专题04 三角函数（2大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题04 三角函数 命题解读 考向 考查统计 高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。 三角函数的图像与性质 2022·新高考Ⅰ卷，6 2023·新高考Ⅰ卷，15 2024·新高考Ⅰ卷，7 2022·新高考Ⅱ卷，9 2023·新高考Ⅱ卷，16 2024·新高考Ⅱ卷，9 三角恒等变换 2023·新高考Ⅰ卷，8 2024·新高考Ⅰ卷，4 2022·新高考Ⅱ卷，6 2023·新高考Ⅱ卷，7 2024·新高考Ⅱ卷，13 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。 试题精讲 一、单选题 1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2024新高考Ⅰ卷·7）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 二、多选题 3．（2024新高考Ⅱ卷·9）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 一、单选题 1．（2022新高考Ⅰ卷·6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 二、多选题 5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 三、填空题 6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 一、三角函数基本概念 1、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 2、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 二、同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 三、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 四、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 五、二倍角公式 ①； ②； ③； 六、降次（幂）公式 知识点四：半角公式 七、辅助角公式 （其中）． 八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 九、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 【三角函数常用结论】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 3、两角和与差正切公式变形 ； ． 4、降幂公式与升幂公式 ； ． 5、其他常用变式 ． 6、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 7、关于三角函数对称的几个重要结论 （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 一、单选题 1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于的方程，解出即可. 【详解】展开得， 两边同时平方有， 即，解得， 故选：B. 2．（2024·山东济南·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选：C 4．（2024·浙江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差角公式展开，即可得到，再两边同除，最后结合两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 即， 即， 两边同除可得， 所以. 故选：C 5．（2024·河北保定·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出，再结合二倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以． 故选：B. 6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 7．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得，变形得， 所以. 故选：C 10．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】由图可知，由可知， 故，又由图， 故由图，①， 由图，②， 又，结合①②可得，故， 所以. 故. 故选：D. 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 所以， 故选：D 12．（2024·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可. 【详解】令，则， 所以由， 得， 即， 即，得， 所以， 故选：C. 13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个单调增区间 B．是的一个对称中心 C．在上值域为 D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 【答案】C 【分析】化简函数由函数，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数 ， 对于A中，当，可得，此时函数不是单调函数，所以A错误； 对于B中，由，所以函数的一个对称中心为，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以， 所以，即，所以C正确； 对于D中，将的图象向右平移个单位，得到， 再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为，所以D错误. 故选：C. 14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又函数在区间恰有3条对称轴， 所以，解得， 故选：D. 15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值． 【详解】， 令得，所以，， 因为在区间内没有零点， 所以，只需且，解得， 令得，得， 因为，所以的取值范围， 所以周期的最小值是， 故选：． 二、多选题 16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称 C．在上有两个零点 D． 【答案】BCD 【分析】由可知的图象关于对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断C；求出，结合周期可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误； 对于B，由上知，的图象关于对称， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确； 对于C，由得函数的零点为， 令，解得， 所以，即在上有两个零点，C正确； 对于D，因为， ，， 所以 因为的最小值周期， 所以，D正确. 故选：BCD 17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 【答案】ABC 【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解. 【详解】因为的最小正周期大于， 所以，即， 又关于点中心对称， 所以， 所以，因为，所以当时，， 所以， 对于，，故正确； 对于，， 由且是全体实数，所以是偶函数，故正确； 对于，，令得，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是函数的极大值点，故正确； 对于， 由，， 得， 函数的单调递增区间为，， 当时，， 当时，， 显然函数在上不单调，故不正确. 故选：. 18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围. 【详解】对于A，的最大值为，故A错误； 对于B，令，得， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，不等式可化为，则，解得， 因此原不等式的解集为，故C正确； 对于D，由，，解得. 因为在区间上单调递增，所以， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD 19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．函数在上单调递增 D．方程的解为， 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 而，即时，没有意义，故C错误； 对于D，，则， 方程，得， 即，即， 所以或，因为，， 所以或，解得或，故D正确. 故选：ABD. 20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．的图象可由的图象平移得到 B．在上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为直线 【答案】BD 【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到，由图象平移的性质可得A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入可得C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确； 【详解】， 因为最小正周期为，所以， 所以， A：由以上解析式可得的图象不可由的图象平移得到，故A错误； B：当时，， 由余弦函数的单调性可得在上单调递增，故B正确； C：，故C错误； D：当时，，此时为最小值， 所以图象的一条对称轴为直线，故D正确； 故选：BD. 21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．若，则 D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】AD 【分析】对于A，利用周期公式直接计算判断，对于B，将代入函数验证，对于C，由求出，再将代入函数计算，对于D，根据三角函数图象变换规律分析判断. 【详解】对于A，的最小正周期为正确. 对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，错误. 对于C，由，得， 所以，C错误. 对于D，将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象，D正确. 故选：AD 22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（    ） A．是偶函数； B．是周期为的周期函数； C．在上单调递增； D．的最小值为. 【答案】AD 【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用周期的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，根据周期性及单调性可判定D. 【详解】因为，所以是偶函数，故A正确； 易知，故B错误； 当时，， 因为，所以在上单调递减， 又单调递增，所以在上单调递减，故C错误； 易知，所以是周期为的周期函数， 当时，， 显然时，时， 则的最小值为，故D正确. 故选：AD 23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（    ） A．时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，， 当时，， 而在不单调，故A是错误的； 对于B，，由的最小值为， 则函数周期为，所以，解得，故B是错误的； 对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知， ，解得：，故C是正确的； 对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到： ，由它关于轴对称，可知：， 解得：，当时，，故D是正确的； 故选：CD. 三、填空题 24．（2024·全国·二模）已知，则 . 【答案】/0.28 【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可. 【详解】， 得， 解得或（舍） 所以. 故答案为：. 25．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可. 【详解】由， 且， 得， 整理得， 解得（舍）或， 所以． 故答案为：. 26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 27．（2024·黑龙江·三模）已知，则 . 【答案】/ 【分析】已知，由两角和的余弦公式求得，再由两角和的余弦公式求，倍角公式求. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故答案为：. 28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，则 ． 【答案】3 【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角的取值范围，得到，再利用倍角公式把转化为齐次式求解. 【详解】由，得， 即，又，所以， 从而． 故答案为：3 29．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性分析可知，即可得结果；结合对称性可知圆面在y轴右侧仅覆盖1个图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解. 【详解】因为是偶函数，则， 且，所以； 可得，设的最小正周期为， 因为和均关于y轴对称， 可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点， 对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）； 可得，解得， 且，则，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：；. 30．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称轴求出，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知是函数的一条对称轴， 故，解得，，因为，故， 故，令，解得， 原点附近的6个对称中心分别为， 若3个对称中心恰好是， 则，则t不存在，不合题意； 若3个对称中心恰好是， 则，则； 故当时，符合题意． 故t的取值范围为， 故答案为： 31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 32．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，然后由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的取值范围 【详解】令，，， 问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点， ，解得. 故答案为： 33．（2024·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . 【答案】 1 【分析】由得到，再结合，利用，得到，，从而，再由满足条件的与存在且唯一，得到唯一，从而，求得m即可. 【详解】解：由，得，即， 因为，，所以，， 又，所以， 从而， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 所以，所以，经检验符合题意， 所以， 则， 解得， 所以. 故答案为：，1 【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出，求出，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数 命题解读 考向 考查统计 高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。 三角函数的图像与性质 2022·新高考Ⅰ卷，6 2023·新高考Ⅰ卷，15 2024·新高考Ⅰ卷，7 2022·新高考Ⅱ卷，9 2023·新高考Ⅱ卷，16 2024·新高考Ⅱ卷，9 三角恒等变换 2023·新高考Ⅰ卷，8 2024·新高考Ⅰ卷，4 2022·新高考Ⅱ卷，6 2023·新高考Ⅱ卷，7 2024·新高考Ⅱ卷，13 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。 试题精讲 一、单选题 1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024新高考Ⅰ卷·7）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多选题 3．（2024新高考Ⅱ卷·9）对于函数和，下列说法正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 三、填空题 4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 一、单选题 1．（2022新高考Ⅰ卷·6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三、填空题 6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    一、三角函数基本概念 1、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 2、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 二、同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 三、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 四、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 五、二倍角公式 ①； ②； ③； 六、降次（幂）公式 知识点四：半角公式 七、辅助角公式 （其中）． 八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 九、与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 【三角函数常用结论】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 3、两角和与差正切公式变形 ； ． 4、降幂公式与升幂公式 ； ． 5、其他常用变式 ． 6、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 7、关于三角函数对称的几个重要结论 （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 一、单选题 1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北保定·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 10．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个单调增区间 B．是的一个对称中心 C．在上值域为 D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称 C．在上有两个零点 D． 17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．若在区间上单调递增，则的取值范围是 19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．函数在上单调递增 D．方程的解为， 20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．的图象可由的图象平移得到 B．在上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．图象的一条对称轴为直线 21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．若，则 D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象 22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（    ） A．是偶函数； B．是周期为的周期函数； C．在上单调递增； D．的最小值为. 23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（    ） A．时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 三、填空题 24．（2024·全国·二模）已知，则 . 25．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 . 26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 27．（2024·黑龙江·三模）已知，则 . 28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，则 ． 29．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 . 30．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ． 31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 32．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 33．（2024·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$