第04讲 绝对值与相反数（5大考点10题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第04讲 绝对值与相反数 课程标准 学习目标 1 理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2 理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3 能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题. 1. 透彻理解绝对值与相反数的定义和性质； 2. 熟练掌握求绝对值与相反数的方法； 3. 能够灵活运用相关知识解决问题. 知识点一、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 知识点二、相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点三、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 知识点四、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点五、比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 题型01 求一个数的绝对值 1．的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：||． 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．的绝对值是（　　） A． B． C．﹣2025 D．2025 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：||． 故选：A． 【点评】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 3．|﹣3|＝　　． 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了绝对值，注意：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 4．2024的绝对值是 　 　． 【分析】根据绝对值性质，正数是绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数解答即可． 【解答】解：2024的绝对值是2024， 故答案为：2024． 【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值性质是关键． 题型02 利用绝对值的性质化简 1．已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果． 【解答】解：∵|m|＝﹣m， ∴m≤0， ∴m﹣1＜0，m﹣2＜0， ∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题考查了绝对值的性质和整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 【分析】先根据点a在数轴上位置确定a的取值范围，再根据绝对值的性质把原式化简即可． 【解答】解：∵由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1， ∴a﹣1＜0， ∴原式＝1﹣a+a＝1． 故选：A． 【点评】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，能够根据已知条件正确地判断出a的取值范围是解答此题的关键． 3．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝　　． 【分析】由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，再根据绝对值的意义化简即可． 【解答】解：由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c| ＝（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c） ＝a+b﹣b+c+a﹣c ＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，得出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0是解题的关键． 4．已知1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　　． 【分析】先根据已知条件，判断x﹣1和x﹣2的正负，然后利用绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴|x﹣1|+|x﹣2| ＝x﹣1+2﹣x ＝x﹣x+2﹣1 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型03 绝对值非负性的应用 1．已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n﹣6＝0， 解得m＝2，n＝6， 所以m+n＝2+6＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【分析】利用绝对值的性质得出a，b的值，再利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， ∴a+b的相反数是﹣3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了非负数的性质以及相反数，正确得出a，b的值是解题的关键． 3．若|m﹣2|+|n﹣7|＝0，则|m+n|＝（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n﹣7＝0， 解得m＝2，n＝7， 所以，|m+n|＝|2+7|＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 题型04 多重符号化简 1．化简﹣（﹣7）的结果是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 【分析】根据相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣（﹣7）＝7， 故选：A． 【点评】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．下列化简，正确的是（　　） A．﹣[﹣（﹣10）]＝﹣10 B．﹣（﹣3）＝﹣3 C．﹣（+5）＝5 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【分析】根据去括号的法则，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可得答案． 【解答】解；A、﹣[﹣（﹣10）]＝﹣[10]＝﹣10，故A正确； B、﹣（﹣3）＝3，故B错误； C、﹣（+5）＝﹣5，故C正确； D、﹣[﹣（+8）]＝﹣[﹣8]＝8，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 3．化简：﹣|+（﹣4.8）|＝　 　． 【分析】依据绝对值解答即可． 【解答】解：﹣|+（﹣4.8）|＝﹣|﹣4.8|＝﹣4.8， 故答案为：﹣4.8． 【点评】本题考查化简绝对值，掌握是解题的关键． 题型05 有理数比较大小 1．比较，﹣（﹣1），的大小关系，再按从小到大的顺序用“＜”号连起来为 　　． 【分析】根据相反数和绝对值的概念先化简各数，然后按从小到大的顺序用“＜”号连起来即可． 【解答】解：∵，﹣（﹣1）＝1，， ∴+（）|＜﹣（﹣1）． 故答案为：+（）|＜﹣（﹣1）． 【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据是相反数和绝对值的概念先化简各数． 2．比较大小：﹣（﹣1 ） 　　﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【分析】分别化简后，再根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【解答】解：﹣（）＝1.6，而﹣|﹣1.35|＝﹣1.35， 由于1.6＞﹣1.35， 所以﹣（﹣1 ）＞﹣|﹣1.35|． 故答案为：＞． 【点评】本题考查绝对值，相反数，理解绝对值、相反数的定义是正确解答的关键． 3．已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 【分析】先依据绝对值的性质求得a、b的值，然后再比较大小即可． 【解答】解：∵|a|，|b|， ∴a＝±，b＝±． 当a时，a＞b； 当a时，a＜b． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 4．（1）比较下列各式的大小： |﹣2|+|3|　　|﹣2+3|； ||+||　　||； |0|+|﹣5|　　|0﹣5|； （2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a，b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+5＝|x﹣5|时，求x的取值范围． 【分析】（1）通过计算可比较大小； （2）从特殊归纳出一般规律，|a|+|b|≥|a+b|； （3）当x和﹣5的符号相同时，|x|+5＝|x﹣5|，所以x≤0． 【解答】解：（1）①左边＝5，右边＝1，所以左边＞右边； ②左边，右边，所以左边＝右边； ③左边＝5，右边＝5，左边＝右边． （2）两数的绝对值的和大于或等于两数和的绝对值． 即当a，b为有理数时，|a|+|b|≥|a+b|． （3）当x和﹣5的符号相同时，|x|+5＝|x﹣5|，所以x≤0． 【点评】主要考查了绝对值的性质以及从特殊归纳一般方法的能力． 要熟悉绝对值的性质和有理数的加减运算法则． 题型06 相反数的概念 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数， 且互为相反数两个数相加得0， ﹣0.50． 故选：B． 【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个数相加得0． 2．﹣2024的相反数是（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可． 【解答】解：﹣2024的相反数是2024， 故选：A． 【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键． 3．若a与2互为相反数，则a+1＝　　． 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，2的相反数为﹣2，代入a+1计算即可． 【解答】解：由题意可得a＝﹣2， ∴a+1＝﹣2+1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查相反数的概念及性质．代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键． 4．如果a+5的相反数是﹣3，那么a＝　　． 【分析】利用相反数的定义即可求解． 【解答】解：由相反数的定义得：a+5﹣3＝0， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了求一个数的相反数，利用相反数的定义求解是解题的关键． 题型07 绝对值与相反数综合 1．若x的相反数是3，则x的绝对值是（　　） A．﹣3 B． C．3 D．±3 【分析】根据条件可直接得出答案． 【解答】解：x的相反数是3， 则x＝﹣3， |﹣3|＝3， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确判断的前提． 2．与|﹣3|互为相反数的是（　　） A． B．﹣3 C． D．3 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此即可求解． 【解答】解：|﹣3|＝3， 3的相反数是﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 3．﹣||的相反数是　　． 【分析】根据绝对值和相反数的定义解答． 【解答】解：﹣||， 所以，﹣||的相反数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 4．若|a﹣5|与﹣1互为相反数，那么a＝ 　． 【分析】根据相反数的定义可得|a﹣5|＝1，解得a的值即可． 【解答】解：∵|a﹣5|与﹣1互为相反数， ∴|a﹣5|＝1， ∴a﹣5＝1或a﹣5＝﹣1， 解得：a＝6或4， 故答案为：6或4． 【点评】本题考查相反数，结合已知条件得到|a﹣5|＝1是解题的关键． 题型08 利用绝对值相反数性质求字母的值 1．一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．|﹣x| D．±3 【分析】依据绝对值、相反数的定义求解即可． 【解答】解：由题意得：|﹣x|＝3，即|x|＝3，则x＝±3． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是绝对值、相反数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　　． 【分析】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果． 【解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5； 因为最小的正整数是1，且 b 比最小的正整数大 4，所以 b＝5； 因为相反数等于它本身的数是0，所以 c＝0， 所以 3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键． 3．已知|2a﹣3|与|5﹣b|互为相反数，求2a﹣b的值， 【分析】直接利用绝对值的性质、互为相反数的定义得出2a﹣3＝0，5﹣b＝0，进而求出答案． 【解答】解：∵|2a﹣3|与|5﹣b|互为相反数， 又∵|2a﹣3|≥0，|5﹣b|≥0， ∴2a﹣3＝0， 解得a＝1.5， 5﹣b＝0， 解得b＝5， 2a﹣b＝2×1.5﹣5＝﹣2， 答：2a﹣b的值是﹣2． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质和互为相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 题型09 解含有绝对值的方程 1．若|2024x+2024|＝30×2024，则x的值等于（　　） A．30或﹣31 B．﹣30或31 C．﹣29或31 D．29或﹣31 【分析】先把原式变形为|x+1|＝30，再根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵|2024x+2024|＝30×2024， ∴|2024（x+1）|＝30×2024， ∴2024|x+1|＝30×2024， ∴|x+1|＝30， ∴x+1＝30或x+1＝﹣30， ∴x＝29或x＝﹣31， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．已知x满足|x﹣4|＝4﹣x，则x不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．5 D．4 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数得出x﹣4≤0，得出x的取值范围，再判断即可． 【解答】解：∵|x﹣4|＝4﹣x， ∴x﹣4≤0， ∴x≤4， 即x不可能是5， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 3．已知|x﹣3|＝0，那么x＝　　． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵|x﹣3|＝0， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 题型10 含有绝对值的最值问题 1．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　　． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 2．式子|x﹣2|+1的最小值是 　　． 【分析】由绝对值的非负性可得|x﹣2|≥0，从而得到|x﹣2|+1≥1，由此即可得到答案． 【解答】解：∵|x﹣2|≥0， ∴|x﹣2|+1≥1， ∴式子|x﹣2|+1的最小值是1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 3．若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　　． 【分析】根据非负数的性质可得：﹣|x﹣2|≤0，那么5﹣|x﹣2|≤5即可求解． 【解答】解：∵﹣|x﹣2|≤0， ∴5﹣|x﹣2|≤5， ∴5﹣|x﹣2|有最大值5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．当x＝　　时，﹣9﹣|x﹣1|有最大值是 　　． 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：∵|x﹣1|＝0时最小， ∴此时x＝1，则﹣9﹣|x﹣1|有最大值是﹣9． 故答案为：1，﹣9． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x的值是解题关键． 1．一个数的相反数是﹣2，则这个数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【分析】根据相反数的意义，一个数的相反数是﹣2，则这个数就是在﹣2的前面加负号则可求出． 【解答】解：∵一个数的相反数是﹣2， ∴这个数是﹣（﹣2）＝2． 故选：C． 【点评】本题考查相反数的知识，比较简单，注意掌握互为相反数的两数之和为0． 2．下列各数中，表示3的相反数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．|+3| C．|﹣3| D．+（﹣3） 【分析】根据相反数、绝对值的意义化简各数，然后判断即可． 【解答】解：A、﹣（﹣3）＝3，故此选项不符合题意； B、|+3|＝3，故此选项不符合题意； C、|﹣3|＝3，故此选项不符合题意； D、+（﹣3）＝﹣3，﹣3是3的相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值、相反数，熟知这两个定义是解题的关键． 3．的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 【分析】根据绝对值，相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：∵||，而的相反数是， ∴||的相反数是， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值，相反数，理解绝对值，相反数的定义是正确解答的关键． 4．给出下列判断： ①若|m|＞0，则m＞0； ②若m＞n，则|m|＞|n|； ③若|m|＞|n|，则m＞n； ④任意数m，则|m|是正数； ⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大， 其中正确的结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】分别利用绝对值的定义以及有理数的定义以及数轴的性质分析得出即可． 【解答】解：①若|m|＞0，则m＜0或m＞0，题干的说法是错误的； ②1＞﹣2，|1|＜|﹣2|，题干的说法是错误的； ③|﹣2|＞|1|，﹣2＜1，题干的说法是错误的； ④任意数m，则|m|是正数或0，题干的说法是错误的； ⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大是正确的． 故选：B． 【点评】此题主要考查了绝对值的定义以及有理数的定义等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． 5．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A．2＜﹣a＜b B．a＜2＜b C．﹣a＜2＜b D．﹣b＜a＜﹣2 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出其符号，进而可得出结论． 【解答】解：由图可知a＜﹣2，b＞2，|a|＜|b|， ∴2＜﹣a＜b，a＜2＜b，﹣b＜a＜﹣2， 故A、B、D正确；C错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 6．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0， ∴|﹣3﹣a|﹣|b+1| ＝（3+a）﹣（b+1） ＝3+a﹣b﹣1 ＝2+a﹣b． 故选：B． 【点评】本题属于绝对值的化简，主要考查绝对值的性质，熟练掌握公式|a|是解答的关键． 7．化简　　． 【分析】根据相反数的定义即可得到答案． 【解答】解：； 故答案为：． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 8．|﹣6|的相反数是　﹣6　． 【分析】根据相反数的概念即可解答． 【解答】解：|﹣6|＝6的相反数是﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 9．绝对值小于4且不小于1的负整数有　﹣1，﹣2，﹣3　． 【分析】绝对值小于4且不小于1的整数有±1，±2，±3，再由题意选择适合条件的负整数． 【解答】解：绝对值小于4且不小于1的负整数有﹣1，﹣2，﹣3． 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3． 【点评】此题考查有理数大小比较、绝对值的定义，比较简单． 10．|2a﹣1|﹣5＝0，则a＝　3或﹣2　． 【分析】根据题意可得|2a﹣1|＝5，利用绝对值的性质得到两个关于a的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：∵|2a﹣1|﹣5＝0， ∴|2a﹣1|＝5， ∴2a﹣1＝±5，解得a＝3或a＝﹣2， 故答案为：3或﹣2． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 11．（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 　﹣1　； （2）数轴上点A表示﹣3，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 　5或1　． 【分析】（1）利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法求得A对应的数字，再利用相反数的意义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝6， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为﹣3，点B表示的数字为3， ∴点C表示的数字为﹣1． 故答案为：﹣1； （2）∵数轴上点A表示﹣3，点B到点A的距离是2， ∴点B表示的数字为﹣5或﹣1， ∵B，C两点表示的数互为相反数， ∴点C表示的数应该是5或1． 故答案为：5或1． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，相反数，熟练掌握数轴上的点与实数的关系和相反数的意义是解题的关键． 12．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|＝1，则p﹣n＝　±1　． 【分析】由于|m﹣n|+|p﹣m|＝1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：①|m﹣n|＝1，p﹣m＝0；②m﹣n＝0，|p﹣m|＝1；这两种情况都可以得出p﹣n＝±1；从而求解． 【解答】解：因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|＝1，则有： ①|m﹣n|＝1，p﹣m＝0；解得p﹣n＝±1； ②|p﹣m|＝1，m﹣n＝0；解得p﹣n＝±1． 综合上述两种情况可得：p﹣n＝±1． 故答案为：±1． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键． 13．如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PR＝1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点是　M或R　（M、N、P、R中选）． 【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵MN＝NP＝PR＝1， ∴a、b之间的距离小于3， ∵|a|+|b|＝3， ∴原点不在a、b之间， ∴原点是M或R． 故答案为：M或R． 【点评】本题考查了数轴，准确识图，判断出a、b之间的距离小于3是解题的关键． 14．小花在做题时，画了一条数轴，数轴上原有一点A，其表示的数是﹣2，由于粗心．把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在﹣2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点怎样移动？ 【分析】先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【解答】解：向右移动4个单位长度，正确画数轴为： 【点评】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点． 15．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上标出表示数a的相反数的点的位置； （2）若表示数a的点与表示其相反数的点相距20个单位长度，则a是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，求b是多少． 【分析】（1）根据相反数的意义，可以表示a的相反数即可； （2）根据题意可得，a到原点的距离为10，a为负数，可得a＝﹣10； （3）得出﹣a＝10，再分两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）如图： （2）由题意得，a＜0，|a|＝10， 所以a＝﹣10． （3）由（2）知﹣a＝10． 若表示数b的点在表示数﹣a的点的右边，则b＝10+5＝15； 若表示数b的点在表示数﹣a的点的左边，则b＝10﹣5＝5． 综上所述，b是5或15． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定有理数的必要条件是解决问题的关键． 16．用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以＞a＞的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）|a|+1有最 　小　值 　1　； （2）5﹣|a|有最 　大　值 　5　； （3）当a的值为 　1　时，|a﹣1|+2有最 　小　值 　2　； （4）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，求ab的值． 【分析】（1）根据非负数的性质|a|≥0，可以求出有最小值； （2）根据﹣|a|≤0，可以求出有最小值； （3）把（a﹣1）看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【解答】解：（1）∵|a|≥0， ∴|a|+1≥1， ∴|a|+1有最小值1， 故答案为：小，1； （2）∵﹣|a|≤0， ∴5﹣|a|≤5， ∴5﹣|a|有最大值5， 故答案为：大，5； （3）∵|a﹣1|+2≥2， ∴当a＝1时，有最小值2， 故答案为：1，小，2； （4）根据题意，a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得a＝1，b＝3， 所以，ab＝1×3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 17．操作与探索： （1）如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； （2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：； （3）如图2，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 【分析】（1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的数值． （2）根据数轴的知识，准确的画出数值在数轴上的位置． （3）从数轴上找到这些点． 【解答】解：（1）A、B、C、D表示的数分别是﹣3，﹣1.5，0，2； （2） ； （3）①由数轴得，大于﹣3并且小于3的整数有5个：﹣2，﹣1，0，1，2； ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是﹣1﹣1＝﹣2；﹣1+1＝0． 【点评】本题主要考查了对数轴知识的掌握，关键是能读懂数轴，能从数轴上找出各数． 18．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5， （1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； （2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； 　﹣4　＜　﹣3　＜　﹣1.5　＜　0　＜　2.5　＜　3　 （3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案 【解答】解：（1）如图；， （2）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得 ﹣4＜﹣31.5＜0＜2.5＜3， 故答案为：﹣4，﹣3，﹣1.5，0，2.5，3， （3）对． ﹣4与﹣3之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5． 或者﹣4与﹣1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5． 【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 绝对值与相反数 课程标准 学习目标 1 理解绝对值的概念与性质，能求一个数的绝对值； 2 理解相反数的概念，能求一个数的相反数； 3 能利用绝对值与相反数的知识解决简单问题. 1. 透彻理解绝对值与相反数的定义和性质； 2. 熟练掌握求绝对值与相反数的方法； 3. 能够灵活运用相关知识解决问题. 知识点一、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 知识点二、相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 知识点三、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 知识点四、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点五、比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 题型01 求一个数的绝对值 1．的值为（　　） A． B． C． D． 2．的绝对值是（　　） A． B． C．﹣2025 D．2025 3．|﹣3|＝　　． 4．2024的绝对值是 　 　． 题型02 利用绝对值的性质化简 1．已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 3．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝　　． 4．已知1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　　． 题型03 绝对值非负性的应用 1．已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 2．若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 3．若|m﹣2|+|n﹣7|＝0，则|m+n|＝（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 题型04 多重符号化简 1．化简﹣（﹣7）的结果是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 2．下列化简，正确的是（　　） A．﹣[﹣（﹣10）]＝﹣10 B．﹣（﹣3）＝﹣3 C．﹣（+5）＝5 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 3．化简：﹣|+（﹣4.8）|＝　 　． 题型05 有理数比较大小 1．比较，﹣（﹣1），的大小关系，再按从小到大的顺序用“＜”号连起来为 　　． 2．比较大小：﹣（﹣1 ） 　　﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”） 3．已知|a|，|b|，求a，b的值，并比较它们的大小． 4．（1）比较下列各式的大小： |﹣2|+|3|　　|﹣2+3|； ||+||　　||； |0|+|﹣5|　　|0﹣5|； （2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a，b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+5＝|x﹣5|时，求x的取值范围． 题型06 相反数的概念 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 2．﹣2024的相反数是（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 3．若a与2互为相反数，则a+1＝　　． 4．如果a+5的相反数是﹣3，那么a＝　　． 题型07 绝对值与相反数综合 1．若x的相反数是3，则x的绝对值是（　　） A．﹣3 B． C．3 D．±3 2．与|﹣3|互为相反数的是（　　） A． B．﹣3 C． D．3 3．﹣||的相反数是　　． 4．若|a﹣5|与﹣1互为相反数，那么a＝ 　． 题型08 利用绝对值相反数性质求字母的值 1．一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．|﹣x| D．±3 2．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是　　． 3．已知|2a﹣3|与|5﹣b|互为相反数，求2a﹣b的值， 题型09 解含有绝对值的方程 1．若|2024x+2024|＝30×2024，则x的值等于（　　） A．30或﹣31 B．﹣30或31 C．﹣29或31 D．29或﹣31 2．已知x满足|x﹣4|＝4﹣x，则x不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．5 D．4 3．已知|x﹣3|＝0，那么x＝　　． 题型10 含有绝对值的最值问题 1．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　　． 2．式子|x﹣2|+1的最小值是 　　． 3．若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　　． 4．当x＝　　时，﹣9﹣|x﹣1|有最大值是 　　． 1．一个数的相反数是﹣2，则这个数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 2．下列各数中，表示3的相反数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．|+3| C．|﹣3| D．+（﹣3） 3．的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 4．给出下列判断： ①若|m|＞0，则m＞0； ②若m＞n，则|m|＞|n|； ③若|m|＞|n|，则m＞n； ④任意数m，则|m|是正数； ⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大， 其中正确的结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A．2＜﹣a＜b B．a＜2＜b C．﹣a＜2＜b D．﹣b＜a＜﹣2 6．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 7．化简　 　． 8．|﹣6|的相反数是　 　． 9．绝对值小于4且不小于1的负整数有　 　． 10．|2a﹣1|﹣5＝0，则a＝　 　． 11．（1）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 　 　； （2）数轴上点A表示﹣3，B，C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 　 　． 12．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|＝1，则p﹣n＝　 　． 13．如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PR＝1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点是　 　（M、N、P、R中选）． 14．小花在做题时，画了一条数轴，数轴上原有一点A，其表示的数是﹣2，由于粗心．把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在﹣2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点怎样移动？ 15．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上标出表示数a的相反数的点的位置； （2）若表示数a的点与表示其相反数的点相距20个单位长度，则a是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，求b是多少． 16．用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以＞a＞的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）|a|+1有最 　 　值 　 　； （2）5﹣|a|有最 　 　值 　 　； （3）当a的值为 　 　时，|a﹣1|+2有最 　 　值 　 　； （4）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，求ab的值． 17．操作与探索： （1）如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数； （2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：； （3）如图2，观察数轴，回答下列问题： 1 大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1个单位长度的点表示的数是什么？ 18．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5， （1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； （2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； 　 　＜　 　＜　 　＜　 　＜　 　＜　 　 （3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$