第08讲 相似三角形的判定（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第08讲 相似三角形的判定（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用两角对应相等判定相似 典型例题二 利用三边对应成比例判定相似 典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题五 相似三角形的判定综合 典型例题六 相似三角形判定定理的证明 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【典型例题一 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解相似三角形的面积比既是对应边比的平方是解题的关键． 根据题意先求出，即可得出，根据三角形的面积可得出，再由得出，即可求出． 【详解】解：如图，如图标注， 由题意知，四边形，为梯形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，P为内部一点，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理，判断出是解本题的关键． 首先判断出，即可证明出． 【详解】解：， ， 又， ， ， 又， ． 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先根据以及得到，继而可用两角相等证明相似． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 4．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【典型例题二 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． (1)求的值； (2)在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定知识点，解题的关键是熟练运用勾股定理求出线段长度，并依据相似三角形的判定条件证明三角形相似． （1）通过在正方形网格中利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据三角函数的定义计算出所求三角函数值． （2）同样先利用勾股定理算出各个三角形的边长，然后通过边长之间的比例关系，依据相似三角形的判定定理来确定两个三角形相似，并完成填空和证明． 【详解】（1）由图可知，，，， ∵， ∴，     ∴ ∴； （2），理由： 由图可知，，，，，， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）若把的各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】根据的各边长都扩大3倍后，所得的三角形与原三角形相似，即可解答．本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定，根据已知判断所得的三角形与原三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵的各边长都扩大3倍， 所得的三角形与原三角形相似， 的大小没有改变， 锐角A的正弦值无变化 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·上海·期中）关于直角三角形有如下两个命题： ①如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比； ②如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似． 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，真假命题的概念， 根据相似三角形的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：①如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比，都等于相似比，是真命题； ②如图，的边长分别为，，斜边，的边长分别为，，斜边，和分别为斜边上的高线，且， 由面积可得，， ∴，整理得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或即两个直角三角形的直角边之比相等， ∴两个直角三角形三角形相似， ∴如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似，是真命题； 故选：A． 【例2】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 【例3】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，D为上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键． 由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：， ，， ， 又∵， ． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ， ， 即：， 由（1）可得：， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键． 【典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，请你再补充一个条件 ，使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， 添加， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、， ， ， ，不符合题意； D、，， 无法证明，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图所示，增加一个条件，可使∽，这个条件可以是 ． 【答案】∠1 = ∠ B  或∠2 = ∠ C  或 【分析】图中已有的条件是∠A=∠A，根据相似三角形的判定定理，两组对应角相等或两组对应边成比例且夹角相等，可知需要添加的条件. 【详解】①添加∠1 = ∠ B， ∵∠A=∠A，∠1 = ∠ B ∴△ABC∽△AED ②添加∠2 = ∠ C ∵∠A=∠A，∠2 = ∠ C ∴△ABC∽△AED ③添加 ∵，∠A=∠A ∴△ABC∽△AED 故这个条件可以是：∠1 = ∠ B  或∠2 = ∠ C  或 . 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，根据已知条件，选择适当的判定定理是解题的关键. 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，△ABC中，AB=AC，且∠BAC=108°，点D是AB上一定点，请在BC边上找一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】两个 【分析】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．或者有两组角对应相等的两个三角形相似．所以在画图时要分情况． 【详解】如图，这样的点有两个． ①过D作DE∥AC交BC于E，根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，可得△BDE∽△BAC； ②以D为顶点，DB为一边，作∠BDE=∠C，已知有公共角∠B，根据有两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BCA． 【点睛】考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【答案】（1），证明见解析；（2）（答案不唯一） 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似． 【详解】解： 证明：于点于点 ∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到； ∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【典型例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（2024·江西景德镇·模拟预测）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【答案】①② 【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知识点是解决本题的关键． 分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 【详解】解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 【例3】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵第二个等腰三角形的顶角也等于， ∴两个三角形的夹角相等，夹边对应成比例，是一对相似三角形，符合题意； 、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵两个等腰三角形的顶角不相等， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、由勾股定理得，第二个直角三角形的另一条直角边长为， ∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有 对． 【答案】6 【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； 综上所述：有6对相似三角形． 故答案为：6 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【详解】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E，如图所示， ，， ． 4．（2024九年级上·安徽合肥·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【典型例题六 相似三角形判定定理的证明】 【例1】 （2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤； 【详解】证明：②， ④， ①又， ③， ． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形 与其他两边相交，截得的对应线段 进行证明． 【答案】 一边的直线 成比例 【分析】根据相似三角形的判定，确定三角形相似的条件，进行辅助线的添加，即可求解. 【详解】证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例进行证明． 故答案为一边的直线；成比例. 【点睛】此题主要考查了相似三角形判定证明的方法，关键是要明确证明相似三角形的条件，由此确定所要添加的辅助线. 【例3】（2024·湖南郴州·模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°．CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD•AD这个结论可证明 ∽ ． 【答案】 △ADC　　 △CDB 【详解】由射影定理知. △ADC∽_ △CDB. 故答案为(1). △ADC　　    (2). △CDB 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列各式中，不能证明的条件是（ ） A．AD:DB=DE:BC B．AD:AC=AE:AB C．∠1=∠B D．∠2=∠C 【答案】A 【分析】根据三角形相似判定定理对选项逐项判断即可． 【详解】A.两边不是对应边，故错误； 由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，故B正确， 两角对应相等，两三角形相似，故C、D正确； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为 ，可证明△AOB∽△DOC． 【答案】∠AOB＝∠DOC 【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答． 【详解】解：∵，∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）． 故答案为：∠AOB＝∠DOC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明． 【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得△BEC∽△ADC． 【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下： ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC                         ∴∠ADC=90°                              又∵BE⊥AC ∴∠BEC=90°                              ∴∠ADC=∠BEC=90°                        又∵∠C=∠C ∴△BEC∽△ADC 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 1．（2025·上海金山·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】分别根据菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，进行判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意； B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； C、两条边对应成比例且有一个夹角相等的两个三角形相似，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 4．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项不符合题意； D、由可得，，，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，利用正方形的性质求出点和的坐标即可判断①；利用待定系数法得出直线的函数解析式即可判断②；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断③；再依次求出点，…，的纵坐标，发现规律即可判断④． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵四边形和四边形是正方形，且， ∴点的坐标为，点的坐标为，故①正确； 将和的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为，故②正确； 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 过点作x轴的垂线，垂足为P， 设 ∴点坐标可表示为， 将点坐标代入直线函数解析式得， ， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得，点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， 代入，即可求得， ∴点的横坐标为，故④正确． 故选：C． 6．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 9．（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当或或时，． 故答案为：或或 10．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案． 【详解】线段被截成三等份， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：4． 11．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 12．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点都在网格点上（网格线的交点）． (1)在上找出一点，连接，使得； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）由勾股定理且结合，得相似比为，即可作答； （2）根据题意可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）根据题意，得，． 由勾股定理，得． ，． ． 又， ． 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据三角形的优美线的定义，只要证明是等腰三角形，即可解决问题； （2）如图，分两种情形讨论求解①若，则则这与这个条件矛盾；②若，则可根据三角形的内角定理求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴线段是的优美线． （2）如图， 若， ∴， ∴这与这个条件矛盾； 若，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用两角对应相等判定相似 典型例题二 利用三边对应成比例判定相似 典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似 典型例题五 相似三角形的判定综合 典型例题六 相似三角形判定定理的证明 知识点01 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【典型例题一 利用两角对应相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，P为内部一点，．求证：． 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 4．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【典型例题二 利用三边对应成比例判定相似】 【例1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． (1)求的值； (2)在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）若把的各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小 D．无变化 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 3．（24-25九年级上·安徽合肥·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【典型例题三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例1】（24-25九年级上·上海·期中）关于直角三角形有如下两个命题： ①如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比； ②如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似． 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【例2】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【例3】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，D为上一点，，求证：． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 【典型例题四 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，请你再补充一个条件 ，使得．    【例3】（23-24九年级上·广东佛山·期末）已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图所示，增加一个条件，可使∽，这个条件可以是 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，△ABC中，AB=AC，且∠BAC=108°，点D是AB上一定点，请在BC边上找一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【典型例题五 相似三角形的判定综合】 【例1】（2024·江西景德镇·模拟预测）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【例3】（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于的点，且．求证： ． 1．（24-25九年级上·河北承德·期末）下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有 对． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 4．（2024九年级上·安徽合肥·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【典型例题六 相似三角形判定定理的证明】 【例1】 （2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴． A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④① 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形 与其他两边相交，截得的对应线段 进行证明． 【例3】（2024·湖南郴州·模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°．CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD•AD这个结论可证明 ∽ ． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列各式中，不能证明的条件是（ ） A．AD:DB=DE:BC B．AD:AC=AE:AB C．∠1=∠B D．∠2=∠C 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为 ，可证明△AOB∽△DOC． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 4．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明． 1．（2025·上海金山·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，的顶点，，，在x轴上．顶点，，，在直线上，若，，则（   ） ①点坐标为； ②直线的表达式为； ③； ④点的横坐标为，其中说法正确的为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③ 6．（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 9．（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 10．（2025·山东菏泽·模拟预测）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ． 11．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 12．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 13．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点都在网格点上（网格线的交点）． (1)在上找出一点，连接，使得； (2)求证：． 14．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 15．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线． (1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线； (2)在中，，为的优美线，且是以为腰的等腰三角形，请依据题意补全图形，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$