精品解析：2024年河北省石家庄第二十八中学中考模拟数学试题

河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（2024.6） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 月日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是城镇新增就业万人以上，城镇调查失业率左右．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，点A在点O的北偏东方向上，，则点B在点O的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角，平角，角的和差求角度，理解方位角是解题的关键． 求出，由即可求解． 【详解】解：如图， 因为点A在点O的北偏东方向上， 所以， 所以 所以点B相对于点O的南偏东方向， 故选：B． 4. 如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ） A. 三边高线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 6. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 8. 若反比例函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的坐标特征，根据反比例函数的图象与性质，写出与的大小关系，即可解题． 【详解】解：， 反比例函数的图象过一、三象限， 反比例函数的图象经过点，， ，， ， 故选：A． 9. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 10. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：由题可知：， 解得：． 在数轴上表示为： 故选：A． 11. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．根据锐角三角函数关系得出设，，根据勾股定理可计算出，进而然后根据余弦的定义得出答案． 【详解】解：，， ， 设，， 故， 则． 故选：D 12. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 12倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答. 【详解】因为复印出来的图形与原图形是相似图形，其相似比为2∶6=1∶3，故其面积比为1∶9，所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍. 故选C 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键. 13. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果． 【详解】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选C． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 14. 如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为（ ）． A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题可采用取特殊点的方法进行计算，即当O为正六边形的中心时进行计算． 【详解】解：如图所示，取正六边形的中心P．过P作PH⊥BC于H，根据正六边形的性质可知，∠BPC=60°， ∴∠BPH=30°，BH=， ∴PH= ∴正六边形各边的距离之和=6PH=， 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由正六边形及等腰三角形的性质解答即可． 15. 如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）． A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体的11种展开图是解题的关键，根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：如图，共有2种不同的选法： 故选C． 16. 如图，直线()与抛物线()交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线()的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线与抛物线()的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①由顶点坐标公式判断即可； ②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确； ③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾； ④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，即可求解．⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可． 【详解】①抛物线，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为(0,0)，本选项正确； ②根据图象得：直线为增函数；抛物线当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线数值都随x的增大而增大，本选项正确； ③由A、B横坐标分别为-2，3，若 AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误； ④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，，即△A0B不可能为等边三角形，本选项错误； ⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3，2， 由图象可得：当-3＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b， 则正确的结论是①②⑤ 故选：B 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，根据函数图象判断函数的增减性，以及某一区间内，一次函数和二次函数值的大小． 卷Ⅱ（非选择题） 注意事项：答卷Ⅱ时，将答案用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔写在答题卡上． 二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题3分，18小题3分，19小题4分，每空2分） 17. 已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为_______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】先从小到大排序，再计算第3、4个数的平均数. 【详解】解：从小到大排序：1，1，2，3，4，5， 中位数是第3、4个数2和3的平均数，即2.5. 故答案为：2.5. 【点睛】本题考查了中位数的求法，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 18. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，锐角三角函数，零指数幂的概念分别化简，然后进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 19. 已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为__________； （2）当时，若，，时，的长为__________． 【答案】 ①. ②. 5或 【解析】 【分析】（1）由，证明和都为等边三角形，则，，，证明，进而可得， （2）由题意知，，，则，同理（1），证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，，， ∴， 同理（1）， ∴， ∴，即， 解得，； 当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解； 当在外部时，，如图①，记的交点为， 由题意知，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ∴； 当在内部时，，如图②，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求m的值． （2）求的值． （3）若的值为非负数，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，化简绝对值，以及解一元一次不等式，根据已知得出m的值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． （1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值； （2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可； （3）解不等式，得到，将m的值代入即可得到． 【小问1详解】 解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B， ∴点B所表示的数比点A表示的数大2， ∵点A表示，点B所表示的数为m， ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 的值为非负数， ， ， ， ． 21. 如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） （2）由（1）你可以得到乘法公式____________． （3）根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出； （3）由平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 图2中的阴影部分面积为． 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可以得到乘法公式：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：① ； ② ． ． 【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 22. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2） 补图如下： ； （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数为， 补图略 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 23. 小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地米，早上小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） （1）小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后登山的速度为__________米/分钟； （2）求a的值，并说明点A所表示的实际意义； （3）若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟． 【答案】（1） （2），点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米 （3）米/分钟 【解析】 【分析】（1）解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟），，则小兴开始爬山的速度为（米/分钟），小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟），当时，小兴爬到半山腰，则小兴减速后登山的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；联立，可得，则，进而可证点A表示小兴在爬了分钟后，于上午9:24追上小宜，此时二人离出发地相距米． （3）设小宜比原来速度提高米/分钟．根据题意，得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟） 根据题意，得，小兴开始爬山的速度为（米/分钟）， ∴小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟）， ∵， ∴当时，小兴爬到半山腰， ∴小兴减速后登山的速度为（米/分钟）． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 联立， 解得， ∴， ∴点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米． 【小问3详解】 解：设小宜比原来速度提高米/分钟． 根据题意，得， 解得， ∴小宜加速后的速度至少应提高米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，函数解析式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 24. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接． ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号）； ②比较与直径的长度； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离． 【答案】（1） （2）①，；②的长＞直径的长 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1：连接，先根据等边三角形及勾股定理求得，三点共线，之间的距离为，最后根据线段的和差即可解答； （2）①如图2：延长交于D，过点C作，先说明、可得，进而得到；再说明，根据角的和差解答，再求出点C到桌面的距离；②先说明，再求出的长，然后比较即可解答； （3）根据（2）可得，进而从滚动到过程中经过的圆心角为，最后根据弧长公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图1：连接， ∵等边， ∴， ∴, ∵半圆O与相切于点Q，半圆O的中点为点C， ∴重合，, ∵， ∴, ∴三点共线，之间的距离为， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：①如图2：延长交于D，过点C作， ∵等边， ∴， ∵,, ∴， ∴, ∴, ∵半圆O的中点为点C， ∴, ∴， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 点C到桌面的距离为； ②∵, ∴的长， ∵， ∴的长＞直径的长 【小问3详解】 解：如图：当时， 由（2）可得， ∴, ∴从滚动到过程中经过的圆心角为， ∴点Q在上移动的距离等于． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 25. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①； ②； ③． 【答案】（1），此次射门在不受干扰的情况下能进球 （2）小明至少后退才可能防守住这次射门 （3）② 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）根据题意设抛物线为．将代入解析式得到，令，得到，即可解题； （2）根据小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意设小华带球向正前方移动b m，得到移动后的解析式为．将B代入求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 所求抛物线为． 又令， ． 此次射门在不受干扰的情况下能进球． 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）， 抛物线的解析为， 又小明的最大起跳高度是， ． 或． 小明需要站在抛物线左侧防守， ， m,即小明至少后退才可能防守住这次射门． 【小问3详解】 解：由题意，设小华带球向正前方移动b m， 移动后的解析式为． 又B为， ． 或2.4（，舍去）． 小华最多可以向球门移动约． 故答案为：②． 26. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； ② （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由证明，可得结论； ②先求出，利用全等得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由勾股定理建立方程即可求出答案． 【详解】（1）①略 ②四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在为直径的圆上， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当在线段上时，由（2）知：， ， ， M为斜边的中点， ， 由（2）知， ， ， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（2024.6） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 月日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是城镇新增就业万人以上，城镇调查失业率左右．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A在点O的北偏东方向上，，则点B在点O的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 4. 如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（ ） A. B. C. D. 5. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ） A. 三边高线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点 6. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若反比例函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 9. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 10. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 12倍 13. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 35° D. 25 14. 如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为（ ）． A. 6 B. 3 C. D. 15. 如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）． A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 16. 如图，直线()与抛物线()交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线()的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线与抛物线()的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤ 卷Ⅱ（非选择题） 注意事项：答卷Ⅱ时，将答案用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔写在答题卡上． 二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题3分，18小题3分，19小题4分，每空2分） 17. 已知一组样本数据：1，2，3，4，5，1，则这组样本的中位数为_______． 18. 计算：_____． 19. 已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为__________； （2）当时，若，，时，的长为__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求m的值． （2）求的值． （3）若的值为非负数，求x的取值范围． 21. 如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． （1）若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） （2）由（1）你可以得到乘法公式____________． （3）根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算：①； ②． 22. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 23. 小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地米，早上小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） （1）小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后登山的速度为__________米/分钟； （2）求a的值，并说明点A所表示的实际意义； （3）若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟． 24. 某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，MN为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为______（结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接． ①直接写出的度数，并求点C到桌面的距离（结果保留根号）； ②比较与直径的长度； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离． 25. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．（填序号即可，） ①； ②； ③． 26. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $