第11讲 锐角的三角函数(5个知识点+16个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第11讲 锐角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数， 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数. 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 知识点一 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切（拓展） （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 特别提醒： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 【例1】在中，，，，求的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，利用三角函数的定义即可完成． 【详解】在中， ，，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了求锐角三角函数值，掌握三个锐角三角函数的定义是关键． 知识点二 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 【例2】如图，在中，，，垂足为D，，． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得的长，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）得：，从而得到，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求解． 【详解】（1）解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴ ， ∵是边上的高， ∴即， ∴， 在中，由勾股定理得 ； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键． 【变式2-1】如图，在中，是边上的中线，，，． (1)求的周长； (2)求的余切值． 注意： 三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数： (1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)7,24,25;(5)8,15,17;(6)9,40,41. 知识点三 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点四 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 特别提醒 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 【例3】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三个三角函数值． 【分析】根据已知角A的正弦设，得出，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】∵sinA＝＝， ∴设，，由勾股定理得：， 则cosA＝， tanA＝， sinB＝， cosB＝， tanB＝． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键． 【变式3-1】已知为锐角，，那么 度． 知识点五 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 【例4】计算： (1)； (2) ． 【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法； （2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【变式4-1】计算： ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：正弦的概念辨析 例1．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1-3】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ． 考点二：求角的正弦值 例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）等腰梯形的上底为，下底为，面积为，则较小的底角的正弦值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，为的中点，点在射线上，过点作于点，连接．请探究下列问题： （1） ； （2）当时， ． 考点三：己知正弦值求边长 例3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为_______ 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 考点四：求角的余弦值 例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ． 考点五：余弦的概念辨析 例5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知，则锐角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 考点六：已知余弦求边长 例6．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交于M，N两点．若，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D． 【变式6-3】（2023·安徽淮北·二模）如图，为的边上一点，，，，，则（    ） A． B． C． D．4 考点七：求角的正切值 例7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（   ） A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 【变式7-1】（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，． （1）若，则 ° （2）若，则 【变式7-3】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 考点八：己知正切值求边长 例8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为等边内一点，，交于点．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·安徽滁州·二模）如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G． (1)求证：； (2)如图2，若是的中线，且，求 的值． 【变式8-2】（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围； (3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3． ①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【变式8-3】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，中，，平分交于点D，交于点E，． （1）的值为 ； （2）的面积为 ． 考点九：特殊三角形的三角函数 例9．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式9-1】（2024·安徽宿州·三模）计算：． 【变式9-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 【变式9-3】（2024·安徽淮南·二模）计算：． 考点十：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式10-1】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-2】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【变式10-3】（2024·重庆忠县·一模）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ． 考点十一：根据特殊角三角函数值求角的度数 例11．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【变式11-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则 ． 【变式11-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则 ． 【变式11-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则是 三角形． 考点十二：己知角度比较三角函数值的大小 例12．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式12-3】（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 考点十三：根据三角函数值判断锐角的取值范围 例13．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 考点十四：利用同角三角函数关系求值 例14．（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 【变式14-1】（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接，，过点B作的垂线交，于点F，G．设．    (1)求证：； (2)如图1，连接，若，求m的值； (3)如图2，若平分，过点D作的垂线交，及的延长线分别于点P，H，M．若，求的长． 【变式14-3】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 考点十五：互余两角三角函数的关系 例15．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 【变式15-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 考点十六：三角函数综合 例16．（2024·安徽蚌埠·三模）如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F． (1)求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 【变式16-1】（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 【变式16-2】（2023·安徽·模拟预测）某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示） (3)如图3，若，求四边形的面积． 【变式16-3】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，等腰的底边，高，M是的中点，连接．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以为边作正方形，使G，H和点A在的同侧，设点E运动的时间为t秒．    (1)当时，用含t的代数式表示的长； (2)设正方形面积为，正方形与重叠面积为，当时，求t的值； (3)在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒个单位的速度沿折线段，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形内（含边界）的时长． 【变式16-4】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围． 【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 易错攻克 锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值. 易错攻克 锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形. 1．（2024·安徽合肥·二模）已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·安徽芜湖·一模）计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 5．（2024·安徽蚌埠·三模）计算： 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 7．（2024·安徽芜湖·三模）如图，直线AB的解析式为，与双曲线相交于A，B两点，且点A的坐标为． （1） ． （2）如图，若轴，轴，直线与直线相交于点D，则 ． 8．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）计算： 9．（2024·安徽六安·二模）计算： 10．（2024·安徽淮南·模拟预测）计算：． 11．（2024·安徽淮北·三模）如图，在正方形中，点E是的中点，连结，，过点C作的垂线交，于点G，F． (1)求证：F是的中点； (2)求的值； (3)求与的面积比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 锐角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数， 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数. 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 知识点一 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切（拓展） （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 特别提醒： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 【例1】在中，，，，求的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，利用三角函数的定义即可完成． 【详解】在中， ，，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了求锐角三角函数值，掌握三个锐角三角函数的定义是关键． 知识点二 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 【例2】如图，在中，，，垂足为D，，． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得的长，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）得：，从而得到，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求解． 【详解】（1）解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴ ， ∵是边上的高， ∴即， ∴， 在中，由勾股定理得 ； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键． 【变式2-1】如图，在中，是边上的中线，，，． (1)求的周长； (2)求的余切值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）作于点E，根据，可求出，再利用勾股定理可求出，进而求得，再次利用勾股定理可求出的长度，从而求得 的周长； （2）作于点F，，且点D是的中点，可得是的中位线，则有，，利用勾股定理可得，进而可求得解． 【详解】（1）解：如图所示：作于点E 三角形为直角三角形， , 即， 解得：， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的周长为：， （2）如上图，作于点F， 是边上的中线， 点D是的中点， ，, 与平行， 是的中位线， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，中位线定理等知识，熟练相关的性质和定理是解题的关键． 注意： 三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数： (1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)7,24,25;(5)8,15,17;(6)9,40,41. 知识点三 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 知识点四 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 特别提醒 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 【例3】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三个三角函数值． 【分析】根据已知角A的正弦设，得出，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】∵sinA＝＝， ∴设，，由勾股定理得：， 则cosA＝， tanA＝， sinB＝， cosB＝， tanB＝． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键． 【变式3-1】已知为锐角，，那么 度． 【答案】45 【分析】先利用，求出，再根据三角函数值求对应的角度即可． 【详解】解：， ， 为锐角， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 知识点五 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 【例4】计算： (1)； (2) ． 【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法； （2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【变式4-1】计算： ． 【答案】 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：正弦的概念辨析 例1．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 【变式1-1】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． 【详解】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键． 【变式1-2】（21-22九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】由中，，，可得此时不唯一，从而可得答案. 【详解】解： 中，，， 两条边无法确定一个三角形，则的大小不能确定，故无法求解， 所以不能确定， 故选D 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟悉“锐角三角函数是在直角三角形中定义的”是解题的关键. 【变式1-3】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ． 【答案】 【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可. 【详解】解：过A作AD垂直于BC于D， 则AD=2，AC=， ∴sinC=. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键. 考点二：求角的正弦值 例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．由相似三角形的判定和性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点为边的中点， ， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-1】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）等腰梯形的上底为，下底为，面积为，则较小的底角的正弦值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，梯形．过点A作于点E，根据题意可得的长，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，    根据题意得：， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：C 【变式2-2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，为的中点，点在射线上，过点作于点，连接．请探究下列问题： （1） ； （2）当时， ． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查了求一个角的正弦值以及相似三角形的性质．（1）根据可得，，据此即可求解；（2）由可得，据此即可求解． 【详解】解：（1）在中，． ， ， ，． 故答案为： （2）当时，． ． 又， ．由（1）知 ． 故答案为：5 考点三：己知正弦值求边长 例3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正弦的定义直接计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点N作于点F，得出，，根据三角函数得出，求出，把代入得，得出，即可求出的长． 【详解】解：过点N作于点F，如图所示：    则， ∵点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得：或（舍去）， ∴点M从C运动到A所用的时间为2秒， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形面积的计算，已知函数值求自变量，解题的关键是数形结合，根据函数图象求出点M从C运动到A所用的时间为2秒． 【变式3-2】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为 【答案】9 【分析】根据正弦的定义得到sinA==，然后把AB=15代入计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， ∴sinA==， ∴BC=AB=×15=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 考点四：求角的余弦值 例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，余弦，根据勾股定理算出，再根据余弦函数定义即可得；求出和掌握余弦函数定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角形函数的求值，勾股定理逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再利用三角形面积求出的长，即可求出最后结果． 【详解】解：如图， ， 即， 为直角三角形，且， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，根据，设，，勾股定理得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， 则：， ∴； 故选A． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求余弦；根据网格可得，勾股定理得出，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 考点五：余弦的概念辨析 例5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式5-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 【变式5-2】（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知，则锐角A的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 考点六：已知余弦求边长 例6．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】如图， ∵，即， ∴， 故选：C． 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交于M，N两点．若，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．作，可证是等腰直角三角形，由角平分线的性质可得，进一步证，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ ∵平分，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，即： 解得： 故选：C 【变式6-3】（2023·安徽淮北·二模）如图，为的边上一点，，，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据，，可求出，，再证明，即可作答． 【详解】∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． 考点七：求角的正切值 例7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（   ） A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，求角的正切值，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．分当H在上时和当H在的延长线上时两种情况，画出图形求解即可． 【详解】如图1，当H在上时，作，垂足为E， ∵，，， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴，， 故； 如图2，当H在的延长线上时，同理可得可得 ，， 故． 故选D．      【变式7-1】（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正切值的计算方法，掌握直角三角形中正切函数的定义是解题的关键． 根据题意作图，再根据正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， ∴， 故选：． 【变式7-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，． （1）若，则 ° （2）若，则 【答案】 65 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得，由可得； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，得得由勾股定理求出求出证明得，，从而可得答案 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴； （2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，如图，    则 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ 故答案为：65； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键 【变式7-3】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定与性质、求角的正切值，作轴于    ，轴于，则，，证明得出，再由正切的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点F，轴于， ， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点八：己知正切值求边长 例8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为等边内一点，，交于点．若，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点取中点，连接可得垂直平分根据中位线定理可得由平行线分线段成比例定理得求出、根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图连接并延长交于取的中点连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及中位线、勾股定理、正切平行线分线段成比例定理等知识掌握等腰三角形的判定与性质以及中位线定理是解题的关键． 【变式8-1】（2024·安徽滁州·二模）如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G． (1)求证：； (2)如图2，若是的中线，且，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，可证； （2）作，利用三角形相似，平行线分线段成比例定理，正切函数列式计算即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】（1）证明∵ ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，作. ∵， ∴设,则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 由(1)可知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围； (3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3． ①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；② 【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为M，计算的长即可得到坐标． ②设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，过点G作轴于点E，确定，计算得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则， 故的最大值为． 【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴的对称点为， ∵， ∴平移后， 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得； ∴， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S， ∵，杯子的高度（即，之间的距离）为． ∴，， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为， 设点N是抛物线上的一点，且，； 过点N作轴，交于点G， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴， ∵， ∴， 过点G作轴于点E， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴时，取得最大值，且最大值为， 过点N作于点H， 则， 故的最大值为， 故液体的最大深度为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 【变式8-3】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，中，，平分交于点D，交于点E，． （1）的值为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了角的平分线的性质，勾股定理，三角函数的应用， （1）作于H，得，利用两次勾股定理计算即可． （2）利用三角函数求得即可． 【详解】（1）作于H， ∵平分交于点D，， ∴， 在中，由勾股定理,得． 在中，， 即， 得， 得， 故答案为：6． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 考点九：特殊三角形的三角函数 例9．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】取的中点，的中点，得到，，当为与之间的距离时，最小，求出到的距离,即可求解， 本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线，得到最小值． 【详解】解：取的中点，的中点，    连接，，则，， 当为与之间的距离时，最小， 过点作， ∵，， ∴， 在中，，， 故选：D． 【变式9-1】（2024·安徽宿州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式9-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式、算术平方根等考点的运算． 【详解】解：， ， ， ． 【变式9-3】（2024·安徽淮南·二模）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式= ． 考点十：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 例10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【变式10-1】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式10-2】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【变式10-3】（2024·重庆忠县·一模）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，过E作于H，解直角三角形得到，求得是等边三角形，得到，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过E作于交于点H， 在矩形中，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握割补法解决问题． 考点十一：根据特殊角三角函数值求角的度数 例11．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 【变式11-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据“”即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：30． 【变式11-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案． 【详解】解：， 锐角． ． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形的内角和定理，根据题意得，，结合特殊角的三角函数值得，，是解决问题得关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 由特殊角的三角函数值以及、都是锐角， 得：，， ∵三角形内角和为， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 考点十二：己知角度比较三角函数值的大小 例12．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式12-1】（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 【变式12-2】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键． 【变式12-3】（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解； （2）同（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键． 考点十三：根据三角函数值判断锐角的取值范围 例13．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 【变式13-1】（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，根据当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解， 【详解】解∶ ∵为锐角，且， 又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小， ∴， 故选∶C． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小． 【变式13-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴可能是． 故选：D． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 考点十四：利用同角三角函数关系求值 例14．（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． ①求的值； ②求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)① ② 【分析】（1）根据正方形的性质得到直角和题干的，利用等角的余角相等，再由，即可证明； （2）①先利用勾股定理求出，再由等角的三角函数相等， ，求出，继而求出即可． ②先求的面积，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①∵正方形的边长为2，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ；     ②在中， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数，正确理解题意，熟知知识点是解决问题的关键． 【变式14-1】（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示； ①求的值； ②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可； ②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把代入得：，解得： ∴点， 又∵点， ∴可设此抛物线的解析式为， 把点A代入可得:， 解得： ∴， 即：此抛物线的解析式为． （2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为． ①在和中，， ∴， ∴， ∴， 由点D的坐标为得：， ∴； ②不存在．理由如下： ， ∴对称轴为 ， ， ∴抛物线开口向上， 又∵点P在第一象限， ∴， ∴当点 P 在对称轴左侧时， S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于； 当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于； ∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接，，过点B作的垂线交，于点F，G．设．    (1)求证：； (2)如图1，连接，若，求m的值； (3)如图2，若平分，过点D作的垂线交，及的延长线分别于点P，H，M．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证出，由相似三角形的判定可得出结论； （2）设，则，，得出，证出，则可得出答案； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，证出为等腰直角三角形．过点C作垂线交延长线于点N，则为等腰直角三角形，，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 连接，    又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点C作垂线交延长线于点N， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【变式14-3】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 【答案】 【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案． 【详解】解：为锐角，，得 ， ． ． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键． 考点十五：互余两角三角函数的关系 例15．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解． 【详解】解：在中，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦． 【变式15-1】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，掌握“一个角的正弦值等于它的余角的余弦值”是解题的关键． 【变式15-2】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 【答案】0.618/ 【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：0.618． 【变式15-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 考点十六：三角函数综合 例16．（2024·安徽蚌埠·三模）如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F． (1)求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数待知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点D作于点G，作于点H，先证明四边形为矩形，再根据点D是斜边的中点，得到，，再证明即可求解； （2）过点F作于点M，由勾股定理求出，得到，再得到，利用三角函数即可求解； （3）延长至点N，使，连接和，设，根据勾股定理求出，点D是斜边的中点，得到，再证明，得到，，，再进一步得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点G，作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ， ∴，即， ∵点D是斜边的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点M，在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长至点N，使，连接和，设， 由已知可得，， 在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【变式16-1】（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据，D是的中点，得到，继而得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明； （2）①连接，根据，H是的中点，得到中位线，结合，利用三角函数证明即可． ②根据，，结合三角形中位线定理，利用三角函数，平行线分线段成比例定理，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键． 【详解】（1）∵，D是的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴． （2）①连接， ∵，H是的中点， ∴中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴, 设， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴． 【变式16-2】（2023·安徽·模拟预测）某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示） (3)如图3，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形、勾股定理、三角函数，最后一问由已知条件联想截长补短的辅助线，可发现图中隐藏的“手拉手”全等，从而解决问题． （1）由垂直定理得，再根据勾股定理，，即可解答． （2）过点作于点，过点作于点．根据即可解答． （3）在上取点，使，连接，，为，的交点，先证明 ，再证明即可． 【详解】（1）， ． 由勾股定理，得，， ． （2）过点作于点，过点作于点． ， ． （3）如图，在上取点，使，连接，，为，的交点。 ， ， ， 与均为等边三角形， ，，， ， ， ， ，， 又， ， 由（2）知． 【变式16-3】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，等腰的底边，高，M是的中点，连接．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以为边作正方形，使G，H和点A在的同侧，设点E运动的时间为t秒．    (1)当时，用含t的代数式表示的长； (2)设正方形面积为，正方形与重叠面积为，当时，求t的值； (3)在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒个单位的速度沿折线段，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形内（含边界）的时长． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，，，结合F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，此时正方形的边长就是点E早运动1秒的路程；当点F运动到点D时，F停止，的边长等于点E运动路程加上1，结合路程等于时间乘以速度计算即可． （2）当时，，，根据，可确定，，求得，结合，，列式计算即可； 当时，，，根据，可确定，求得，结合，，列式计算即可． （3）作于，利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用余弦的定义得到，结合点P的折线运动速度，推出相向而行时每次在正方形内的时间是同向而行时在内部时间是，因，故从到的时间是，因此内，点两次在正方形内部（包括边上），当点从点运动到点共4秒，此时符合条件，进而得出结果． 【详解】（1）∵等腰的底边，高，动点的速度都是每秒1个单位， ∴， ∴点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒， ∴F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒， 故当时，； 当时，． （2）如图，当时，设与的交点为N，与的交点为K， 则，，    ∵等腰的底边，高， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得； 如图，当时，设与的交点为Q， 则，，    ∵等腰的底边，高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当或，使得成立． （3）①如图，作于，    作于， 在等腰三角形中，底边，为高， ∴， ， ， ， ∵点P的折线运动速度为， 点的水平运动速度是每秒4个单位； 当点与正方形相向而行时， 每次在正方形内的时间是， 当同向而行时， 每次在正方形内的时间是， ， 从到的时间是， 内，点两次在正方形内部， ， 当点到达时，点在上，从点到经过4秒，这4秒，点满足条件， 点在正方形的内部（包括边上）的时间是． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化条件． 【变式16-4】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，，理由见详解 (3) 【分析】（1）将，代入抛物线求解即可： （2）连接BC，BC与对称轴的交点即点P，此时的周长最小； （3）过点E作轴，进而得到，由三角函数即可求解； 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）由解得：， ∴，， 设BC的解析式为：， 将，代入得， 解得：， ∴， 抛物线的对称轴为：， 当点P在BC上时，的周长最小， ∴将代入中， ， ∴． （3）设点， 由，可求得CD的解析式为：， 过点E作轴， ∴， 将代入得，， 将代入得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，最大， ∵， ∴， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、三角函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 易错攻克 锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值. 【答案】. 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得△ABC为等腰三角形，据此可知BD=CD，根据勾股定理求出AD的长度，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义得sinB= . 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC， ∴BD=DC=2. 在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得, ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质 易错攻克 锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形. 1．（2024·安徽合肥·二模）已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，可证，利用三角函数，比例式计算即可． 本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的余弦函数，熟练掌握正方形的判定和性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点D作于点M，作于点N， ∵, ∴四边形是矩形， ∵平分, ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，由，可得，则，如图，连接，作的延长线于，则是等腰直角三角形，，，在与夹角为的直线上运动，则的最小值为，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作的延长线于，    由题意知，，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，作的延长线于， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴在与夹角为的直线上运动， ∴的最小值为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，正弦是解题的关键． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 4．（2024·安徽芜湖·一模）计算的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先代入特殊角的函数值、化简即可． 【详解】解：， 故选C． 5．（2024·安徽蚌埠·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的值的几何意义，正弦的定义；根据和求出点的坐标，再求出菱形面积，由即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， ， ∴设，则 ∴ 点在反比例函数图象上， ， 或舍去， ，， ， ． 故答案为：． 7．（2024·安徽芜湖·三模）如图，直线AB的解析式为，与双曲线相交于A，B两点，且点A的坐标为． （1） ． （2）如图，若轴，轴，直线与直线相交于点D，则 ． 【答案】 2 【分析】（1）将点坐标代入的解析式，即可求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可得出值； （2）连接点和点，联立直线与双曲线的解析式，得到点的坐标为，再由轴，轴，可得点坐标为，即可求得直线的解析式为，联立直线与直线的解析式，求出点的坐标，易得点为的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得，然后求出，的值，利用勾股定理可求得，，的值，再利用勾股定理逆定理，证得是直角三角形，即可证得，得到，再根据求出的值，即可计算的值． 【详解】解：（1），两点为直线，与双曲线的交点， 将代入，得， ， ， 故答案为：2； （2）如图，连接点和点， 由（1）得双曲线的解析式为， 联立直线与双曲线的解析式得，解得，， 点的坐标为， 若轴，轴， 点坐标为， 直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式得，解得， 点的坐标为， ，， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，直角三角形斜边中线定理，勾股定理及其逆定理的应用，求角的正切值，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，联立函数解析式求函数图象的交点，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用直角三角形两直角边的比求锐角的正切值． 8．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）计算： 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数运算、特殊角的三角函数值等知识点，根据相关知识化简各数是解题关键． 先利用绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 9．（2024·安徽六安·二模）计算： 【答案】5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： 原式 ． 10．（2024·安徽淮南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简是解题的关键． 根据零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 11．（2024·安徽淮北·三模）如图，在正方形中，点E是的中点，连结，，过点C作的垂线交，于点G，F． (1)求证：F是的中点； (2)求的值； (3)求与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6∶1 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及锐角三角函数，熟练掌握正方形的性质及锐角三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证，进而问题可求证； （2）设正方形的边长为，由题意易得，，然后问题可求解； （3）根据（2）的结论分别求出与的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 于点G，交于点F， ， ， 在和中， ， ， 点E是的中点， ， 是AD的中点． （2）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ，， ∴，， ， ， 的值为． （3）解： 由（2）得，，，， ， ， ， ， ， 与的面积比为6∶1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$