专题06 三角函数的概念与公式（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题06三角函数的概念与公式 【考点1 终边相同的角的表示】 【考点2 根据已知角确定某角的范围】 【考点3 等分角与倍角的象限问题】 【考点4 扇形弧长与面积公式】 【考点5 三角函数的定义及应用】 【考点6 判断三角函数的符号】 【考点7 sina、cosa、tana知一求】 【考点8 sina与cosa齐次式化弦为切】 【考点9 sinatcosa、sinacosa知一求】 【考点10 利用诱导公式进行化简求值】 【考点11两角和与差的三角函数应用】 【考点12 二倍角公式的简单应用】 【考点13 辅助角公式的基本应用】 【考点14 给值求值问题】 【考点15 给值求角问题】 【考点16 三角恒等变换化简求值】 知识点1 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点2 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式 1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系：＝tan α. 3、基本关系式的几种变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． （2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. （3）sin α＝tan αcos α. 4、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 知识点4：三角恒等变换公式 （1）两角和差公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ （2）二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α （3）半角公式 sin＝± ；cos＝± ； tan＝± 【考点1 终边相同的角的表示】 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 根据已知角确定某角的范围】 【典例1】（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【考点3 等分角与倍角的象限问题】 【典例1】（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【考点4 扇形弧长与面积公式】 【典例1】（2024·福建厦门·三模）圆被直线所截得劣弧的弧长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 . 【考点5 三角函数的定义及应用】 【典例1】（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【考点6 判断三角函数的符号】 【典例1】（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要 【考点7 sina、cosa、tana知一求】 【典例1】（2023·浙江·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，为第一象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则 【考点8 sina与cosa齐次式化弦为切】 【典例1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C． D． 【典例4】（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B．7 C． D． 【考点9 sina±cosa、sinacosa知一求】 【典例1】（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点10 利用诱导公式进行化简求值】 【典例1】（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【典例3】（2024·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【考点11两角和与差的三角函数应用】 【典例1】（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河南·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【考点12 二倍角公式的简单应用】 【典例1】（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·吉林长春·三模）已知，且，则 ． 【考点13 辅助角公式的基本应用】 【典例1】（2024·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山西太原·三模）已知函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于（   ） A．点 对称 B．点 对称 C．点 对称 D．点 对称 【典例3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【考点14 给值求值问题】 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2022·江苏南京·模拟预测）已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【考点15 给值求角问题】 【典例1】（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【考点16 三角恒等变换化简求值】 【典例1】（2024·四川内江·三模）在斜中，角A、B、C所对的边分别为． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【典例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知分别为内角的对边，． (1)求角A； (2)若的面积为，周长为6，求． 一、单选题 1．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）函数在上的零点个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024·上海奉贤·三模）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分永件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024·浙江绍兴·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 12．（2024·重庆·模拟预测）在中，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 三、填空题 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的有 . ①函数的图象关于直线对称； ②函数的对称中心是； ③函数在区间上单调递增； ④函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到. 14．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 . 15．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知，，，则 ． 四、解答题 16．（2024·天津河北·模拟预测）已知，是第二象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 18．（2024·湖南长沙·三模）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 19．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 20．（2023·天津和平·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 21．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且． (1)若，求的大小． (2)若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06三角函数的概念与公式 【考点1 终边相同的角的表示】 【考点2 根据已知角确定某角的范围】 【考点3 等分角与倍角的象限问题】 【考点4 扇形弧长与面积公式】 【考点5 三角函数的定义及应用】 【考点6 判断三角函数的符号】 【考点7 sina、cosa、tana知一求】 【考点8 sina与cosa齐次式化弦为切】 【考点9 sinatcosa、sinacosa知一求】 【考点10 利用诱导公式进行化简求值】 【考点11两角和与差的三角函数应用】 【考点12 二倍角公式的简单应用】 【考点13 辅助角公式的基本应用】 【考点14 给值求值问题】 【考点15 给值求角问题】 【考点16 三角恒等变换化简求值】 知识点1 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点2 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式 1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系：＝tan α. 3、基本关系式的几种变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． （2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. （3）sin α＝tan αcos α. 4、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 知识点4：三角恒等变换公式 （1）两角和差公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ （2）二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α （3）半角公式 sin＝± ；cos＝± ； tan＝± 【考点1 终边相同的角的表示】 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 【典例2】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当时，， 当时，， 所以. 故选：A 【考点2 根据已知角确定某角的范围】 【典例1】（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果. 【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误， 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解. 【详解】解不等式，可得， 所以，整数的取值有、、， 又因为集合，， 则，即集合中的元素个数为. 故选：B. 【考点3 等分角与倍角的象限问题】 【典例1】（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限. 【详解】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 【考点4 扇形弧长与面积公式】 【典例1】（2024·福建厦门·三模）圆被直线所截得劣弧的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与圆的交点为、，的中点为，求出圆心到直线的距离，利用锐角三角函数求出，即可得到，再由弧长公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 设直线与圆的交点为、，的中点为，则，所以， 所以，则，所以劣弧的弧长为. 故选：C 【典例2】（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解． 【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为． 故选：D. 【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可得到圆锥的表面积. 【详解】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为． 故选：C. 【典例3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】设，，，由题意，，，可知圆台上、下底面的半径和高，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图，设，，， 由题意可知，，解得，， 则，将该扇面作为侧面围成一圆台， 则圆台上、下底面的半径分别为1和2， 所以其高为， 故该圆台的体积为. 故答案为：. 【考点5 三角函数的定义及应用】 【典例1】（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性即可得解. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 当与第2024次重合时，，则， 则重合点坐标为，即. 故选：B. 【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时，所用时间为，得到重合点坐标为，结合角度差得到，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可. 【典例2】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 【考点6 判断三角函数的符号】 【典例1】（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可. 【详解】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点， 又因为，所以，， 所以点位于第一象限. 故选：A. 【典例2】（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为或， 所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件. 故选：C. 【典例3】（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要 【答案】B 【分析】利用定义法进行判断. 【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足； 必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立. 故选：B. 【考点7 sina、cosa、tana知一求】 【典例1】（2023·浙江·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解. 【详解】由可知为第三象限的角，故, 由，又，解得 ， 故选：C 【典例2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，为第一象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商关系和平方关系可求答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，； 因为为第一象限角，所以. 故选：A 【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则 【答案】/0.8 【分析】弦化切代值求解即可. 【详解】由所以 故答案为：. 【考点8 sina与cosa齐次式化弦为切】 【典例1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得. 【详解】由，得. 故选：C 【典例3】（2024·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，即， 则． 故选：A 【典例4】（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可. 【详解】因为， 整理得， 所以， 又. 故选：B 【考点9 sina±cosa、sinacosa知一求】 【典例1】（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以 ， 所以， 即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. 【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元，即令，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最小值. 【详解】， 令，即， 所以， 由，得， 从而原函数化为， 当时，． 故选:B． 【考点10 利用诱导公式进行化简求值】 【典例1】（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 【典例2】（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 【典例3】（2024·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可. 【详解】令，则， 所以由， 得， 即， 即，得， 所以， 故选：C. 【考点11两角和与差的三角函数应用】 【典例1】（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 【典例2】（2024·河南·三模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可. 【详解】因为， 又，即，则， 所以， 故. 故选：D 【典例3】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D． 【考点12 二倍角公式的简单应用】 【典例1】（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 所以， 故选：D 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得，进一步结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，即， 即，所以. 故选：B. 【典例3】（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用二倍角公式求得，再利用诱导公式求得. 【详解】， 又，所以. 故选：C. 【典例4】（2024·吉林长春·三模）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由同角的三角函数关系和二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【考点13 辅助角公式的基本应用】 【典例1】（2024·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【典例2】（2024·山西太原·三模）已知函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于（   ） A．点 对称 B．点 对称 C．点 对称 D．点 对称 【答案】D 【分析】利用函数的图象关于直线 对称，找到一个必要条件，就可以求出，从而去化简，然后对四个选项逐一检验可得答案. 【详解】由函数的图象关于直线 对称， 则，所以， 即：，解得， 所以， 因为，所以选项A是错误的； 因为，所以选项B是错误的； 因为，所以选项C是错误的； 因为，所以选项D是正确的； 故选：D. 【典例3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 【考点14 给值求值问题】 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，故，可得，进而可求值. 【详解】令，则，故， ． 故选：A. 【典例3】（2024·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 【典例4】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】解法1：由，得， 得， 得，所以， 所以． 解法2：将 展开得， 整理得， 即， 所以． 故选：A 【典例5】（2022·江苏南京·模拟预测）已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果. 【详解】（1）解：因为，， 又，所以， 所以. （2）解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 【考点15 给值求角问题】 【典例1】（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可. 【详解】因为，， 所以， 解得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A 【典例2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决. 【详解】因为， 由正弦定理， 因为， 展开化简， 又. 故选:B. 【典例3】（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 . 【答案】 【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值. 【详解】因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 【考点16 三角恒等变换化简求值】 【典例1】（2024·四川内江·三模）在斜中，角A、B、C所对的边分别为． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简可得，结合，解方程即可求得答案； （2）利用二倍角公式可求出，继而求得，再由正弦定理求出a，由三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由于， 故，则， 代入，得， 解得或，由于为斜三角形，故舍去； 则； （2）由，得， 则， 即，由于，故C为锐角， 则，故， 又，由正弦定理得， 则， 所以. 【典例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知分别为内角的对边，． (1)求角A； (2)若的面积为，周长为6，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换可得，结合角A的范围分析求解； （2）利用面积公式可得，再根据余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 且，则，可得， 整理得， 又因为，则， 所以，即. （2）因为，则， 由余弦定理可得， 解得． 一、单选题 1．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案. 【详解】函数向左平移个单位后为， 当时，， ∵单调递增， 所以，即， 可得， 又，∴. 故选：B. 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】求出、的范围，利用平方关系求出、，再由求出，结合的范围可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 又由知 又因为，所以. 故选：B. 4．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 即， 如图，过B点作于D，可知， ， 所以， 所以，又，所以. 故选：D. 5．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据正弦函数的性质判断B，利用二倍角公式化简函数解析式，再由余弦函数的性质判断C，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误； 对于B：的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴上方及轴部分不变， 所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确； 对于D：，最小正周期，故D错误. 故选：C 6．（2024·广东·模拟预测）函数在上的零点个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由于函数的零点就是对应方程的根，解方程即可求得零点的个数. 【详解】令，解得，由于， 则，共5个零点. 故选：A. 7．（2024·上海奉贤·三模）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分永件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论. 【详解】在中，若，则； 反之，若，且， 所以或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（2025·甘肃张掖·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得，进而可得，利用整体法求解单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 由于与的图象关于轴对称，所以， 令，解得， 取，则， 故选：C 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式得到，根据余弦函数的周期得到，再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可. 【详解】由题意得，由题可知，所以. 令，得， 所以的图象的对称中心为，所以点符合. 故选：D. 二、多选题 10．（2024·浙江绍兴·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据同角三角函数关系弦化切求出正切，再根据二倍角计算求解即可. 【详解】因为分子分母都乘以,所以 可得,故A选项正确，,B选项错误； ,C选项错误； ,D选项正确. 故选：AD. 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】首先化简函数，再根据函数的性质判断各选项. 【详解】，函数的定义域为， 对A，，所以函数是奇函数，故A正确； 对B，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，函数的最小值为，故C正确； 对D，，，函数不单调，在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：AC 12．（2024·重庆·模拟预测）在中，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的基本关系式，得到，可判定A正确；由，化简得到，求得，可判定D不正确；结合两角和与差的余弦公式，得到和，可判定B错误；结合诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C正确. 【详解】由，因为，可得，所以，所以A正确； 又由，可得， 则，可得， 整理得， 可得，所以，所以D不正确； 由，可得，可得， 当，可得； 当，可得， 所以或，所以B错误； 若，即，可得， 当且仅当时，即时，此时，显然等号取不到； 若，即，可得， 当且仅当时，即时，此时，等号成立， 综上可得，的最大值为，所以C正确. 故选：AC. 三、填空题 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的有 . ①函数的图象关于直线对称； ②函数的对称中心是； ③函数在区间上单调递增； ④函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到. 【答案】 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式和求得，进而，利用正弦函数的图象与性质，结合命题依次判断即可. 【详解】, 又的最小正周期为，所以，由解得. 所以. ：， 所以是图象的一条对称轴，故正确； ：， 所以是图象的一个对称中心，故错误； ：由，得， 所以图象在上先增后减，故错误； ：图象向右平移个单位长度， 得，故正确. 故答案为： 14．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 . 【答案】 【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果． 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以，则， 故答案为：. 15．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知，，，则 ． 【答案】2 【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得. 【详解】由，得， 即， 整理得，由，得， 则，，于是，又， 所以. 故答案为：2 四、解答题 16．（2024·天津河北·模拟预测）已知，是第二象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解； （2）利用两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】（1），是第二象限角， ， ． （2）由（1）可得， ． 17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 18．（2024·湖南长沙·三模）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，边化角，可得，利用三角恒等变换可求； （2）由已知可得，利用，可得，可求解. 【详解】（1）由题意得 ，所以. 由正弦定理，得，即. 又，所以，又，所以. 因为，所以. （2）由，得，解得. 由， 得 ， 即， 所以. 19．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 20．（2023·天津和平·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可得，可求； （2）由已知可得，进而结合余弦定理可求得，进而可求； （3）由正弦定理可得，由余弦定理可得，可求得，进而利用两角和的余弦公式可求. 【详解】（1）因为．由正弦定理有①． 又因为，所以，代入①式有． 又因为三角形内角，因此，所以，． （2）因为的面积为，即，所以②． 又由余弦定理，，可得③． 因为．由②③式可知，． （3）由正弦定理有，有，， ，， ． 21．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且． (1)若，求的大小． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得的关系，即可得解； （2）利用正弦定理求出，再根据的关系结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 即， 所以，即， 而，所以或， 所以或（舍去）， 又因为，所以， 所以； （2）由（1）得， 因为， 所以， ， 则， 又由，得， 所以，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$