1.2.1第2课时 充要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 1.2.1 充要条件 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 掌握充要条件的概念 01 理解数学定义与充要条件的关系 02 会判断条件与结论之间的充要性 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 根据前面一节课的学习，谈谈对必要条件、充分条件的理解． 回顾旧识 一个命题中，其中是条件，是结论 如果（条件结论），称是的充分条件． 如果（结论条件），称是的必要条件． 思考：当既有、又有，是的什么条件呢？ 探索新知 02 知识点1 充要条件 根据下面两个定理，条件p“三角形是直角三角形”是结论q“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？ 勾股定理 如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和， 那么这条边所对的角是直角 分析 在勾股定理中（条件结论），“三角形是直角三角形”是“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件； 在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件 探索新知 02 知识点1 充要条件 根据下面两个定理，条件q“两边的平方和等于第三边的平方”是结论p“三角形是直角三角形”的什么条件？ 勾股定理 如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和， 那么这条边所对的角是直角 分析 在勾股定理中（结论条件），“两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形是直角三角形”的必要条件； 在勾股定理的逆定理中，“两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形是直角三角形”的充分条件 探索新知 02 1.充要条件的概念：一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作. 知识剖析 (1)我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也常常说成“①p成立当且仅当q成立”，或“②p与q等价”，也可以说③成p成立必须且只需q成立等. (2)当p是q充要条件时，q也是p的充要条件. 知识点1 命题 探索新知 02 数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关，那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗？试以某一定义为例说明！ 思考 充要条件与数学中的定义有关． 例如，三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义， 这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形； 反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等． 探索新知 02 结合实例，说明为什么有些数学对象有多种定义． 思考 如平行四边形，可定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“两组对边分别相等的四边形”，还可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”及“对角线互相平分的四边形”等． 这同时还告诉我们，在理解数学概念时，可以用自己较为熟悉的充要条件去替换定义，从而加深自己对数学对象的理解和认识． 因为有些数学对象充要条件不唯一，所以可以有多种定义． 探索新知 02 根据推出或者不能推出，我们可以有哪些可能的条件． 探究 2.从逻辑关系上看充分条件与必要条件： （1）如果，且不能推出，则称是的充分不必要条件； （2）如果不能推出，且，则称是的必要不充分条件； （3）如果，且，则称是的充要条件； （4）如果不能推出，且不能推出，则称是的既不充分也不必要条件． 知识剖析：根据充分条件和必要条件的概念可知，充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断. ①若是一真一假，则结论就是充分不必要条件或必要不充分条件； ②若是两真，则结论就是充要条件； ③若是两假，则结论就是既不充分也不必要条件. 探索新知 02 3.“”“”的传递性 若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即qp，sq，则有sp，即p是s的必要条件； 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件. 若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充分条件； 探索新知 02 设A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}.若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.我们有下表中的关系. 知识点2 从集合的角度理解充分条件与必要条件 记法 A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q} 关系 图示 结论 A B A B A(B) A B A B p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 探索新知 02 例3 在下列各题中，试判断是的什么条件． （1）； （2）； （3）:四边形的对角线相等，:四边形是平行四边形． 根据推出关系判断即可 （1）因为命题“若，则”为真命题，并且，“若，则” 也是真命题，所以是的充要条件． （2）因为“”“”，但是“”不能推出“”， 例如“”，而“”，所以是的充分条件，但不是必要条件． （3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以既不是的充分条件，也不是的必要条件． 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 充分条件与必要条件的判断 【例1】指出下列各题中，是的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) (1)：或，：方程有两个不同的实根. (2)已知，，：，：. (3)已知，R，：，：. 【解析】(1)方程有两个不同的实根⇔⇔， ∴是的既不充分也不必要条件. (2)⇔⇔，∴是的充要条件. (3)∵对应的集合为{(1，2)}，对应的集合为，或，， ∴是的充分不必要条件. 题型突破 03 解题通法 利用定义法判断充分条件与必要条件的步骤 (1)确定条件是什么，结论是什么. (2)判断“若，则”及“若，则”的真假. (3)得出结论. 利用集合法判断充分条件与必要条件的适用情况 当所要研究的所描述的对象可以用集合表示(如涉及方程的解、不等式的解集)，或者与几何有关时，可以借助集合间的包含关系或者利用Venn图或数轴解题 利用传递性法判断充分条件与必要条件的思路 对于多条件问题，常根据条件画出结构关系图，利用充分、必要、充要条件的传递性进行判断 注意：如果是的充分条件，是的必要条件，那么与的关系不能确定. 题型1 充分条件与必要条件的判断 题型突破 03 题型2 利用充分、必要、充要条件求参 【例2】已知条件：，条件：，当为何值时， (1)是的充分不必要条件? (2)是的必要不充分条件? (3)是的充要条件? 【解析】设集合，. (1)因为是的充分不必要条件，所以.而当时，，显然成立； 当时，，需. 综上可知，当时，是的充分不必要条件. (2)因为是的必要不充分条件，所以，故， 所以当时，是的必要不充分条件. (3)因为是的充要条件，所以，故. 题型突破 03 解题通法 根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围的步骤 (1)记集合M={x|p(x)}，N={x|q(x)}.确定条件是什么，结论是什么. (2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系： ①是的充分不必要条件⇔MN； ②是的必要不充分条件⇔N； ③是的充要条件⇔M=N. (3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组). (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围. 题型2 利用充分、必要、充要条件求参 题型突破 03 题型3 充要条件的证明 【例3】证明：一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是. 【解析】充分性：∵，∴，. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根分别为，，则， ∴一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根. 必要性：∵一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， ∴，，∴. 故一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是. 题型突破 03 解题通法 充要条件的证明思路 1.根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“成立的充要条件为”： (1)证充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出； (2)证必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出. 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求. 2.在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性. 题型3 充要条件的证明 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 C 当堂检测 04 C 当堂检测 04 6≤a≤9 当堂检测 04 当堂检测 04 AC 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 老师名字 谢谢观看 Learn to report 1.已知a、，则“”是“”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 解析：等价，，得“”， “”是“”的充要条件， 故选：C 2.设，，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件.故选C. 3.设非空集合，，则的充要条件为__________. 解析：非空，，.由于，又， 则，即.故.又，故， 的充要条件为. 4.（多选）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是( ) A.“”是“”的充要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：对于A，如果，则必定有，是充分条件，如果，则，得或， 不是必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，错误; 对于B，如果，必定有，是必要条件，正确; 4.（多选）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是( ) C.“”是“”的充分条件 D.“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 解析：对于C，如果，比如，， ，不能推出 ，不是充分条件，错误; 对于D，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数， 所以“是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果“a是无理数”则“也是无理数”，是必要条件， 所以“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，正确；故选AC. 5.已知集合，非空集合. （1）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 解析：（1）由“”是“”的必要条件知， ， 即所求实数m的取值范围是. 5.已知集合，非空集合. （2）是否存在实数m，使“”是“”的充要条件. 解析：（2）若“”是“”的充要条件，则， 方程组无解， 即不存在实数m，使“”是“”的充要条件. 6.已知关于x的一元二次方程：①，②，.求证：方程①和②都有整数解的充要条件是. 证明：方程①有实根的充要条件是且， 所以且. 方程②有实根的充要条件是， 解得. 所以方程①②都有实根的充要条件是且. 6.已知关于x的一元二次方程：①，②，.求证：方程①和②都有整数解的充要条件是. 证明：又，故或. 当时，方程①无整数解. 当时，方程①和②都有整数解. 从而方程①和②都有整数解， 反之，方程①和②都有整数解. 综上，方程①和②都有整数解的充要条件是. $$