专题05 一元函数的导数及其应用（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题05 一元函数的导数及其应用 【考点1 导数的定义及应用】 【考点2 导数的运算/公式法则的灵活应用】 【考点3 “在"曲线上一点的切线】 【考点4 “过"曲线上一点的切线】 【考点5 两条曲线的公切线问题】 【考点6 已知切线条数求参数】 【考点7 利用导数研究函数的单调性】 【考点8 利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性）】 【考点9用导数求函数的极值/最值（不含参）】 【考点10 用导数求函数的极值/最值（含参）】 【考点11根据函数的极值（点）求参数】 【考点12 根据函数的最值求参数】 【考点13 利用导数求解不等式恒成立与有解问题】 【考点14 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 知识点1 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 知识点3 利用导数研究函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 知识点4 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 【考点1 导数的定义及应用】 【典例1】（2024·四川德阳·三模）已知函数，且 ，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【考点2 导数的运算/公式法则的灵活应用】 【典例1】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知，则（    ） A．48 B．192 C．128 D．72 【典例3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，且，则 . 【典例4】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 . 【考点3 “在"曲线上一点的切线】 【典例21】（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【考点4 “过"曲线上一点的切线】 【典例1】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点5 两条曲线的公切线问题】 【典例1】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【考点6 已知切线条数求参数】 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点7 利用导数研究函数的单调性】 【典例1】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【考点8 利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性）】 【典例1】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【典例4】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点9用导数求函数的极值/最值（不含参）】 【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【典例2】（2024·重庆·三模）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的极值． 【典例3】（2024·全国·二模）设函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的单调区间和极值. 【典例4】（2024·山西吕梁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值. 【考点10 用导数求函数的极值/最值（含参）】 【典例1】（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 【典例2】（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 【典例3】（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【典例4】（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【考点11根据函数的极值（点）求参数】 【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为 ． 【典例2】（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是 . 【考点12 根据函数的最值求参数】 【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【考点13 利用导数求解不等式恒成立与有解问题】 【典例1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数在区间上零点的个数； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【典例4】（2024·广东茂名·一模）设函数，. (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【典例5】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【考点14 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 【典例1】（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 【典例3】（2024·湖南长沙·三模）已知函数. (1)求的最小值； (2)设函数，讨论零点的个数. 【典例4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知在时取得极大值． (1)讨论在上的单调性； (2)令，试判断在上零点的个数． 【典例5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B．C．D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D． 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A．的值可以取 B．的值可以取 C．的值关于单调递减 D． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，则（    ） A．时， B．在上单调递增 C．的极大值为1 D．的极大值为 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 三、填空题 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 9．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 10．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 11．（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 12．（2024·河南·三模）函数的图象在处的切线为. (1)求的值； (2)求在上零点的个数. 13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 14．（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 15．（2024·山西·模拟预测）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 16．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元函数的导数及其应用 【考点1 导数的定义及应用】 【考点2 导数的运算/公式法则的灵活应用】 【考点3 “在"曲线上一点的切线】 【考点4 “过"曲线上一点的切线】 【考点5 两条曲线的公切线问题】 【考点6 已知切线条数求参数】 【考点7 利用导数研究函数的单调性】 【考点8 利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性）】 【考点9用导数求函数的极值/最值（不含参）】 【考点10 用导数求函数的极值/最值（含参）】 【考点11根据函数的极值（点）求参数】 【考点12 根据函数的最值求参数】 【考点13 利用导数求解不等式恒成立与有解问题】 【考点14 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 知识点1 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 知识点3 利用导数研究函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 知识点4 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 【考点1 导数的定义及应用】 【典例1】（2024·四川德阳·三模）已知函数，且 ，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，利用给定等式求出，再利用二倍角的正切计算即得. 【详解】函数，求导得， 由，得，解得， 所以. 故选：B 【典例2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】3 【分析】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为: ， 当无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为3m/s． 故答案为：. 【考点2 导数的运算/公式法则的灵活应用】 【典例1】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察，构造函数，利用导数的四则运算得到，代入即可得解. 【详解】设， 则，故， 所以 . 故选：C. 【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知，则（    ） A．48 B．192 C．128 D．72 【答案】B 【分析】令，求导，然后令求解. 【详解】解：令， 则， 令，得． 故选：B． 【典例3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】求导，由整理可得，然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式，弦化切可得. 【详解】求导得，由得，， 解得，所以. 故答案为： 【典例4】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可. 【详解】由题意知，令， 得，解得， 所以， 所以. 故答案为： 【考点3 “在"曲线上一点的切线】 【典例21】（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【典例2】（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即， 故选：B. 【考点4 “过"曲线上一点的切线】 【典例1】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入，得到，构造，求导，得到函数单调性，从而得到，结合当时，，当时，，从而得到答案. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 【考点5 两条曲线的公切线问题】 【典例1】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【典例3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 【考点6 已知切线条数求参数】 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项. 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 【考点7 利用导数研究函数的单调性】 【典例1】（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为： 【考点8 利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性）】 【典例1】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 【典例2】（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解. 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 【典例3】（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【典例4】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，即，然后构造函数，利用可得在上单调递增，从而可得，则可求出的取值范围，进而可求得的最大值. 【详解】依题意可知，在上恒成立，所以， 设，，所以（）， 所以在上单调递增，， 故，即的最大值为． 故选：C． 【典例5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求出，从而可得，设，利用导数研究其单调性，结合即可求解. 【详解】因为数列满足点在直线上， 所以. 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以，即的最小值为. 故选:C. 【考点9用导数求函数的极值/最值（不含参）】 【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 【典例2】（2024·重庆·三模）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求的值； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）利用导数的几何意义结合两直线垂直时的斜率关系可求得a值； （2）结合第（1）问可得，再根据函数的单调性即可确定极值点，则极值可求. 【详解】（1）函数，求导得， 则，即为切线的斜率，． 因为切线与直线垂直，则有，．． 解得． （2）由（1）知，函数，定义域为， 求导得，． 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值． 【典例3】（2024·全国·二模）设函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)； (2)递减区间是，递增区间是，极小值，极大值0. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出并验证得解. （2）由（1）的结论，利用导数求出单调区间及极值. 【详解】（1）由函数，求导得， 依题意，，解得，此时， 显然点不在直线上，符合题意， 所以. （2）由（1）知，函数的定义域为，， 当或时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 所以函数的递减区间是，递增区间是，极小值，极大值0. 【典例4】（2024·山西吕梁·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，没有极小值； (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值； （2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最大值. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的极大值为，没有极小值. （2）由题意得. 若，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为； 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时的最大值为； 若，则，当时，，在区间上单调递增， 此时的最大值为. 综上可得，. 【考点10 用导数求函数的极值/最值（含参）】 【典例1】（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故时，取得最小值， 解得，． 故答案为：3． 【典例2】（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 . 【答案】/0.5 【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值. 【详解】由，且， 令，则，即在上递增， 所以在上递增，又，，，， 所以，使，且时，， 时，，所以在上递减，在上递增， 所以 由，得， 令函数，， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得. 【典例3】（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【典例4】（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【考点11根据函数的极值（点）求参数】 【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数导数，研究导数的正负求得函数单调性即可得解. 【详解】由题， 当时，恒成立，故是增函数，无极值点，不符合； 当时，令或， 若，，所以： 当时，，故在和上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则在处取得极小值，是的极小值点，不符合； 若时，，所以： 当时，，故在和上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则在处取得极大值，是的极大值点， 所以0是函数的极大值点，则的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦型函数的单调性可得，利用正弦型函数的极值点可得. 【详解】由在区间上单调递增， 可得，，， 即，，，即， 又在区间上恰有两个极值点， 可得，即. 综上，. 故答案为：. 【考点12 根据函数的最值求参数】 【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 【典例2】（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，函数的极小值在内，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【考点13 利用导数求解不等式恒成立与有解问题】 【典例1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而. 【详解】，，且， 两边加上得，， 设，则，所以单调递增， ，即， 令，则， 的定义域是， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，取得极大值即为最大值，， ，. 故选：C． 【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解. 【典例2】（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解. 【详解】因为，所以整理不等式， 可得，转化为恒成立， 令，则， 因为，所以在上单调递增，所以恒成立， 又因为，所以， 所以对任意的恒成立，即恒成立， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，即． 故选：B． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【典例3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数在区间上零点的个数； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1个零点 (2) 【分析】（1）根据题意，求导可得在单调递减，结合零点存在定理即可得到结果； （2）根据题意，由端点效应可得，然后证明当时，，均有即可. 【详解】（1）当时，，令 ， 则， 当时，，在单调递减，即在单调递减， 且，， ，使， 在单调递增，单调递减； ，， 在有1个零点； （2），注意到，要使，则须满足，即，得． 下证：当时，，均有． 当时， 此时在单调递减，此时． 当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾． 综上所述：要使成立的的取值范围为：． 【典例4】（2024·广东茂名·一模）设函数，. (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构建函数，通过导数判断函数单调性，进而求解实数的取值范围； （2）分离参数，令，，利用导数求函数在指定区间的最值，即得解. 【详解】（1）当时，， 所以不等式转化为，在上恒成立. 令， 所以. 当时，恒成立. 若，则在上恒成立， 在上单调递增， 故，符合题意； 若，令函数， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，且当时，. 所以，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为，， 令，即， 所以. 令，， 则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当，时，单调递增. 所以当时，取得极小值， 即当时，取得极小值. 又因为，， 所以. 所以. 当取得极大值， 即当时，取得极大值. 又因为，， 所以. 所以， 所以当，. 所以. 又因为， 所以时，在上存在零点， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题 （1）构建函数，利用导数判断函数的单调性，通过函数的单调性求参数的取值范围； （2）分离参数，将零点问题转化为函数的交点问题，并利用导数判断函数的单调性，进而求函数的最值. （3）本题计算量较大，注意导数求解过程中的容易出现的问题，以及单调性的分析要注意取值范围. 【典例5】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【详解】（1）， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． （2）令，则． 令，则．         所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，，       所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． （3）因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 【考点14 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 【典例1】（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，，当时，，利用导数求得时，有最小值， 由，求a的取值范围. 【详解】由题意，令，得， 已知，当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 故当时，有最小值，而， 由此可知当时，，当时，， 若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知， 的最小值 ， 又，所以，，所以，所以， 即a的取值范围是． 故选：B. 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【典例2】（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，的定义域为， ， 令，则，解得， 令，则，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则. 令，其中， 则. 令，解得，令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为， . 又，函数在上有两个零点， 的取值范围是. 【典例3】（2024·湖南长沙·三模）已知函数. (1)求的最小值； (2)设函数，讨论零点的个数. 【答案】(1)最小值 (2)答案见解析 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值； （2）令，得，令，则与有相同的零点，利用导数求出函数的极值点，再分类讨论即可得出结论. 【详解】（1）的定义域为， 则当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此的最小值为； （2），且， 令，得， 令，则与有相同的零点， 且， 令，则， 因为当时，则，所以在区间上单调递增， 又，所以，使， 且当时，，即；当时，，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此的最小值为， 由，得，即， 令，则在区间上单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，即 所以的最小值， 所以当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，因为， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于， 所以有两个零点. 综上，当时，的零点个数为0； 当时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【典例4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知在时取得极大值． (1)讨论在上的单调性； (2)令，试判断在上零点的个数． 【答案】(1)答案见解析 (2)三个零点 【分析】（1）求导数，令，则或，通过讨论的正负，可得的单调性． （2）分别讨论和，求出单调性，可得结果． 【详解】（1）由题意，，因为在时取得极大值， 则，得， 所以， 令，则或． 时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． （2）在R上有3个零点，理由如下： ， 因为，所以是的一个零点． ， 所以是偶函数，即要确定在R上的零点个数，需确定时，的零点个数即可． ①当时，， 令，即或， 时，单调递减，且， 时，单调递增，且， 所以在有唯一零点； ②当时，由于， ， 而在单调递增，， 所以恒成立，故在无零点， 所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而， 综上，在R有且仅有三个零点． 【典例5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则 ， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以 ， 所以 ，解得或． 故选：B 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与曲线切于点，根据题意由在直线上方，由求解. 【详解】解：设直线与曲线切于点， 则， 所以切线方程为， 所以，， 所以， 设，， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A. 二、多选题 4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【分析】先利用题给条件求得实数m的取值范围，进而得到实数m的可能取值. 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，， 令，，则， 可知为增函数，当时，有最小值， 故实数m的取值范围为， 故选：AB. 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A．的值可以取 B．的值可以取 C．的值关于单调递减 D． 【答案】ACD 【分析】对函数求导，分析函数单调性，对和，分别求极值，判断极值的符号，结合函数零点存在性的判定方法求零点个数，可得AB的真假；把转合成，数形结合，通过函数与的交点，分析的值关于关系，判断C的真假；先根据，推出，在根据，可得D正确. 【详解】求导得， 当时，恒成立， 故在上为减函数，不可能有两个零点，故; 令，得， 当，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； 对于A选项：当时，， ，故， 因为在上单调递增， 则，故，则， 当时，；且时，； 故在及各有一个零点，故A对； 对于B选项:当时，于是， 故在上无零点，故B错； 对于C，，即，可视为两函数与的交点横坐标， 当增加，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，故C正确； 对于D，因为为函数的零点，则， 不妨设， 则，， 又， 所以 设， 则，令，， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 即，即， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，则（    ） A．时， B．在上单调递增 C．的极大值为1 D．的极大值为 【答案】AC 【分析】对于A，由函数解析式直接判断，对于BCD，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】对于A，当时，，所以，所以A正确， 对于BCD，由，得， 由，得或，由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以BD错误，C正确， 故选：AC 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 【答案】ABC 【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可. 【详解】因为，. 由 ， 设，因为函数定义域为，且，， 可知方程一定有实数根，故A正确； 由 或. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且为极大值，为极小值. 做出函数草图如下：    观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解， 故BC正确； 又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误. 故选：ABC 三、填空题 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 . 【答案】/ 【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.函数在处的切线倾斜角为,也可得出斜率.后构造关于的方程,解方程即可. 【详解】函数的导数, ∵函数在处的切线倾斜角为, ∴, ∴, ∴ 故答案为: . 9．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据只有一个交点，即可结合图象求解. 【详解】， 由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减， 故，作出的大致图象如下： 故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点， 故，即， 故答案为： 四、解答题 10．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求在区间的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)在区间上的单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出的值； （2）由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值. 【详解】（1）由，得， 因为在点处的切线方程为， 所以， 所以，所以， 解得； （2），令， 因为，所以，或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以极大值为，极小值为， 综上所述，在区间上的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为 11．（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数的意义求切线的斜率，再代入求出，然后由点斜式求出直线方程即可； （2）求导后分大于零和小于等于零讨论，分析函数的单调性，求出极小值小于零时的取值范围即可； 【详解】（1）当时，，所以， 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2），若在上单调递增，不满足题意， 若，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 且当和时，， 故，解得， 即的取值范围是. 12．（2024·河南·三模）函数的图象在处的切线为. (1)求的值； (2)求在上零点的个数. 【答案】(1) (2)在上仅有1个零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用对应相等，即可求得的值； （2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分与两种情况讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证. 【详解】（1）因为， 所以，所以切线斜率为，即， 所切线方程为 又，所以切点坐标为，代入得 则，解得. （2）由（1）得， 令，则， 当时，恒成立，所以在上递增， 所以， 因此在无零点； 当时，恒成立，所以单调递增， 又， 所以在上存在唯一的零点， 当单调递减； 当单调递增； 又，， 因此在上仅有1个零点； 综上，在上仅有1个零点. 13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导（）（），分，讨论求解； （2）方法一：隐零点法，由，，转化为证明，令，（），由成立即可；方法二：（同构）由，，转化为，进而变形为，再构造函数（），证即可. 【详解】（1）解：（）（）， 令，则， 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以，. 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以 综上所述，当时，，； 当时，所以，. （2）方法一：隐零点法 因为，，所以，欲证，只需证明， 设，（），， 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即，因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以 所以，因此. 方法二：（同构） 因为，，所以，欲证，只需证明， 只需证明， 因此构造函数（）， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增： 所以，所以， 所以， 因此. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据，利用放缩法消元为，从而只需证明，再构造函数而得证. 14．（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 【答案】(1)3； (2)证明见解析； 【分析】（1）求导，由求解； （2）转化为证，令，由证明. 【详解】（1）解：， 依题意，，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）可知，， 要证，即证， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 因为，， 所以. 【点睛】方法点睛：证明不等式，往往由证明. 15．（2024·山西·模拟预测）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）， 当时，恒成立，从而在上单调递增， 当时，，，，， 从而在上递增，在上单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题可知，要使恒成立，只要， ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解； （2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，，利用导数求得其最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，显然成立，此时可为任意实数； 当时，由，在上恒成立，得， 令，， 则， 设，由（1）可知，在上单调递增，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则，所以， 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$