精品解析：湖北省十堰市2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试卷

十堰市2023—2024学年度下学期期未调研考试 高一数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷､草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷､草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算，先求得，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求出被到的研发人员人数和销售人员人数，从而可求得结果. 【详解】由题意可得被抽到的研发人员有人，销售人员有人， 则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多. 故选：A 3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系的概念和定理逐项判断即可. 【详解】若，则或A错误； 若，则或异面，B错误； 若，则在内必存在直线和a平行，不妨设为l， 而，则，则，C正确； 若，则与的位置关系不确定，还可能异面，D错误. 故选：C. 4. 函数是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 【答案】A 【解析】 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 5. 在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件应用正弦定理求出,再在应用正弦定理求出即可. 【详解】设该船的初始位置为小时后的位置为，过作，垂足为，则为所求的最短距离. 由题意可知海里，则. 在中，由正弦定理可得，则海里. 在中，海里, ， 则海里. 故选：D. 6. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题设圆柱底圆半径为，则可利用几何关系表示出圆柱的高和球的半径，再求体积之比即可. 【详解】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则， 设球的半径为，则由已知条件可得， 设圆柱的体积为，球的体积， 由圆柱的体积公式可得， 由球的体积公式可得， 则. 故选：D. 7. 我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，则利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式求出的值，再求出的范围，从而可求出的值. 【详解】由题意可知，则， 故. 因为，且，所以，所以. 因为，且，所以， 所以，则. 因为，所以. 故选：C 8. 若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，由向量的线性运算及图形关系得，再由向量在基底下的坐标为得，，最后通过线性运算得即可求解. 【详解】由题意可得. 因为是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 因为向量在基底下的坐标为， 所以，. 因为， 所以在基底下的坐标是. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（ ） A. 该商场有20名销售员 B. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C. 该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元 D. 该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图，统计即可求解AC，根据平均数的计算即可求解B，根据百分位数的计算即可求解D. 【详解】由统计图可知该商场有名销售员，则A正确. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误. 该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确. 因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集是 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确. 因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 由，即，得， 则，解得， 即不等式的解集是，，故C正确. 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. 因为， 所以的图象不关于点中心对称，故D错误. 故选：AC. 11. 在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A. 若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B. 若为线段上的动点，则的最小值为 C. 若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D. 若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义即可判断A；将平面展开到平面，即可判断B；由二面角的定义可知为平面与平面的夹角，结合余弦定理代入计算，即可判断C；由三棱锥的体积公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A：由正方体的定义可知∥， 则是异面直线与所成的角或补角， 因为平面，且平面，则， 在中，因为，则， 所以，则A正确； 对于B：将平面展开到平面， 则，仅当共线时等号成立， 所以的最小值为，故错误； 对于C：过点作∥，交于点， 可知：∥∥， 则平面即为平面，平面即为平面， 则平面平面， 且平面，则平面， 且平面，则， 可知为平面与平面的夹角， 因为为线段上的动点，所以为线段上的动点， 在正方体，结合对称性可知： 当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值， 此时，则； 当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值； 综上所述：， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确； 对于D：设平面与平面的交线为， 因为∥平面，平面，则∥， 又因为∥，且，可知为平行四边形， 则∥，可得∥， 因为与平面交于点，即，平面， 且平面，可知平面， 又因为平面平面，则，可知， 且平面，可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，且，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据模长公式可得，即可求解. 【详解】设，且，则，所以，解得， 故. 故答案为：3 13. 如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，将表示为，代入中结合数量积的定义化简，从而可求出其范围. 【详解】. 因为，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则.因为，所以，用的三角函数表示，求三角函数值域即可． 【详解】如图， 延长到点，使得，连接． 易证，则，故. 设，则.因为的周长为4， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以，所以. 设，则.因为， 所以， 则， 因为，所以，所以， 所以，则的最大值是. 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数. 【答案】（1） （2）81.4 （3）660人 【解析】 【分析】（1）根据概率之和为即可求解； （2）找到中位数所在的组，列出方程即可求解； （3）根据题意列式求解. 【小问1详解】 由题意得，解得； 【小问2详解】 ，中位数在这一组， 设中位数的估计值为，则， 解得，即样本成绩的中位数约为81.4； 【小问3详解】 全年级“地理爱好者”约有人. 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可证线面平行，即可根据面面平行的判定即可求证， （2）根据面面垂直的性质可得是直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由三棱柱的定义可知. 因为分别是棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面平面，所以平面. 因为分别是棱的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面. 【小问2详解】 作的延长线于点，连接. 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 则是直线与平面所成的角. 设，则. 因为，所以，则 因为是等边三角形，所以，所以. 由余弦定理可得. 因为平面平面，所以，则， 故，即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）图象求出周期，可得，再由图象过点得出即可； （2）由正弦定理边角转换，根据三角函数求出的取值范围，代入面积公式即可得解. 【小问1详解】 由对称性知为函数的对称轴， 所以，则，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，解得. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）可得，则. 因为是锐角三角形，所以，所以，则. 故的面积. 由正弦定理可得，则. 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则，即. 故的面积. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. （1）证明：平面； （2）茬，求二面角的正切值； （3）是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）结合二面角定义找二面角再计算正切值即得； （3）应用线面平行的性质定理得出线线平行，再得出参数即可. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形是菱形，且，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，且，所以平面. 【小问2详解】 取棱的中点，连接，作，垂足为，连接. 因为分别是的中点，所以. 由（1）可知平面，则平面. 因为平面，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以，则是二面角的平面角. 因为，所以. 因为四边形是菱形，且，所以，且. 因为，所以. 因为是的中点，所以. 因为平面，且平面，所以， 则. 【小问3详解】 连接，交于点，连接，作，交于点. 因为平面，且平面平面，所以. 因为四边形是菱形，所以是的中点，所以是的中点，即. 因为，所以是的中点. 因为，所以，所以， 则，即. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【小问1详解】 如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. 【小问2详解】 如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. 【小问3详解】 如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市2023—2024学年度下学期期未调研考试 高一数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷､草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷､草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面.下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 4. 函数是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 5. 在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75°方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（ ） A. B. C. D. 7. 我国唐代僧人一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（ ） A. 该商场有20名销售员 B. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C. 该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元 D. 该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集是 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点中心对称 11. 在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A. 若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B. 若为线段上的动点，则的最小值为 C. 若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D. 若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，且，则__________. 13. 如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________. 14. 如图，在边长为2的正方形中，分别为边上的点（不包含端点）.若的周长为4，则的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学地理组教师团队研发了《听歌曲学地理》校本课程并对高一年级共1200名学生进行了授课，授课结束后对学生进行了知识测验，从所有答卷中随机抽取了100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计样本成绩的中位数（结果精确到小数点后1位）； （3）若测验成绩不低于80分的同学被定义为“地理爱好者”.试估计全年级“地理爱好者”的人数. 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形.平面平面分别棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在锐角中，角所对的边分别为，且，求面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. （1）证明：平面； （2）茬，求二面角的正切值； （3）是否存在实数，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在.请说明理由. 19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $