第08讲 相似三角形的判定(7个知识点+7个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第08讲 相似三角形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解相似三角形的概念,会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角 2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所,所得的对应线段成比例， 3.探索两个三角形相似的条件,会选择恰当的方法识别两个三角形相似 4.探索相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算 5.会综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 温馨提示： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 例1．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且，已知，，，，，.利用相似三角形的定义说明.(补全解题过程） 解：∵______，______，______， ∴______=______=______. ∵， ∴，. ∵， ∴. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】根据对应线段成比例，对应角相等的三角形相似即可求解. 【详解】∵ ， ， ，∴==. ∵，∴，. ∵，∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理. 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 温馨提示： (1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 例2. 如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可． 【详解】解：， ； 四边形是平行四边形， ，， ，； 同理，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 知识点三 相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 例3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出的三边长，然后根据三角形相似的判定方法可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，，，    选项B，C，D中的三角形都没有， 而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， ∵， ∴A选项中的三角形与相似． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 知识点四 相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 例4. （2023秋·湖南衡阳·九年级校考期末）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 【答案】(1)；理由见解析(2)，且 【分析】（1）由正方形的性质可知，，根据是的中点，，可得，，继而证明，即可得出结论； （2）由的性质可得，，，因为，所以，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，且．理由如下： 由（1）知，，， 则， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答本题的关键． 知识点五 相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 例5. 如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D． 【详解】∵，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 知识点六 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 例6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 【答案】见解析 【试题分析】（1）根据勾股定理，计算出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）利用三边对应成比例，两三角形相似进行验证即可. 【试题解析】（1）根据勾股定理，得：AC=、AB==、BC=，则,利用勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形； （2））根据勾股定理，得：DE=、DF=、EF=，则DF：DE：EF=1:2:= AC：AB：BC ，利用三边对应成比例，两三角形相似得：△ABC△DEF. 【方法点睛】本题目是一道考查学生三角形的判定方法，主要运用了勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用三边对应成比例，两三角形相似.难度适中. 知识点七 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3. 斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4. 一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 例7. 如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：由图得： 当或或时，与相似； 也可． 选项中角不是成比例的两边的夹角． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 考点一：证明两三角形相似 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 【变式1-1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【变式1-4】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【变式1-5】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【变式1-6】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    【变式1-7】（23-24九年级上·云南文山·期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 【变式1-8】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 【变式1-9】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【变式1-10】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，、相交于点，已知，，，．求证：． 【变式1-11】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【变式1-12】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，与中，，；证明：．    【变式1-13】（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．    考点二：选择或补充条件使两个三角形相似 例2.（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【变式2-5】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【变式2-6】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【变式2-7】（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ．    【例1】如图，已知正方形的边长是1，是边的中点，点在线段上，当　0或　时，三角形与三角形相似． 易错攻克 本题中直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即或,易因只考虑一种情况而漏解. 【例2】如图，已知,吗？请说明理由.若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 易错攻克 只有两边成比例且夹角相等的两个三角形才相似，当角不是“两边成比例”中两边的夹角时，不能得出两三角形相似. 1．（2024·安徽宿州·二模）如图，在中，，角平分线分为两条线段，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 6．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ． 7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 8．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 9．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，．    (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解相似三角形的概念,会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角 2. 掌握平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所,所得的对应线段成比例， 3.探索两个三角形相似的条件,会选择恰当的方法识别两个三角形相似 4.探索相似三角形的性质,能运用性质进行有关计算 5.会综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 温馨提示： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 例1．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且，已知，，，，，.利用相似三角形的定义说明.(补全解题过程） 解：∵______，______，______， ∴______=______=______. ∵， ∴，. ∵， ∴. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】根据对应线段成比例，对应角相等的三角形相似即可求解. 【详解】∵ ， ， ，∴==. ∵，∴，. ∵，∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理. 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：A、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； B、与不一定相等，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意； C、，且，能判定两个三角形相似，故本选项不符合题意； D、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：B 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 温馨提示： (1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 例2. 如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可． 【详解】解：， ； 四边形是平行四边形， ，， ，； 同理，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 知识点三 相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 例3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出的三边长，然后根据三角形相似的判定方法可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，，，    选项B，C，D中的三角形都没有， 而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， ∵， ∴A选项中的三角形与相似． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 知识点四 相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 例4. （2023秋·湖南衡阳·九年级校考期末）如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 【答案】(1)；理由见解析(2)，且 【分析】（1）由正方形的性质可知，，根据是的中点，，可得，，继而证明，即可得出结论； （2）由的性质可得，，，因为，所以，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，且．理由如下： 由（1）知，，， 则， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答本题的关键． 知识点五 相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 例5. 如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D． 【详解】∵，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 知识点六 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 例6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 【答案】见解析 【试题分析】（1）根据勾股定理，计算出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）利用三边对应成比例，两三角形相似进行验证即可. 【试题解析】（1）根据勾股定理，得：AC=、AB==、BC=，则,利用勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形； （2））根据勾股定理，得：DE=、DF=、EF=，则DF：DE：EF=1:2:= AC：AB：BC ，利用三边对应成比例，两三角形相似得：△ABC△DEF. 【方法点睛】本题目是一道考查学生三角形的判定方法，主要运用了勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用三边对应成比例，两三角形相似.难度适中. 知识点七 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3. 斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4. 一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 例7. 如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：由图得： 当或或时，与相似； 也可． 选项中角不是成比例的两边的夹角． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 考点一：证明两三角形相似 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，推出，由此证明①和③一定相似． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即①和③一定相似， 故选：A． 【变式1-1】（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：依题意，, ， ， ∴，， ∴， 而，，与不相似， 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 【变式1-4】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作，交于点M，先证明，得出，从而证出，再根据，即可证出结论． 【详解】证明：过点O作，交于点M， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1-5】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-6】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-7】（23-24九年级上·云南文山·期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ，． ． 【变式1-8】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 【答案】(1)相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解； （2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 所以，①， ， 所以，②，③， 所以④，⑤， 故图中相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴；； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意与都与相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方． 【变式1-9】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式1-10】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，、相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据各线段的长，可证得，再根据相似三角形的判定定理，即可证得结论． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握和运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-11】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 【变式1-12】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，与中，，；证明：．    【答案】见解析 【分析】根据，得出，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-13】（22-23九年级上·河北沧州·期末）如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据已知线段长证，结合，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可证． 【详解】证明：，，，， ，， ，， ， ， （两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 考点二：选择或补充条件使两个三角形相似 例2.（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意； B、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； D、由，得，不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 故选：． 【变式2-2】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ， 故选A． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意； B、剪开得到三角形与原三角形的两组对应边成比例且夹角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意； C、由同位角相等、两直线平行可得平行线，故可判定两三角形相似，故本选项不符合题意． D、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2-4】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理依次排除选项． 【详解】解：A、由平分可知：，所以能判定和相似，故不符合题意； B、由可知：，所以能判定和相似，故不符合题意； C、由可知，且，所以能判定和相似，故不符合题意； D、由但不是对应边，所以不能判定和相似，故符合题意； 故选D． 【变式2-5】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 【变式2-6】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 【变式2-7】（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，要使和相似，已具备条件 ，还需补充的条件是 ，或 ，或 ．    【答案】 【分析】根据三角形判定定理：两角对应相等两三角形相似、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．已知一个角相等，只要满足另外任何一个角对应相等或者所夹角的两边对应成比例即可． 【详解】解：由图示可知， 要使和相似 根据三角形相似的判定定理， 需要补充条件是，或，． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，定理为：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 【例1】如图，已知正方形的边长是1，是边的中点，点在线段上，当　0或　时，三角形与三角形相似． 【分析】当时，；当时，；即可求得的长度，即可解题． 【解答】解：当时，有， ， 当时，， ， 故当或时，三角形与三角形相似， 故答案为：0或． 【点评】本题考查了相似三角形的证明，相似三角形对应边相等的性质，本题中讨论或是解题的关键． 易错攻克 本题中直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即或,易因只考虑一种情况而漏解. 【例2】如图，已知,吗？请说明理由.若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 解 不一定相似.因为不是成比例的两边的夹角. 可添加：或或 易错攻克 只有两边成比例且夹角相等的两个三角形才相似，当角不是“两边成比例”中两边的夹角时，不能得出两三角形相似. 1．（2024·安徽宿州·二模）如图，在中，，角平分线分为两条线段，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点D作于点E，于点F，先证明四边形是矩形，求得，再证明，得到，求得，，最后根据勾股定理计算，即得答案． 【详解】过点D作于点E，于点F， ， 四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 故选A． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直接根据定理内容逐一判定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得 故A不符合题意； ∵，但与不是夹角， ∴不能判定与相似， 故B符合题意； ∵，， ∴ ∴， 根据两角分别对应相等的两个三角形相似可得 故C不符合题意； ∵， ∴根据三边成比例的两个三角形相似可得 故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，不符合题意； B、∵，，∴，不符合题意； C、，，不能得出，符合题意； D、∵，，∴，不符合题意； 故选：C． 5．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】过P点作轴于点C，则可得到，即，求出A，B两点坐标，进而求出点坐标，代入求值即可． 【详解】如图，过P点作轴于点C， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵直线分别与y轴、x轴交于A，B两点， ∴A，B两点坐标为:， ∴， ∴ ∴， ∴ 代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点，相似三角形形的判定和性质，反比例函数的解析式，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合应用，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论点P在不同位置时的情形是解题的关键．设点P的坐标为，先求出点A和点B的坐标，分点P在y轴负半轴上，在线段上和在的延长线上三种情况讨论，分别证明，求出的长，再根据，即可列方程求解答案． 【详解】解：设点P的坐标为， 令，则， ， ，， 令，则， 解得， ， ， 当点P在y轴负半轴上时， 如图，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 当点P在线段上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 方程无解，不合题意，舍去； 当点P在的延长线上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）在上截取，连接，通过证明是正三角形，以及，即可推得结论正确； （2）延长，交于点 G，先证明，然后证明是正三角形，进一步推理得到，得出，最后利用，，即可证得结论． 【详解】（1），， 是正三角形， ，， ，平分， ， 在 上截取，连接， 则是正三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）延长，交于点 G， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 是正三角形， ， 又， ，， ， ， ， ，， ． 9．（2023·安徽·模拟预测）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，．    (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明，得到，然后根据等腰三角形的性质，可得，进一步推得，最后根据四边形的内角和等于，即得答案； （2）先证明，得到，即，根据，，即得答案； （3）先证明，进一步推得，从而，得到；另一方面，证明，得到，再证明，可得为的黄金分割点，由此可的答案． 【详解】（1）证明：，，D为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2），，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即为的黄金分割点， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，黄金分割，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$