江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024年南通市高一学年度质量监测 数 学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若复数z=a+(a2-1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.0 B.1 C.-1 D.±1 2.下列统计量可用于度量样本数据离散程度的是 A.平均数 B:中位数 ,.aC.众数 ,D.方差 3.已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为 A.π B.√2π C.2π D.22m 4.已知向量a=(-2,4),b=0,x),若a1b,则b= 5-(家 A要 B.√5 C.25D.4W5 5.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同 的概率为 A最 B. c.5 D. 6.若cos(昏-小-号，则sim(2a- A号 B.g c. D.司 7。某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的 仰角为60°，在A的南偏西30°方向上的B处，测得P的仰角为45°(O,A,B在同 水平面内)，A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为（√2≈1.4，√5≈1.7） A.10m B.14m C.17m D.20m 数学试卷第1页共4页 CS扫描全能王 亿人幕在用的扫描A 8.在锐角三角形A8C中，2sin4=nB+anC,则如S的取值范围为时 cosC cos A.) C.(1,+o) D.(2,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.下列命题为真命题的是 A.若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形 B.若asin A=bsin B,则△ABC为等腰三角形 C.若acosA=bcos B,则△ABC为等腰三角形 D.若如4-sB=osC,则△MBC为等腰直角三角形1 b 10.己知a,b,c为三条直线，a,B,Y为三个平面.下列命题为真命题的是 A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b B.若a∥a,acB,.anB=b,则a∥b C.若a⊥a,acB,则a⊥p D.若a⊥Y,B⊥y,a∩B=a,则a⊥y 1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白 色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件A=“两个球颜 色不同”，B三“两个球标号的和为奇数”，C=“两个球标号都不小于2”，则 A.A与B互斥 B.A与C相互独立 C.P(AB)+P(AC)=P(A) 为D.PABC)=PAP(BP( 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为 13.已知向量a,b满足|bh2,且a在b上的投影向量为二b,则ab= 14.以枝长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面 体，已知正四棱维的侧面与底面所成的角为牙·该多面体的体积为一 其面数 为 数学试卷第2页，共4页 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△MABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2=b2+√2ac. (1)求B: (2)若c=2√2a,求tanC, 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,E,F分别是 棱BC,AP的中点 (1)证明：PC⊥BD: (2)证明：EF∥平面PCD. 17.(15分) 某班学生日睡眠时间（单位：h)的频率分布表如下： 分组 [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9] 频数 4 20 。 频率 b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]的学生 中抽取5人.再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5) 的概率。 数学试卷第3页共4页 C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 18.(17分) 已知△ABC的面积为9，点D在BC边上，CD=2DB. (1)若cos∠BAC=手，AD=DC ①证明：sin∠ABD=2sin∠BAD: ②求AC: (2)若AB=BC,求AD的最小值 19.(17分) 如图，等腰梯形ABCD为圆台OO的轴截面，E,F分别为上下底面圆周上的点，且B, E,D,F四点共面， (1)证明：BF∥DE: (2)已知AD=2,BC=4,四棱锥C-BEDF的体积为3. ①求三棱锥B-ADE的体积： ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值. D B 数学试卷第4页共4页 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 参考答案与评分建议 第 1 页 共 8 页 2024年南通市高一学年度质量监测 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C B C A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 11 13. 2 14．16；12 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．（13 分） 【解】（1） 在 ABC△ 中，由余弦定理及 2 2 2 2a c b ac   ，得 2 2 2 2 2cos 2 2 2 aca c bB ac ac     ，…… 2 分 因为0 πB  ， 所以 π 4 B  ．…… 5 分 （2） 由正弦定理及 2 2c a ，得 sin 2 2 sinC A ， …… 7 分 即 3πsin 2 2 sin( ) 4 C C  ，…… 9 分 所以 2 2sin 2 2( cos sin ) 2 2 C C C  ，…… 11 分 整理得， sin 2cosC C  ． 因为0 πC  ，所以 sin 0C≠ ，所以 cos 0C  ， 所以 tan 2C   ．…… 13 分 16．（15 分） 【证明】（1） 连结 AC ， BD . 因为底面 ABCD为菱形，所以 BD AC⊥ . 参考答案与评分建议 第 2 页 共 8 页 因为 PA⊥平面 ABCD， BD 平面 ABCD， 所以 PA BD⊥ . …… 4 分 又因为 PA AC A ， PA， AC 平面 PAC ， 所以 BD⊥平面 PAC . 又 PC 平面 PAC 所以 PC BD⊥ . …… 7 分 （2） 法一 取 PD中点M ，连结 FM ，MC . 在 PAD△ 中，因为M F， 分别为 PD， PA的中点， 所以MF AD∥ 且 1 2 MF AD= . …… 9 分 在菱形 ABCD中， BC AD∥ 且 BC AD ， 因为 E为 BC中点， 所以CE AD∥ 且 1 2 CE AD= ， 所以MF CE∥ 且MF CE ， 所以四边形 EFMC为平行四边形， …… 12 分 所以 EF MC∥ ， 又因为 EF 平面 PCD，MC 平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD . …… 15 分 法二 取 AD的中点 N，连结 FN ， NE . 在 ADP△ 中，因为 F ， N分别为 AP， AD的中点， 所以 FN PD∥ ， 因为 FN 平面 PCD， PD 平面 PCD， 所以 FN∥平面 PCD . …… 9 分 在菱形 ABCD中， 因为 E， N分别为 BC， AD的中点，且 BC AD∥ ， BC AD= ， 所以 EC ND∥ ， EC ND= ， 所以四边形 ECDN为平行四边形， 所以 EN CD∥ ， P B A C D F E M P B A C D F E N 参考答案与评分建议 第 3 页 共 8 页 又因为CD 平面 PCD， EN 平面 PCD， 所以 EN∥平面 PCD . …… 11 分 又因为 FN∥平面 PCD（已证）， 又因为 FN EN N ， FN ， EN 平面 EFN 所以平面 PCD∥平面 EFN ， …… 13 分 又因为 EF 平面 EFN ， 所以 EF∥平面 PCD . …… 15 分 17．（15 分） 【解】（1） 法一 因为容量 20 0.4 50÷n   ， 所以 50 0.12 6y    ，  50 4 20 6 20x      ， …… 4 分 所以该班学生的平均日睡眠时间为  1 7.25 4 7.75 20 8.25 20 8.75 650         1 29 155 165 52.5 8.0350      （ h ）， 所以该班学生的平均日睡眠时间约为 8.03 h . …… 7 分 法二 由 4 20 0.4a  得， 0.08a  ， 所以  1 0.08 0.4 0.12 0.4b      ， …… 4 分 所以该班学生的平均日睡眠时间为 7.25 0.08 7.75 0.4 8.25 0.4 8.75 0.12 8.03        （ h ）， 所以该班学生的平均日睡眠时间约为8.03 h. …… 7分 （2） 由（1）知，该班日睡眠时间在[7，7.5)和[8.5，9]频率之比为 2：3， 由分层抽样意义得，分别从日睡眠时间在[7，7.5)和[8.5，9] 的学生中抽取 2 人，3 人. …… 9 分 记从[7，7.5)中抽取的 2 人为 a，b，从[8.5，9]中抽取的 3 人为 c，d，e. 设“2 人中至少有 1 人的睡眠时间在[7，7.5)”为事件 A， 则 Ω，A可分别表示为 Ω {( )a b ， ， ( )a c， ， ( )a d， ， ( )a e， ， ( )b c， ， 参考答案与评分建议 第 4 页 共 8 页 ( )b d， ， ( )b e， ， ( )c d， ， ( )c e， ， ( )}d e， {( )A a b ， ， ( )a c， ， ( )a d， ， ( )a e， ， ( )b c， ， ( )b d， ， ( )}b e， . …… 13 分 所以 A发生的概率 7( ) 10 P A  . 所以 2 人中至少有 1 人的睡眠时间在[7，7.5)的概率为 7 10 . …… 15 分 法二 A可表示为： {( )A c d ， ，( )c e， ，( )}d e， ， …… 13 分 所以 A发生的概率 3 7( ) 1 10 10 P A    ， 所以 2 人中至少有 1 人的睡眠时间在[7，7.5)的概率为 7 10 . …… 15 分 18．（17 分） 【解】（1）① 因为 2CD DB ， AD DC ，所以 2AD BD ， 在 ABD△ 中由正弦定理可得 sin sin AD BD ABD BAD    ， 所以 sin sin 2sinADABD BAD BAD BD       . …… 3 分 ② 法一 设 BAC   ，则 4cos 5   ， 因为0 π  ，所以 2 3sin 1 cos 5     . 设 C   ，因为 AD DC ，所以 C CAD    ， 在 ABD△ 中， πB      ， BAD     ， 由①知 sin 2sinABD BAD   ， 所以 sin( ) 2sin( )      ， 所以 sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin          ， 整理可得 cos 4sin  ， 又因为 2 2sin cos 1   ， 0 π  ， 所以 17sin 17   ， 4 17cos 17   ， …… 6 分 因为 2CD BD ，所以 2 63ACD ABC S S △ △ ， 在 ACD△ 中，因为 AD DC ， C   ， 参考答案与评分建议 第 5 页 共 8 页 所以 2 cosAC AD  ，所以 17 2cos 8 ACAD AC    ， …… 8 分 所以 217 171 sin 6 2 16 17ACD S AD AC AC      △ ， 所以 4 6AC  . …… 10 分 法二 记 ABC△ 的内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c， 设 3a m ，因为 2CD BD ， AD DC ， 所以 BD m ， 2AD CD m  ， 在 ABD△ 中， 2 2 2 2 2 2 4 5cos 2 2 4 m m c m cADB m m m        ， 在 ADC△ 中， 2 2 2 2 4 4cos 8 m m bADC m    ， 因为 πADB ADC   ， 所以 cos cos 0ADB ADC    ， 所以 2 2 2 2 2 10 2 8 0 8 m c m b m     ，所以 2 2 218 2m c b  . …… 6 分 在 ABC△ 中，由余弦定理可得 2 2 22 cos 9b c bc A m   ， 所以 2 2 2 28 5 2 bb c bc c    ，所以 16 5 b c . …… 8 分 又 1 sin 9 2ABC S bc A △ ，所以 30bc  ，解得 4 6b  ， 所以 4 6AC  . …… 10 分 （2） 法一 记 ABC△ 的内角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c， 因为 2CD DB ， 所以 2 3 AD AC CD AC CB         2 2 1( ) 3 3 3 AC AB AC AB AC          ， 所以 2 2 24 1 4 cos 9 9 9 AD c b bc BAC     ， …… 12 分 在 ABC△ 中，因为 AB BC ， 所以由余弦定理可得 2 2 2 2 cosc c b bc BAC    ， 整理可得 2 cosc BAC b  ， 2cos bc BAC   . 因为 1 sin 9 2ABC S bc BAC  △ ，所以 18 sin bc BAC   ， 参考答案与评分建议 第 6 页 共 8 页 所以 2 36cos sin BACb BAC   ， 2 2 2 9 cos sin4cos bc BAC BACBAC     . …… 15 分 所以 2 4 12cos sin cos sin BACAD BAC BAC BAC       2 2 24 12cos 4sin 16cos sin cos sin cos BAC BAC BAC BAC BAC BAC BAC           sin 4cos4( ) 16 cos sin BAC BAC BAC BAC      ≥ ， 当且仅当 2 5sin 5 BAC  ， 5cos 5 BAC  时取等号， 所以 AD最小值为 4. …… 17 分 法二 设 的内角 ， ， 的对边分别为 a，b， c，则 a c ， 作 BE AC ，垂足为 E，则 1 2 AE b ， 所以 2 2 2 21 4 2 BE AB AE c b    ， 因为 的面积为 9， 所以 2 21 4 9 2 4 bBE AC c b     ， 2 2 2 2 364c b b   ， （*） …… 12 分 因为 2CD DB ， 所以 2 3 AD AC CD AC CB         2 2 1( ) 3 3 3 AC AB AC AB AC          ， 两边平方得， 2 22 1 4 4 9 AD AB AB AC AC                2 21 4 4 cos9 c bc BAC b     ， 由余弦定理得，   2 2 22 2 2 2 21 14 4 4 3 9 2 9 b c aAD c b bc c b bc             …… 15 分 将（*）式代入得， 2 22 2 2 2 2 4 18 4 182 16 9 9 AD b b b b             ≥ ， 所以 4AD≥ ，当且仅当 2 2 2 18b b  ，即 3 2b  时取“=”. 所以 AD的最小值为 4. …… 17 分 19．（17 分） 【解】（1）在圆台 1OO 中，平面 ADE∥平面 BFC ， 因为平面 BEDF 平面 ADE DE ，平面 BEDF 平面 BFC BF ， ABC△ A B C ABC△ 参考答案与评分建议 第 7 页 共 8 页 所以 BF DE∥ . …… 3 分 （2） ① 将圆台 1OO 的母线延长交于一点 P， 连接 PE ，延长 PE 交底面于点Q，连接 BQ，CQ . 在圆台 1OO 中，平面 ADE∥平面 BFC ， 因为平面 PCQ 平面 ADE DE ， 平面 PCQ 平面 BFC CQ ， 所以 ED CQ∥ . 又由（1）可知 BF ED∥ ，所以 BF CQ∥ ， 又CF BF ， BQ CQ ， BF ，CF ， BQ， CQ 平面 BFC ， 所以 BQ CF∥ ，所以四边形 BFCQ为平行四边形， 所以 BF CQ . …… 6 分 在圆台 1OO 中， 2AD  ， 4BC  ， 所以 1 2 DE AD CQ BC   ，所以 1 2 DE AD BF BC   ， 所以 2BDF BDES S△ △ . 所以 2 2 3D BFC C BDF C BEDF V V V     . …… 8 分 连接 AC ，交 BD于点T ，所以 1 2 AT AD TC BC   ， 所以 A，C 到平面 BEDF 的距离之比为 1 2 ， 所以 1 1 1 2 4 2B ADE A BDE C BED C BDF V V V V       . …… 10 分 ② 在等腰梯形 ABCD中，过点D作边 BC的垂线DG，垂足为G， 在平面 BFC 内过点G作CF 的平行线GH 交 BF 于点H ，连接DH . 易得 1DG OO∥ ，因为 1OO 平面 BFC ，所以DG 平面 BFC ， 所以 DCG 为母线与下底面所成角. …… 12 分 因为 2 4AD BC，  ，所以 1CG  ，所以 tan DCG DG  . 要使 DCG 最小，只要DG最小即可.  A B C D E F 1O O G H P Q T 参考答案与评分建议 第 8 页 共 8 页 因为 2D BFCV   ，所以 1 2 3D BFC BFC V S DG   △ ，所以 6 BFC DG S  △ . 设 CBF   ，因为 BC为圆 1O 的直径，所以 BF FC . 所以 4sinFC  ， 4cosFB  ，所以 1 4sin 2 4 2BFC S FC FB   △ ≤ ， 当且仅当 π 4   ，即 2 2CF BF  时取等号， 所以DG的最小值为 3 2 . …… 14 分 因为CF BF ，CF GH∥ , 所以GH BF . 因为DG 平面 BCF ， BF 平面 BCF ，所以DG BF ， 因为DG HG G ， ,DG HG 平面DGH ，所以 BF 平面DGH ， 所以 BF DH ，因此 DHG 为二面角C BF D  的平面角. 在 BCF△ 中，因为 3 42 2 HG BG BC   ， 所以 3 2 2 HG  . 因为DG 平面 BFC , HG 平面 BFC , 所以DG HG . 在Rt DGH△ 中，由勾股定理得 3 3 2 DH  ，所以 3sin 3 DHG  ， 所以二面角C BF D  的正弦值为 3 3 . …… 17 分