精品解析：河南省周口市商水县第一初级中学2023-2024学年八年级下学期数学第三次月考试卷

2024年河南省周口市商水县第一初级中学八年级下学期 数学第三次月考试卷 一、单选题（共30分） 1. 将分式 中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 保持不变 D. 缩小为原来的 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有kg左右，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为（　　） A. 13或14 B. 26或28 C. 13 D. 无法确定 5. 疫情无情人有情 ，爱心捐款传真情 ，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间 ，某班学生积极参加献爱心活动 ，该班20名学生的捐款统计情况如表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 2 3 6 6 3 则他们捐款金额的中位数是（　　） A. 35 B. 20 C. 15 D. 10 6. 如图1，为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共15分） 11. 计算：_____． 12. 要使有意义，则的取值范围是______． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．若在轴上取点，则当取得最大值时，点的坐标为______． 14. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为． （1）______； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为______． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 三、解答题（共75分） 16. 先化简，再求值：，其中x从0，1，2，3四个数中取一个合适的值． 17. 如图，，相交于点 （1）看图，直接写出的解集是______； （2）若，求的值； （3）求直线，与轴所围成三角形的面积． 18. 如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交边于点E，交边于点F．连接． （1）依题意补全图形； （2）①直接写出图中除外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明． 19. 又到了一年一度的教师招聘期．某学校计划招聘两名数学教师，采取了“笔试+面试”的招聘方式，笔试与面试的成绩满分均为100分，根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分数折算成综合成绩（综合成绩满分仍为100分）．若参与应聘该校的六名应聘者的各项成绩如表所示： 类别 A B C D E F 笔试成绩（分） 94 86 90 88 85 80 面试成绩（分） 83 84 90 91 86 84 综合成绩（分） m 85.2 90 n 85.4 81.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出这六名应聘者“面试成绩”的众数和中位数； （2）按照综合成绩排名录取前两名应聘者，最终录取的是谁？并说明理由． 20. 科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： （1）求甲科研机构送检车的平均速度； （2）若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 21. 如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N． （1）尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． （1）求和的值； （2）连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 23. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省周口市商水县第一初级中学八年级下学期 数学第三次月考试卷 一、单选题（共30分） 1. 将分式 中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 保持不变 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：， ∴该分式的值扩大为原来的3倍， 故选：A． 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有kg左右，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】∵， 故选C． 3. 已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数和的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可． 【详解】解：直线与直线的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解， 关于、的方程组 的解为 则直线 与直线、 为常数，且的交点坐标是 故选：C． 4. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为（　　） A. 13或14 B. 26或28 C. 13 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是先根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，分两种情况讨论：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设的平分线交于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，时，如图1， 则，， ∴； 当，时，如图2， 则，， ∴， ∴平行四边形的周长为26或28， 故选：B． 5. 疫情无情人有情 ，爱心捐款传真情 ，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间 ，某班学生积极参加献爱心活动 ，该班20名学生的捐款统计情况如表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 2 3 6 6 3 则他们捐款金额的中位数是（　　） A. 35 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】中位数是把20个数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数． 【详解】解：把20名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数即为第10个和第11个数分别是20，20，所以中位数是20． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中位数的知识，将一组数据从小到大排列，若为奇数个数据，中间数是中位数，偶数个数据，则取中间两个数的平均数是中位数，牢固掌握中位数定义是解题关键． 6. 如图1，为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、动点问题的函数图象、勾股定理，由矩形的性质结合函数图象可得，从而可得，由三角形面积公式求出，再计算出，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解： 在矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ， 为矩形中边的中点， ， ， ∴． 当点在上运动时，的值逐渐减小， ． 在中，， ， 解得． 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解． 【详解】解：设与交于点，过点作于， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D 8. 已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴(a,b)坐标为(-4,-3)，即在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键． 9. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键． 令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案． 【详解】解：令，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将矩形绕点O顺时针旋转度得到矩形，线段与线段交于点P，线段与直线交于点Q．下列说法：①当点落在y轴上时， 坐标为；②当点落在上时，；③的面积最大值为；④当时，．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图1所示，当在上时，连接，由勾股定理得，由旋转的性质可得，即可判断①正确；如图2所示，当点落在上时，此时重合，由旋转的性质可得， ，证明，得到，即，可判断②错误；如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1，则此时有最大值，最大值为；如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E，在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），可推出的最大值小于，据此可判断③正确；作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，据此建立方程，解方程求出，则，可判断④错误． 【详解】解：∵四边形是矩形，点，点， ∴， 如图1所示，当在上时，连接， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴，故①正确； 如图2所示，当点落在上时，此时重合， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故②错误； 如图3所示，当在上方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再增大（直线逐渐远离点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1， ∴此时有最大值，最大值为； 如图4所示，当在下方时，过点B作垂直于直线于E， 在旋转过程中，一直再减小（直线逐渐靠近点B），则当点落在上时，有最大值，最大值为1 ∴此时有最大值，最大值为， 而线段与线段有交点，则当点落在上时，此时有最大值，即此时此时的最大值小于； 综上所述，最大值为，故③正确； 过点Q作于点H，连接，如图5所示，则． ∵，， ∴． 设，则， ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，正确根据题意画出对应的图形并作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（共15分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算整数指数幂的运算，然后进行有理数的加法运算，由此得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂有意义的条件，熟练掌握零次幂有意义的条件是解题的关键． 根据零次幂成立的条件可直接进行求解． 【详解】解：由有意义，可得：， ∴． 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．若在轴上取点，则当取得最大值时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入反比例函数解析式可求b的值.作点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出直线与x轴的交点坐标即可. 【详解】解：∵点A(a，4)， ∴AC=4， ∵S△AOC=4，即OC•AC＝4， ∴OC=2， ∵点A(a，4)在第二象限， ∴a=-2，A(-2，4)， 将A(-2，4)代入y=得：k=-8， ∴反比例函数的关系式为：y=， 把B(8，b)代入得：b=-1， ∴B(8，-1) 因此a=-2，b=-1； 如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P， 此时PA-PB最大(PA-PB=PA-PB′≤AB′，共线时差最大). ∵B(8，-1) ∴B′(8，1) 设直线AP的关系式为y=kx+b，将 A(-2，4)，B′(8，1)代入得： ， 解得：k=，b=， ∴直线AP的关系式为， 当y=0时，即=0， 解得x=， ∴P(，0). 故答案为：(，0). 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，此时PA-PB最大是解决此题的关键. 14. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为． （1）______； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为______． 【答案】 ①. 7 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识．认真审题，观察图象关系，利用数形结合思想确定解题思路，进而推理、计算． （1）先将代入求出点C的坐标，然后把代入即可求解； （2）设，则，可求，再根据可得出关于a的方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）将代入，得， ∴． 将代入，得：， 解得； （2）由（1）知， ∴， 当时，， ∴， ∴． 由可设． ∵轴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：7；或． 15. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴的周长最小值是， 故答案为：18． 三、解答题（共75分） 16. 先化简，再求值：，其中x从0，1，2，3四个数中取一个合适的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 , 由分式有意义的条件可知：， 且且， 不能取1，，3， 当时， 原式． 17. 如图，，相交于点 （1）看图，直接写出的解集是______； （2）若，求的值； （3）求直线，与轴所围成三角形的面积． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形即可求解； （2）根据待定系数法即可得出答案； （3）分别求出、与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图象知：当时，， ∴的解集是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在的图象上， ∴， ∴与的交点为， ∴， 又， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知：， 当时，，解得， ∴与x轴的交点为， 对于， 当时，，解得， ∴与x轴的交点为， ∴直线，与轴所围成三角形的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数解析式的方法，以及坐标轴上点的坐标特征是解本题的关键． 18. 如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交边于点E，交边于点F．连接． （1）依题意补全图形； （2）①直接写出图中除外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明． 【答案】（1） 补全图形如下图： （2）①图中平行四边形有：，，； ②选择①中的加以证明： ∵四边形是平行四边形，O是BD的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）①根据条件分别写出图中平行四边形；②根据平行四边形的性质，判定，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①图中平行四边形有：，，， ② 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 19. 又到了一年一度的教师招聘期．某学校计划招聘两名数学教师，采取了“笔试+面试”的招聘方式，笔试与面试的成绩满分均为100分，根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分数折算成综合成绩（综合成绩满分仍为100分）．若参与应聘该校的六名应聘者的各项成绩如表所示： 类别 A B C D E F 笔试成绩（分） 94 86 90 88 85 80 面试成绩（分） 83 84 90 91 86 84 综合成绩（分） m 85.2 90 n 85.4 81.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出这六名应聘者“面试成绩”的众数和中位数； （2）按照综合成绩排名录取前两名应聘者，最终录取的是谁？并说明理由． 【答案】（1）分，分 （2）A和C，理由： 设笔试成绩占x，面试成绩占， ， 解得， ∴， ∴笔试成绩占，面试成绩占． ∴，， ∴最终录取的是A和C． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出面试成绩中出现的次数最多的数即是众数； （2）设出笔试成绩和面试成绩的比，利用加权平均数的计算方法，列方程求出这个比，进而得出百分比，根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出六名应聘者的综合成绩，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，六名应聘者的面试成绩为分的出现次数最多，故众数为分， 将六名应聘者的面试成绩排好顺序为：，中位数为（分）； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查众数和中位数，一元一次方程的应用，正确计算是解题的关键． 20. 科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： （1）求甲科研机构送检车的平均速度； （2）若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 【答案】（1）甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时 （2）采集的样本会失效 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用， （1）设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时，根据题意列分式方程求解即可； （2）由（1）可得乙科研机构送检车的平均速度，进而求得乙科研机构送检车行驶的时间，再将科研机构总用时与4小时比较，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得， 经检验，是原方程的根， 答：甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时． 【小问2详解】 解：由（1）可知，乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 则乙科研机构送检车行驶的时间为小时， ， 它采集的样本会失效． 21. 如图，平分，E，F分别是射线，上的点，连接交于点N． （1）尺规作图：作平分，并交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的情况下，若，，连接．试判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1） 解：如图，点P即为所求， （2） 解：四边形是菱形．证明： 如图， ∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）先根据角平分线的定义求出，从而得出，结合三角形外角的性质可求，由等角对等边可得，证明是等边三角形，可得，从可证四边形是平行四边形，最后根据菱形的定义即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用所学知识进行解答是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． （1）求和的值； （2）连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 【答案】（1），； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，， 根据题意，得， 解得， ∴， 设， ∴， 解得(舍去)， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可； （2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形． 本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【小问1详解】 把点代入解析式， 得， ∵，，，且四边形是平行四边形， 设，根据题意，得， 解得， ∴， 代入解析式，得． 【小问2详解】 略 23. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2） ①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形， 四边形是“神奇四边形”； （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“神奇四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 略 【小问3详解】 如图，延长交于S， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $