第07讲 比例线段(11个知识点+6个考点+4个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第07讲 比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、知道两条线段比的意义； 2、理解比例线段及其有关概念； 3、知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对进行简单的变形。 4、会运用“同高或等高的两个三角形的面积的比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化； 知识点一 相似图形的定义 定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 【例1】下列图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 【答案】A 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【变式1-1】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 知识点二 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 【例2】下列【例2】命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 知识点三 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 【例3】已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，，则， ∵是和的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去），即， ∴， ∴ ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 【变式3-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 知识点四 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 【例4】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析. 【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值； （2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长； （3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项． 【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm， ∴a：b＝30：60＝1：2； （2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵c＝12dm＝120cm， ∴， ∴d＝240cm； （3）是，理由： b2＝3600，ac＝30×120＝3600， ∴b2＝ac， ∴b是a和c的比例中项． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位． 【变式4-1】已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 知识点五 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 【例5】已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 【变式5-1】已知：，且，求的值． 知识点六 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【例6】如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【变式6-1】已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 知识点七 线段比与面积比 1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线平行. 结论1：, 结论2：. 2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等. 【例7】 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则 ． 【答案】/4 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 知识点八 三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【例8】如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 知识点九 三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. （2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 【例9】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形的重心及GFAB可知，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心，GFAB， ∴， ∵EF＝2， ∴BF=4， ∴BE=6， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2BE=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 知识点十 三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 【例10】如图，，如果，，，那么 ．    【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， 经检验，满足所列方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应． 知识点十一 ⑪平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【例11】如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 考点一：比例的性质 例1．（2024·安徽合肥·一模）已知，且，求的值． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若（x、y、z均不为零），求的值． 【变式1-2】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，求的值． 【变式1-4】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值． 考点二：比例线段 例2. （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 考点三：成比例线段 例3. （2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】 （23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【变式3-3】 （23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 【变式3-4】 （23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 考点四：由平行判断成比例的线段 例4. （23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】 （22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．      【变式4-3】（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值； (3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：． 【变式4-4】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-5】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 考点五：由平行截线求相关线段的长或比值 例5. （2024·安徽·一模）如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·安徽芜湖·一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D．2 【变式5-2】 （2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【变式5-3】 （2024·安徽宿州·二模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 【变式5-4】（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 考点六 黄金分割 例6. （2024·安徽·二模）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：春晚主持人在舞台上主持春晚节目时，总是站在黄金分割点处，这样观众看上去，感觉最好．苦春晚舞台长28米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】 （23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】 （23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·安徽合肥·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．    【例1】已知线段则_________. 易错攻克 求线段的比时，要先统一单位，一般把较大单位化为较小单位，再求线段的比. 【例2】已知四条线段,.判断它们是不是成比例线段. 易错攻克 判断四条线段是否为成比例线段时，一般先按长度大小排序，再分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，最后作出判断. 【例3】已知求的值. 易错攻克 应用等比性质时，应对分母进行分类讨论.易忽略分母不等于0的前提条件而没有分类讨论导致出现错误. 【例4】已知点为线段的黄金分割点，线段，则约为　 　． 易错攻克 题中没有明确 AC与 BC 的大小关系,故应当分两种情况考虑,避免漏解。 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 4．如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 6．（23-24九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，那么的值为 ． 8．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，若，．则的长为 ． 9．（2024·安徽滁州·三模）如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．    （1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ． （2）若线段与抛物线的交点为 D，则 ． 10．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 11．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、知道两条线段比的意义； 2、理解比例线段及其有关概念； 3、知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对进行简单的变形。 4、会运用“同高或等高的两个三角形的面积的比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化； 知识点一 相似图形的定义 定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 【例1】下列图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 【答案】A 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【变式1-1】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状相同，相似，符合题意． D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 知识点二 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 【例2】下列【例2】命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【详解】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 知识点三 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 【例3】已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，，则， ∵是和的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去），即， ∴， ∴ ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 【变式3-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵， ∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵， ∴四条线段成比例，不符合题意； D、∵， ∴四条线段成比例，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 知识点四 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 【例4】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析. 【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值； （2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长； （3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项． 【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm， ∴a：b＝30：60＝1：2； （2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵c＝12dm＝120cm， ∴， ∴d＝240cm； （3）是，理由： b2＝3600，ac＝30×120＝3600， ∴b2＝ac， ∴b是a和c的比例中项． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位． 【变式4-1】已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：设点是线段上的一点，， ， 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键. 知识点五 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 【例5】已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 【变式5-1】已知：，且，求的值． 【答案】4 【分析】设，则，再根据求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出的值． 【详解】解：设，则， 代入，得， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设，得出k的值． 知识点六 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【例6】如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【变式6-1】已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 知识点七 线段比与面积比 1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线平行. 结论1：, 结论2：. 2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等. 【例7】 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则 ． 【答案】/4 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 知识点八 三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【例8】如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 知识点九 三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. （2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 【例9】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形的重心及GFAB可知，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心，GFAB， ∴， ∵EF＝2， ∴BF=4， ∴BE=6， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2BE=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 知识点十 ⑩三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 【例10】如图，，如果，，，那么 ．    【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， 经检验，满足所列方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应． 知识点十一 ⑪平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【例11】如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 考点一：比例的性质 例1．（2024·安徽合肥·一模）已知，且，求的值． 【答案】22 【分析】设，，，确定，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解:∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若（x、y、z均不为零），求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，掌握等比的性质是解题关键． 根据等比性质，求解即可． 【详解】解：设， 则，，． ∴． 【变式1-2】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，比例中项的定义．根据题意可得，，可求出，，再由比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段a，b的长度满足， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴， 即． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，，则，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 【变式1-4】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，得出，，，根据，求出，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 解得：， ∴，，． 考点二：比例线段 例2. （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 由题意得：， 解得：， 两地间的实际距离为， 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，且，米， 米， 故选：D． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，即可解答． 【详解】解：设实际距离为x米， 3厘米米， ， 解得：， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一． 考点三：成比例线段 例3. （2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：D． 【变式3-1】 （23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质．找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数也求出乘积，比较判断即可． 【详解】解：A、，能组成比例，不符合题意； B、，能组成比例，不符合题意； C、，不能组成比例，符合题意； D、，能组成比例，不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】 （23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例线段及比例的性质，代数式求值．设，则，，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ，，， ， ，解得， ． 【变式3-4】 （23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值； 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段，比例中项的定义，掌握若，则b是a、c比例中项是解决问题的关键． 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 【详解】解：∵c是a，b的比例中项， ∴， 而，， ∴， 而， ∴． 考点四：由平行判断成比例的线段 例4. （23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 【变式4-1】 （22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此求解即可． 【详解】∵直线， ∴，，， ∴选项A、C、D是正确的， 故选：B． 【变式4-2】（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．      【答案】 【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点，   ，． 是的中点， ， ， ． ， ． 平分， ． ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键． 【变式4-3】（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值； (3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）证明，即可得到； （2）作于G，得到四边形为矩形，在中，由勾股定理可得，据此求解即可； （3）过A作，与的延长线交于P，利用平行线分线段成比例求得，证明，求得，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图1，作于G， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点G是的中点， 在中，由勾股定理可得， ∴； （3）证明：如图2，过A作，与的延长线交于P， ∵M为的中点，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，正确引出辅助线解决问题是解题的关键 【变式4-4】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 【变式4-5】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 考点五：由平行截线求相关线段的长或比值 例5. （2024·安徽·一模）如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-1】（2024·安徽芜湖·一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】 （2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至，  使， 连接交于点．    （1）若， 则 ° ； （2）连接，，与交于，若， 则 ． 【答案】 / 【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解； （2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解： (1)在正方形 中，， ∵， ， ， ， ， ， ； (2)作交于点，则， ，， ， ，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ； 故答案为：、．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 【变式5-3】 （2024·安徽宿州·二模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 12 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，理解等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，即可由三角形的面积公式求解； （2）延长，交于点，先证明，再用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例，即可求得的长． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，    则， ，， ， ， ； 故答案为：12； （2）延长，交于点，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【变式5-4】（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解； （2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解． 【详解】（1）解：过作于，交于，如图： ①证明：设， ， ， ，， ， ， ； ②解：，为中点， ， ， ， ； （2）解：延长至，使得，连接，如图： ，， ， ， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，， ， ， ． 在直角中．， ． 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键． 考点六 黄金分割 例6. （2024·安徽·二模）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据短边长与长边长的比为，长边的长为，估算短边长的值，选择最接近的选项即可，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项中最接近的数是5， 故选：B． 【变式6-1】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：春晚主持人在舞台上主持春晚节目时，总是站在黄金分割点处，这样观众看上去，感觉最好．苦春晚舞台长28米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得出，整理即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 【变式6-2】 （23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【变式6-3】 （23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长． 【详解】解： P为的黄金分割点，， ， ． 故选D． 【变式6-4】（2024·安徽合肥·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 故答案为：． 【例1】已知线段则_________. 解析 因为所以 答案 易错攻克 求线段的比时，要先统一单位，一般把较大单位化为较小单位，再求线段的比. 【例2】已知四条线段,.判断它们是不是成比例线段. 解 显然 因为所以所以它们是成比例线段. 易错攻克 判断四条线段是否为成比例线段时，一般先按长度大小排序，再分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，最后作出判断. 【例3】已知求的值. 解 当时，由等比性质可得 所以 当时，得， 所以 综上可得,的值为或. 易错攻克 应用等比性质时，应对分母进行分类讨论.易忽略分母不等于0的前提条件而没有分类讨论导致出现错误. 【例4】已知点为线段的黄金分割点，线段，则约为　或　． 分析 根据黄金分割点的定义，知可能是较长线段，也可能是较短线段；则或． 解答 由于为线段的黄金分割点， 则 或． 点评 理解黄金分割点的概念．特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算． 易错攻克 题中没有明确 AC与 BC 的大小关系,故应当分两种情况考虑,避免漏解。 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，掌握运用表示和的长是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴, 故选D． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握相关知识是解题关键．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理可得，进而解得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，解得， ∴． 故选：B． 4．如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分类讨论的方法分点在上和点在上两种情形解答，分别求得与的函数关系式，利用对应的函数图象即可得出结论．本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：当点与点重合时，如图， 四边形是矩形， ， ， ， ． ． ①当时，点在上， 过点作于点，如图， 则， ， ， ， 此时对应的函数图象是一条以和为端点的线段； ②当时，此时点在线段上，如图， 四边形是矩形， ， ， ． ， 此时对应的函数的图象为一条以和为端点的线段， 综上，下列图象能反映与之间函数关系的是， 故选：B． 5．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，则，解得， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例设，然后代入约分即可解题． 【详解】解：设， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024·安徽滁州·三模）如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．    （1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ． （2）若线段与抛物线的交点为 D，则 ． 【答案】 【分析】（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，代入求得，根据，故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式． （2）根据抛物线，设点，根据题意，得，得，（舍去），过点D作轴于点G，则，根据平行线分线段成比例定理，得，解答即可． 本题考查了平移思想，待定系数法，交点坐标计算，平行线分线段成比例定理，熟练掌握待定系数法和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，得， 故直线的解析式为， ∵， 故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式， ∴， 故答案为：． （2）根据抛物线，设点，则直线解析式为， ，且轴， ， 则直线解析式为， 根据题意，得，解得，（舍去）， 过点D作轴于点G， 则， 根据平行线分线段成比例定理，得， 故答案为：．    10．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有， 【分析】（1）将点和点代入二次函数表达式，解方程即可； （2）先求得点的坐标，设点的坐标为，通过两点坐标公式表示出和的长度，求得点坐标，从而求得直线的表达式，再求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标； （3）设点的坐标为，从而求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标，过点作交于点，作交于点，通过求得的最大值． 【详解】（1）将，代入 得到，解得 ，； （2）由（1）可知， 将代入，，解得， 的坐标为 设点的坐标为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为 点横坐标为； （3）有最大值； 设点的坐标为，直线的表达式为 代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为， 过点作交于点，作交于点，如图所示 点坐标为，点坐标为 ， 时，的最大值为 的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，两点之间的距离，解二元一次方程组，平行线分线段成比例，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： 故 在和中 ∴（） ∴ ∴ 故答案为：1 （2）由（1）可知： ∴ 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和全等三角形性质和判断，勾股定理，掌握这些是解本题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$