湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

武汉外国语学校 2023—2024学年度下学期期末考试 高二数学试卷 命题教师： 审题教师： 考试时间：2024年 6月 26日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．二项式 6(1 2 )x 展开式中， 3x 项的系数为（ ） A． 160 B．160 C． 80 D．80 2.设 , ,   是三个不同平面，且 nm   , ，则 ”“ nm // 是“ ” // ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.现有甲、乙、丙、丁、戊 5位同学，准备在 CBA 、、 三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至 少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一 个景点，则不同的选法种数为（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 4.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为 1，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则 该圆锥的底面积为（ ） A． 32 B． 33 C．  323  D． 3 5.下列说法中正确的是（ ） A. 根据分类变量 x与 y的成对样本数据，计算得到 2 6.88.依据 005.0 对应的 879.7x 的独立 性检验，结论为：变量 x与 y独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.005. B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为 0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且 宽度越窄表示回归效果越差 C．  2~ ,X N   ，当 不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．已知变量 x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是 axy ˆ4.0ˆ  ，且由样本数据算得 4x  ， 3.7y  ，则 2ˆ a 6.已知等差数列{ }na 中， 6a 是函数 π( ) sin(2 )6f x x  的一个极大值点，则  84tan aa  的值为（ ） A． 3 3 B． 3 C． 3 D． 3 7．设函数   13  axxxf ，则下列正确的是（ ） A．当 0a 时， 1y 不是 ( )f x 的切线 B．存在 a，使得 ( )y f x 没有对称中心 C．若 ( )f x 有三个不同的零点 321 xxx ，， ，则 0321  xxx D．当 0a 时，若 21 xx， 是 ( )f x 的极值点，则 021  xx 8．已知 nS 是数列 nb 的前 n项和，若   2025202522102025 ......2-1 xaxaxaax  ，数列 nb 的首项  *120252025332211 2,2...222 Nnbb aaaab nnn   ，则 2025S =（ ） A． 101423 B． 1012232  C． 1012232  D． 101423 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处 寻觅．已知点  0,2A ，直线 3: xl ，动点 P到点 A的距离比到直线 l的距离小 1. 若某直线上存在这 样的点 P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A．点 P的轨迹曲线是线段 B． 2 xy 是“最远距离直线” C．过点 A的直线与点 P的轨迹交于 NM、 两点，则以MN为直径的圆与 y轴相交 D．过点 A的直线与点 P的轨迹交于 NM、 两点,则 NAMA 2 的最小值为 223 10．一只口袋中装有形状、大小都相同的 8个小球，其中有黑球 2个，白球 2个，红球 4个，分别用有 放回和无放回两种不同方式依次摸出 3个球．则（ ） A．若有放回摸球，设摸出红色球的个数为 X，则方差   4 3 XD B．若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率为 16 3 C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为 X，则期望   2 3 XE D．若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是 2 红 1 白的概率为 3 1 11.设定义在 R 上的函数 )(xf 与 )(xg 的导函数分别为 )(xf  和 )(xg ，若     xxgxf 212  ，  1xg 为偶函数，    xfxf  ，则（ ）     2322.  fgA   42. gB     99333.  ffC         2024 1 4048 2025 . i igD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12.求函数 x xxf sin)(  在点  0,P 处的切线方程 （请写成一般式） 13.已知 21 FF， 是双曲线  0,012 2 2 2  ba b y a xC： 的左、右焦点，以 2F 为圆心的圆与双曲线的两支分别 在第一第二象限交于 BA、 两点，且 AFBF 212  ，则双曲线的离心率为 14.小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在 一个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位， 且向四个方向移动的概率均为 4 1 ，记第 n秒末小明回到原点的概率为 np ，求 4p = ， np2 = （与 n有关的式子）. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，满足 0cos2  acBa . （1）证明： AB 2 ; （2）若 24, 3 1sin  bA ，求 ABC 的面积. 16．(15分) 在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 E：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     左焦点为 1F ， 离心率为 2 2 ，且过点 21, 2 A        ,直线 1AF 与椭圆C相交于另一点 B . (1)求 E的方程； (2)设点M 在椭圆 E上，记 OAB 与 MAB 的面积分别为 1S , 2S ，若 12 2SS  ,求点M 的坐标． 17. (15分) 如 图 ， 在 三 棱 柱 111 CBAABC  中 ， ABC 是 正 三 角 形 ， 四 边 形 CCAA 11 为 菱 形 ， 31   ACA , ABBA 21  . (1)证明： BACA 111  (2)求二面角 11 CAAB  的正弦值. 18.(17分) (1)设函数    ln 1 2 axf x x x     ，当 0x  时，   0f x  恒成立，求 a 的取值范围； (2)从编号 1到 100的 100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20次，设抽 到的 20个号码互不相同的概率为 p，证明： 19 2 9 1 10 e p       19.(17分) 已知有穷正项数列  na n m ,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,则称该 数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列  1 11,1,1 , 2,1, , ,1, 2 2 2       都可围成“T-Circle”． (1)设 1a a ,当 5m  时,是否存在 a使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由. (2)若 na 的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出m的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数 列. (3)若 na 的各项不全．．相等．．,且可围成“T-Circle”，求m的取值集合. 2024武汉外校高二下数学期末 参考答案 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B D C D C D BC ACD ACD 2、 填空题 12. 13. 14. 3、 解答题 15.（13分）已知的内角的对边分别为，满足 （1） 证明：; （2） 若，求的面积. （1）证明：由可得 即,化简得 因为为的内角，所以有，得 （2）由（1）知道为锐角，由得 所以 由正弦定理,得 依题，带入相应得值可得，得 16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：左焦点为F1， 离心率为，且过点,直线AF1与椭圆C相交于另一点B. (1)求E的方程； (2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=2S1，求点M的坐标． （1）由题可得，解的，即 (2)由（1）得，则直线，直线AB与y轴交点为 由题，转化为在Y轴上取点P,使得P到直线AB的距离是O到直线AB的距离的两倍，可得满足题意， 过作与AB平行的直线，两直线与椭圆E的交点即为满足题意的点 带入椭圆解得 带入椭圆解得 综上可得，M的坐标为 17. （15分）如图，在三棱柱中，是正三角形， 四边形为棱形，, （1）证明： （2）求二面角的正弦值. （1）取AC的中点为O,连接, 由题知是正三角形， 又, 又 （2）方法1：几何法 不妨设，则有 由余弦定理， 方法2：建系法 取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线，以该垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2,依题， 则 设平面法向量为，则 同理，平面的法向量 18.(1)设函数，当时，恒成立，求的取值范围 (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：. 解：（1） ，若，函数在时，单调递增，恒成立；满足题意 若 方程 的判别式为 ①时，，函数在时，单调递增，恒成立，满足题意 ②时，方程 在上的解为， 时，，，函数在时，单调递减，不满足恒成立 综上所述，的取值范围 （2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为 ， 因为， 同理，，，， 所以，所以， 再证：， 即证：，即，， 由（1）得，当时，，取， 则，即. 综上，. 19．已知有穷正项数列,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,则称该数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列都可围成“T-Circle”． (1)设,当时,是否存在使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由. (2)若的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数列. (3)若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”，求的取值集合. 解：（1）由定义可得，而为正项数列，故， 故， 由最后两式可得，故，故且， 结合可得即，故，故. 故存在，使得数列可围成“T-Circle”,此时数列为：. （2），满足条件的一个数列为 （3）（i）若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”． 结合为正项数列可得， 诸式相乘后可得， 又上述关系式即为(若下标大于，则取下标除以的余数). 故， 故(若下标大于，则取下标除以的余数). 所以(若下标大于，则取下标除以的余数). 设， 若，则即为，故，从而，， 而，故，故，故，从而， 此时均为1，与题设矛盾. 若，则即为，而， ，故，此时均为1，与题设矛盾. 若，则即为，而，所以，故， 从而， 而，故，故， 此时均为1，与题设矛盾. 若，则即为，而，所以， 而，故，故，故， 故，故，故， 此时均为1，与题设矛盾. 若，则，故， 故，故，故，故，故， 此时均为1，与题设矛盾. 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $$