专题07 三角函数的图象与性质综合（知识串讲+热考题型+真题训练）-备考2025年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

专题07三角函数的图象与性质综合 【考点1 求三角函数的定义域】 【考点2 求三角函数的值域(最值)】 【考点3 根据三角函数的值域求参数】 【考点4 求三角函数的单调区间】 【考点5已知函数的单调性求参数】 【考点6三角函数的奇偶性问题】 【考点7 三角函数的周期性问题】 【考点8 三角函数的对称性问题】 【考点9 判断三角函数图象变换】 【考点10 由三角函数图象确定解析式】 【考点11 求图象变换前(后)的解析式 】 【考点12由图象变换研究函数的性质】 【考点13 三角函数在生活中的应用】 知识点1 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2 函数Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 函数的图象得到的图象主要有下列两种方法 知识点3 函数的性质 ① 函数的周期可利用 ② 判断函数()是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或的形式。 ③ 求的单调区间，一般将看成一个整体，代入相关的单调区间对应的不等式，解之即得。 ④ 讨论的对称性，一般将看成是一个整体，令可得对称轴。令解出可得对称点的横坐标。 ⑤ 两条相邻对称轴之间的间隔为个周期，函数在对称轴处取得最大值或最小值；两个相邻最大值之间为一个周期，两个相邻最小值之间为一个周期。 【考点1 求三角函数的定义域】 【典例1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·浙江金华·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 【考点2 求三角函数的值域(最值)】 【典例1】（2024·全国·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【典例2】（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【典例3】（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 【考点3 根据三角函数的值域求参数】 【典例1】（2024·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【考点4 求三角函数的单调区间】 【典例1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点5已知函数的单调性求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点6三角函数的奇偶性问题】 【典例1】（2024·青海海南·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例2】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点7 三角函数的周期性问题】 【典例1】（2024·江苏盐城·一模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点8 三角函数的对称性问题】 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【考点9 判断三角函数图象变换】 【典例1】（2024·河北保定·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【考点10 由三角函数图象确定解析式】 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C．0 D． 【典例2】多选题（2024·云南·模拟预测）已知函数，如图，图象经过点，，则（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【典例3】多选题（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D．在上的值域为 【考点11 求图象变换前(后)的解析式 】 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【考点12 由图象变换研究函数的性质】 【典例1】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【典例2】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 【典例3】（2024·山东泰安·二模）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 【典例4】（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点13 三角函数在生活中的应用】 【典例1】多选题（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（    ） A．关于的函数是偶函数 B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 【典例2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 . 一、单选题 1．（2024·山东烟台·三模）若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数，若且，则的最小值为（    ） A．11 B．5 C．9 D．7 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·河北·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的范围是 B．函数在上单调递增 C．不可能是函数的图像的一条对称轴 D．的最小正周期可能为 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 三、填空题 13．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为 ． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ． 四、解答题 16．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列． (1)求函数的周期和最大值； (2)求数列的通项公式及前项和． 17．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07三角函数的图象与性质综合 【考点1 求三角函数的定义域】 【考点2 求三角函数的值域(最值)】 【考点3 根据三角函数的值域求参数】 【考点4 求三角函数的单调区间】 【考点5已知函数的单调性求参数】 【考点6三角函数的奇偶性问题】 【考点7 三角函数的周期性问题】 【考点8 三角函数的对称性问题】 【考点9 判断三角函数图象变换】 【考点10 由三角函数图象确定解析式】 【考点11 求图象变换前(后)的解析式 】 【考点12由图象变换研究函数的性质】 【考点13 三角函数在生活中的应用】 知识点1 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2 函数Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 函数的图象得到的图象主要有下列两种方法 知识点3 函数的性质 ① 函数的周期可利用 ② 判断函数()是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或的形式。 ③ 求的单调区间，一般将看成一个整体，代入相关的单调区间对应的不等式，解之即得。 ④ 讨论的对称性，一般将看成是一个整体，令可得对称轴。令解出可得对称点的横坐标。 ⑤ 两条相邻对称轴之间的间隔为个周期，函数在对称轴处取得最大值或最小值；两个相邻最大值之间为一个周期，两个相邻最小值之间为一个周期。 【考点1 求三角函数的定义域】 【典例1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间. 【详解】令，可得． 当时，函数单调递增． 所以当时，单调递增． 故在上单调递增． 故选：A. 【典例2】（2024·浙江金华·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助三角函数的性质与对数函数的性质可计算出集合、，即可得解. 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即，可得， 故. 故选：B. 【典例3】（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果. 【详解】， 而，故， 故选：B． 【典例4】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】依题意可得，根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【考点2 求三角函数的值域(最值)】 【典例1】（2024·全国·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. 【详解】原式， 其中锐角由确定，由，得， 所以. 故选：D 【典例2】（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 所以函数的最大值为2. 故选：D. 【典例3】（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 【答案】 【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】因为， 所以是以为周期的周期函数， 当时， 由，则，所以，则； 当时， 由，则，所以，则； 综上可得的值域为. 故答案为： 【考点3 根据三角函数的值域求参数】 【典例1】（2024·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分别分析函数和的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的最大值为1，的最大值为1， 由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1， 即当时，，， 得，，， 当时，，其他值不满足等式. 故选：D 【典例2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得问题等价于函数在不是单调函数，求导并利用三角函数值域即可求得实数的取值范围是. 【详解】若存在，使得，等价于函数在不是单调函数， 易知， 若函数为单调递增函数，则恒成立，即， 所以在恒成立，则； 同理，若函数为单调递减函数，则恒成立，得， 即若函数在不单调，则， 故选：C. 【典例3】（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可. 【详解】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点4 求三角函数的单调区间】 【典例1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的最小正周期为，即可求出，再根据求出，再利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 则，所以，， 故，解得，所以， A选项，当时，，故函数在区间上不单调，故A错误； B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，故B正确； C选项，当时，，故函数在区间上不单调，故C错误； D选项，当时，，故函数在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 【考点5已知函数的单调性求参数】 【典例1】（2024·全国·模拟预测）若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意可得当时，取得最大值，所以，可求出，再由，求出的范围，即可得出答案. 【详解】由题意可得当时，取得最大值，所以，，． 由在上单调递减，得， 所以．所以或．经检验，或均满足条件． 故选：D． 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得单调递减区间，进而可得，求解即可. 【详解】； 令，则， 所以在是减函数， 因为在区间单调递减，所以有， 即，又，所以，． 故选：B． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可. 【详解】法一:由题 ，令，， 因为，所以，， 因为在上单调递增，所以且， 得．由，得， 又且，所以，. 故选:C. 法二:由题 ， 由，得， 设的最小正周期为T，则由题意得，所以， 从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得. 故选:C. 【考点6三角函数的奇偶性问题】 【典例1】（2024·青海海南·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用得a值，并检验即可求解. 【详解】易知，且定义域为R，若其为奇函数， 则，故，经检验成立. 故选：B 【典例2】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 【典例3】（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 【考点7 三角函数的周期性问题】 【典例1】（2024·江苏盐城·一模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化，由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，得， 所以的最小正周期. 故选：A. 【典例2】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 【典例3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：，，故不以为周期，故A错误； 对B：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 且，故在上单调递减，故B错误； 对C：，，故不以为周期，故C错误； 对D：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 但，故时，， 故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【考点8 三角函数的对称性问题】 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数的对称性可得，再利用正弦型函数的最小值即可得解. 【详解】由题意可得，则， 又，故，即， 当时，，又的最小值是， 则，故，即的最大值是. 故选：B. 【典例2】（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数对称性得到方程，解出即可. 【详解】， 所以，，解得， 故选：C. 【典例3】（2024·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得. 【详解】函数，的图象向左平移个单位后所得函数， 函数的图象与的图象关于直线对称，则， 于是对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因此，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：A 【考点9 判断三角函数图象变换】 【典例1】（2024·河北保定·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：C. 【典例2】（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为向右平移个单位后解析式为， 又图象关于原点对称， 时，， 故选：B. 【典例3】（2024·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期；利用函数平移的规律及诱导公式即得. 【详解】由题意得的最小正周期为， 则所求函数为. 故选：C 【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象，棱台三角函数的性质求得，进而得到，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得，所以， 所以，又由，即， 可得，即， 因为，所以，所以， 所以，令， 解得， 所以函数的单调增区间是. 故选：C. 【考点10 由三角函数图象确定解析式】 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果. 【详解】由图可得，，，所以， 所以，因为在函数的图像上， 可得，解得， 因为，所以，， 所以 . 故选：B. 【典例2】多选题（2024·云南·模拟预测）已知函数，如图，图象经过点，，则（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】由得周期，进而得；将点代入可得的值；由来可判断不是对称轴；由正弦函数的单调性可求的单调递增区间. 【详解】由及过，得，即， 所以，又，解得，故A正确； 又点代入，得， 所以，又，于是，故B不正确； 由，则，故C不正确； 由，得 于是的单调递增区间为，令可知D正确. 故选：AD. 【典例3】多选题（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D．在上的值域为 【答案】AC 【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，A正确； B选项，由图象可知，，， 将代入解析式得， 故，故， 因为，所以， 故， ，故的图象不关于点中心对称，B错误； C选项，，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：AC 【考点11 求图象变换前(后)的解析式 】 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象可得最小正周期，可求，，点的坐标代入函数的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数的解析式. 【详解】由图像可得，函数的最小正周期为， 所以，将点的坐标代入函数的解析式， 且函数在附近递增，所以. 则， 得.因为，所以当时，， 因此. 函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数的解析式为. 故选：B. 【典例2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象，以及周期公式，求出，再结合平移伸缩的法则即可求解. 【详解】由图象可知， 则的一个最低点为， 的最小正周期为，则， ，即， 所以， 又因为，所以， 所以， 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得的图象， 再将所得曲线向左平移个单位长度， 得， 故， 故选：D. 【考点12 由图象变换研究函数的性质】 【典例1】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 【典例2】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可. 【详解】由题知. A：由于的定义域为，且， 故为奇函数，故A错误； B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误； C：因为时，， 所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确； D：，则，则， 故，故D错误. 故选：C 【典例3】（2024·山东泰安·二模）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选项即可. 【详解】A：将的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍， 得到函数，故A错误； B：由选项A可知， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； C：由选项A可知，则， 所以函数图象关于点中心对称，故C正确； D：由选项A可知，由，得， 所以，则，即的值域为，故D错误. 故选：C 【典例4】（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，由在上有2个零点得，解之即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得的图象， 由，得， 又在上有2个零点，所以， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C 【考点13 三角函数在生活中的应用】 【典例1】多选题（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（    ） A．关于的函数是偶函数 B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 【答案】BCD 【分析】 对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长. 【详解】 对A，由题意，， 所以，当时，可得，所以， 故，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对B，由题意，即， 即，所以，或， ，即或，，故B正确； 对C，由题意，即，即， 所以，，解得. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确； 对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是， 故（m）.故D正确. 故选：BCD 【典例2】（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 . 【答案】 【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速， 设点，圆上两点A、B始终保持， 则，要使A、B两点的竖直距高为0， 则，第一次为0时，，解得， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴. 一、单选题 1．（2024·山东烟台·三模）若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先得出，然后结合已知列出关于的不等式组，结合是正整数即可得解. 【详解】由题意且是整数， 若，则， 若函数在上有且只有一条对称轴和一个对称中心， 所以，解得，即. 故选：C. 2．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数，若且，则的最小值为（    ） A．11 B．5 C．9 D．7 【答案】D 【分析】根据可知函数的一条对称轴为，可得，求得，再根据正弦函数在处取得最小值，列出方程可求得结论. 【详解】由可知，在取得最小值，所以函数的一条对称轴为， 又，因此，即； 所以， 又在取得最小值，可知， 解得， 又，所以时，取得最小值为7. 故选：D 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将依次代入选项中，根据周期性、过的点以及诱导公式可判断每个选项的正误，进而选出答案. 【详解】题目中图象对应函数的最小正周期， 对于A，， 最小正周期为，不符合题意，错误； 对于B，， 最小正周期为，且和都在图象上，符合题意，正确； 对于C，， 最小正周期为，但函数过点，不符合题意，错误； 对于D，， 最小正周期为，不符合题意，错误. 故选：B 5．（2024·江苏苏州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，根据集合交集的概念可得. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法： （1）函数的图象关于点中心对称 （2）函数的图象关于直线对称 （3）函数在区间内有4个零点 （4）函数在区间上单调递增 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1），由， 所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误； 对于（2）中，由， 所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误； 对于（3）中，令，可得， 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确； 对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误. 故选：A. 7．（2024·北京顺义·三模）已知函数，则（    ） A．为偶函数且周期为 B．为奇函数且在上有最小值 C．为偶函数且在上单调递减 D．为奇函数且为一个对称中心 【答案】C 【分析】由二倍角公式得，再根据余弦函数性质判断即可； 【详解】解：因为， 所以，函数为偶函数且周期为，在上单调递减. 所以，ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦函数的单调性，以及正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由正弦函数的性质，可得在上单调递增， 所以，即当时，可得，即充分性成立； 反之：若，可得，所以必要性不成立， 所以 是充分不必要条件. 故选：A. 9．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据y轴右边第二个对称中心在内，第三个对称中心不在内可求得，结合可得，再利用平移变换求出，根据三角变换化简可得，然后由二倍角公式可解. 【详解】由得， 因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得， 又，所以，即，所以， 将函数的图象向右平移个单位得到函数， 即， 因为 ， 所以. 故选：A 10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，将四个选项代入检验，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，当时，，不合题意，A错误； B选项，当时，，不合要求，B错误； C选项，当时，，故C正确； D选项，当时，，D错误. 故选：C 二、多选题 11．（2024·河北·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（    ） A．的范围是 B．函数在上单调递增 C．不可能是函数的图像的一条对称轴 D．的最小正周期可能为 【答案】AC 【分析】A选项，时，，根据图象得到，求出；B选项，整体法得到，结合A选项知，，B错误；C选项，假设为函数的一条对称轴，得到方程，求出，C错误；D选项，，故的最小正周期，D错误. 【详解】A选项，时，， 由函数在上有且仅有两个对称中心得， ，解得，A正确； B选项，时，， 由A可知，故，而， 故函数在上不一定单调，B错误； C选项，假设为函数的一条对称轴， 令，，解得，， 又，故，又，故无解， 故不可能是函数的图像的一条对称轴，C正确； D选项，，故的最小正周期， 故的最小正周期不可能为，D错误. 故选：AC 12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据函数的部分图象求得，，值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解. 【详解】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以， . 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C错误， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，然后由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的取值范围 【详解】令，，， 问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点， ，解得. 故答案为： 14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的变换求出函数的解析式，带入，整理求解即可. 【详解】， 所以， 故． 令，则，且， 所以， 当时，；当时，， 所以所求函数的值域为． 故答案为：． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，进而求出的解析式，再利用正弦函数的性质列式计算即得. 【详解】由函数的图象知，的周期，， 又，解得，而，则， 于是，， 由函数为奇函数，得，而，则， 所以当时，. 故答案为： 四、解答题 16．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的所有正零点构成递增数列． (1)求函数的周期和最大值； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)周期2，最大值2 (2)， 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再得出最大值即可； （2）令可得出，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）由题可得， 因此函数的周期， 当，即时，取最大值，最大值为． （2）由得， 因此函数的所有正零点为， ，，因此是首项为，公差为1的等差数列； ， 17．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$