , 2 3)D b b b− − ，则直线OD 的解析式为 2 2 3b b y x b − − = ， 即 2 2 3 3b b a b a − − − = ， 整理得： 2 3 3 0 b a b b a − − +  = ， 则 2 3 1 1 3 3 ( ) 3 3 2 4 b a b b b a − = − + = − − + ， 1 2 S ND ME b a S ME a − − = = ， 故当 3 2 b = 时， b a a − 有最大值为 3 4 ， 即 1 2 S S 的最大值是 3 4 ； ②证明：连接QN 和 PN ，过点 P 作 PH l⊥ 与点H ，如图 2 : 设直线 PG 的解析式为： PGy kx b= + ，将 (1, 4)G − 代入求得： 4b k= − − ， 故直线 PG 的解析式为： ( 1) 4PGy k x= − − ； 直线 PG 与直线 17 : 4 l y = − 交于点 F ， 将点 F 的纵坐标 17 4 Fy = − 代入 ( 1) 4PGy k x= − − ， 得： 17 ( 1) 4 4 k x− = − − ， 解得： 1 1 4 x k = − ，  1 17 (1 , ) 4 4 F k − − ， 点Q的横坐标 1 1 4 Qx k = − ，  2 2 1 1 1 (1 ) 2(1 ) 3 4 4 4 16 Qy k k k = − − − − = − ，  2 1 1 (1 , 4) 4 16 Q k k − − ， 直线 PG 与抛物线交于 P ，G 两点，则 2 2 3 ( 1) 4x x k x− − = − − ， 整理得： 2 (2 ) 1 0x k x k− + + + = ， 1 2 2x x k + = + ， 1 1x = ， 2 1x k = + ， 即点 P 的横坐标为 1Px k= + ， 2 2(1 ) 2(1 ) 3 4y k k k = + − + − = − ， 2(1 , 4)P k k + − ，  2 2 17 1 4 ( ) 4 4 PH k k= − − − = + ， 2 2 1 17 1 1 4 ( ) 16 4 16 4 QF k k = − − − = + ， / /QF PH ， M 为 PQ的中点，  1 QM FN MP NH = = ， 即 1 2 FN NH FH= = ， 1 1 1 (1 ) 4 4 P QFH x x k k k k = − = + − − = + ，  1 1 1 ( ) 2 4 2 8 k FN NH k k k = = + = + ， 在Rt QNF 中， 22 3 1 1 1 4 116 4tan 1 8 2 2 2 8 QF kkQNF kFN k k k k + +  = = = = + + ， 在Rt NPH 中， 2 3 2 1 1 4 12 8tan 1 8 2 2 4 k NH kkNPH PH k k k k + +  = = = = + + ， 即 tan tanQNF NPH =  ， QNF NPH = ， 又 90QFN NHP = = ， FQN HNP = ， 90QNF PNH + = ， 90QNP = ， 即 PNQ 为直角三角形， 又 M 为 PQ的中点， MN 是Rt PNQ 斜边上的中线，  1 2 MN PQ= ．