第12讲 相似三角形的性质（1知识点+11考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第12讲 相似三角形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：11大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1)理解并掌握相似三角形对应高、角平分线、中线的比都等于相似比,相似三角形对应线段的比等于相似比。 2)理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3)利用相似三角形的性质解决简单的问题。 知识点 1 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）[易错]相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论． 【详解】解：当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东聊城·期中）下列说法中正确的有（    ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断，解题的关键是掌握相似三角形，相似多边形的定义和性质． 【详解】解：位似图形都相似，故正确； 两个等腰三角形不一定相似，故错误； 两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，故错误； 若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形不一定相似，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，分情况进行分析，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设另外两边长为，，根据题意得： 或或 解得：或或， 故答案为：或或． 6．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．由题意直接根据相似三角形的性质列出比例式，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：，相似比是，， ， ， 的面积是18． 考点一： 利用相似的性质求线段的比 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键． 根据相似三角形对应高的比等于相似比即可． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴与的对应高之比为， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为， ∴， ， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．直接根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】解：∵与相似，面积比， ∴两三角形的相似比等于， ∴与的对应中线之比为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴，即， 故选：A ． 考点二： 利用相似的性质求线段的长度 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知，且相似比为3，若，则为（   ） A．2 B．9 C．18 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为3， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 由投影得，由相似性质得，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若与相似，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据与相似进行分类讨论，即可解答，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：与相似，， 故可分两种情况， 当时， 可得，即， ； 当时， 可得，即， 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，从而可得到，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：将沿方向平移至， ， ， 的周长的周长， ， 的周长的周长， 故选：C． 考点三： 利用相似的性质求周长和面积的比 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，它们的周长之比为，则他们的对应高的比及面积比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握即相似三角形对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 直接根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵，它们的周长之比为， ∴，它们的相似比为， 则他们的对应高的比及面积比分别为，． 故选：B． 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　） A．和的周长比是 B．边和边上的高之比是 C．和的面积比是 D．边和边上的中线之比是 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比以及周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：和的周长比是，故选项A符合题意； 边和边上的高之比是，故选项B不符合题意； 和的面积比是，故选项C不符合题意； 和边上的中线之比是，故选项D不符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了， ∴放大后的图形与原图形是相似图形，其相似比为，故其面积比为， ∴放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的4倍， 故选：C． 考点四： 利用相似的性质求周长和面积 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解：，相似比为， 的周长的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）在和中，已知，且的周长为6，的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：∵， ， 的周长与的相似比为， 的周长等于6， 的周长为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设较大三角形的面积是， 根据题意，两个相似三角形的相似比是， 则两个相似三角形的面积比是， 所以可有，解得， 经检验：是方程的解， 即较大三角形的面积是． 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，则较小的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，列出方程解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设较小的三角形的面积为，则较大的三角形的面积为， ∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的面积比为， 即， 即， 解得， ∴较小的三角形的面积为， 故答案为：． 考点五： 利用相似三角形的性质求解 1．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，可得，，所以，再根据三角形外角的性质，即可求得答案． 【详解】解：是正方形的对角线 ， ，， ， ， ． 故选：D． 2．（2024·山东青岛·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要平移的性质、相似三角形的性质，根据平移的性质可知，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的中线比等于相似比可得：，从而可得：，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示， 根据平移的性质可知， 、， ， ， ， ， 解得：． 故选：A． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】， 设，则，， 又四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质；根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为 【答案】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离之比，进行求解即可． 【详解】解：设实际面积为， 由题意，得： 解得：； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知的周长是周长的一半，，则边上的高等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形周长比等于相似比，对应边上的高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 先根据题意得出，进而求出，根据三角形的面积公式求出边上的高，最后根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵的周长是周长的一半， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴边上的高， ∴边上的高等于6， 故答案为：6． 7．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应角的角平分线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 考点六： 运用相似三角形解决折叠问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，，点D，E分别在上，将沿折叠，点B的对应点F刚好落在上．当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折得到， ， ∵， ∴， ， ， ， , 解得：． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）将三角形纸片按如图所示旳方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为（点E、F分别在边、上），已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质；设，①当时，由相似三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求；掌握折叠的性质，相似三角形的性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠得：， ①当时， ， ， 解得：； ②当时， ， ， 解得：； 综上所述：的长度是或； 故答案为：或． 考点七： 利用相似求坐标 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，首先设点的坐标为，则有，，根据相似三角形对应边成比例列出关于的分式方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解， 点的坐标为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，C为的中点， ∴， ∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴， ∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选C． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为，若点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据周长比确定相似比，由点得坐标确定的，即可求解、长度，便可求解点的坐标． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，与的周长之比为， ∴，相似比为， 即， 又∵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为． 故答案为：A． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    考点八： 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用网格作相似三角形，掌握相似三角形的性质和网格线的特征是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质求解； （2）先根据相似三角形的性质得出为直角三角形，再根据网格的特点作图． 【详解】（1）解：∵与相似，点分别对应于点， ∴， ． 又， ， ． （2）解：如图所示，即为所求． 考点九： 利用相似三角形的性质与判定求解 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 2．（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行线的性质得，，进而根据相似三角形的判定即可求证； （）由，可得四边形是平行四边形，即得，，又由得，即得，得到，，再根据平行四边形的性质即可求解； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴四边形的周长． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先证明，推出，由，即可求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 考点十： 证明三角形的对应线段成比例 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 考点十一： 利用相似三角形解决动点问题 1．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，或， 则同时出发，经过秒或秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（2025·浙江·模拟预测）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， 与的相似比为 故选：B． 4．（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的相似比等于周长比即可得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：2， ∴这两个相似三角形的周长之比为1：2． 故选：C． 5．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比和高之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的周长比和高之比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，和分别是和的高，，， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·云南曲靖·二模）如图，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，先由相似三角形的对应边的比等于周长比，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴（相似三角形的对应边的比等于周长比）， 则， 故选：A． 7．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，正多边形的内角和，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．先证明是等边三角形，再证明，利用，求出，同理，即可求解． 【详解】解：∵正六边形，是正三角形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴正六边形的面积是， 故选：D． 8．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的性质求得，，再利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形中对应线段：三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应角的角平分线的比等于相似比，列式计算即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比是， 两个相似三角形的相似比为， 设大三角形对应角上的角平分线的长为， 由题意得， ， 故答案为：． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：20． 11．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在边上，直线把分成两部分，若与相似，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角函数等知识点，掌握分类讨论数学是解题的关键． 先根据三角形函数求得，即；根据点E在上情况分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 如图：当点E在上，且时，，则； 如图：当点E在上，且时，即，， ∵ ∴ ， ∵， ∴，即点E与点C重合， 故为或， 故答案为：或. 12．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 13．（2025·江苏常州·一模）如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，先根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质得，进而得，，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，的有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 14．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，其中． (1)请用尺规作图在线段上找点，使得；（不要求写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，中等难度，熟悉尺规作图步骤和相似三角形的性质是解题关键． （1）结合相似三角形的判定与性质，作交于点，则点即为所求； （2）根据相似列比例式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点，点即为所作点． （2）解：， ， 即， 解得：． 15．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，的角平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． （1）由线段长度可得，，即可得； （2）由（1）的结论得，由相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得，再由角平分线的性质得，再由相似三角形的判定可证； （3）由（2）的结论得，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）证明：， ， 又∵， ∴， ， 平分， ， ； （3）解：， ， ， ． 16．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相似三角形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：11大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1)理解并掌握相似三角形对应高、角平分线、中线的比都等于相似比,相似三角形对应线段的比等于相似比。 2)理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3)利用相似三角形的性质解决简单的问题。 知识点 1 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）[易错]相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东聊城·期中）下列说法中正确的有（    ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 ． 6．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，D，E分别在边上，已知，若，则 ． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 考点一： 利用相似的性质求线段的比 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点二： 利用相似的性质求线段的长度 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知，且相似比为3，若，则为（   ） A．2 B．9 C．18 D． 2．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若与相似，且，则 ． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ） A． B． C． D． 考点三： 利用相似的性质求周长和面积的比 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，它们的周长之比为，则他们的对应高的比及面积比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知，且相似比为，则下列结论错误的是（　　） A．和的周长比是 B．边和边上的高之比是 C．和的面积比是 D．边和边上的中线之比是 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 考点四： 利用相似的性质求周长和面积 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）在和中，已知，且的周长为6，的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，则较小的三角形的面积为 ． 考点五： 利用相似三角形的性质求解 1．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在正方形网格中，、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，若，则（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知的周长是周长的一半，，则边上的高等于 ． 7．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 考点六： 运用相似三角形解决折叠问题 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在中，，点D，E分别在上，将沿折叠，点B的对应点F刚好落在上．当时，的长为 ．    2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）将三角形纸片按如图所示旳方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为（点E、F分别在边、上），已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则的长度是 ． 考点七： 利用相似求坐标 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为，若点坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 考点八： 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 考点九： 利用相似三角形的性质与判定求解 1．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点，，求的长． 2．（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，，，若，，，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 考点十： 证明三角形的对应线段成比例 1．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 考点十一： 利用相似三角形解决动点问题 1．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 3．（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆开州·模拟预测）若两个相似三角形的面积之比是1：4，则这两个相似三角形的周长之比是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南曲靖·二模）如图，．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 11．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在边上，且，点E在边上，直线把分成两部分，若与相似，则 ． 12．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 13．（2025·江苏常州·一模）如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为 ． 14．（2025·广东清远·一模）如图，在中，，其中． (1)请用尺规作图在线段上找点，使得；（不要求写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 15．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，的角平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 16．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$