2.1生活中的变量关系课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版(2019)必修第一册 2.1生活中的变量关系 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 了解生活中两个变量的依赖关系 01 能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系 02 探索新知 PART 02 探索新知 02 情境导学 通过播放视频,你发现了哪些量不可以改变?哪些量可以改变? (1)瓶口的大小不可以改变,水的数量也不能改变. (2)但瓶中水的高度可以改变,石块的数量可以改变,投的石块越多,水面越高. 探索新知 02 例1 下图是某高速公路加油站的图片,加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量,油面高度h,油面宽度w、储油量V是变量。 储油量V与油面高度h存在着依赖关系,也与油面宽度w存在着依赖关系. 思考V,h,w是否具有某种关系? 对于油面高度h的每一个取值,都有唯一的储油量V和它对应,但是,取一个油面宽度w的值,却对应着两个储油量V. 探索新知 02 例2 自2008年京津城际列车开通运营以来,高速铁路在中国大陆迅猛发展。截至2017年年底,中国高铁运营里程突破25 000 km。图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化。 由图2-2,不难看出(1)随着时间的变化,高铁运营里程在变化,它与年份存在着依赖关系. (2)从2008年到2017年,高铁年运营里程是不断增加的,与前一年相比,2014年增长得最多. 探索新知 02 函数关系(传统定义):如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 这时变量x和y就建立起了函数关系. 在现实生活中,凡是要确定两个变量具有函数关系,就要判断“对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应” 知识点 变量间的函数关系 依照这个概念,在以上两个例题中,储油量V是油面高度h的函数,高铁运营里程是年份时间的函数,但储油量V不是油面宽度w的函数. 探索新知 02 依赖关系:一个变量的变化引起与之相关的另一个变量的变化,这时称这两个变量之间具有依赖关系. 知识剖析: (1)依赖关系不一定是函数关系,函数关系是特殊的依赖关系.判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的方法:首先,确定因变量和自变量;其次,判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否有唯一确定的值与之对应,若满足则是函数关系,否则不是函数关系. 知识点 变量间的函数关系 (2)研究函数关系时,通常要指明自变量和因变量,因为二者交换位置后可能会变成另一个函数关系,也可能不存在函数关系. 探索新知 02 例3 弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx,其中k为劲度系数. 对于变量“伸长量”的每一个值,变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应,弹力y是伸长量x的函数. 探索新知 02 例4 下表记录了几个不同气压下水的沸点:. 对于变量“气压”的每一个值,变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应, 沸点是气压的函数. 气压/(105 Pa) 0.5 1.0 2. 0 5. 0 10 沸点/0C 82 100 121 152 180 探索新知 02 例5 绿化可以改变小环境气候。某市有甲、乙两个气温观测点,观测点甲的绿化优于观测点乙,图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图。为了方便比较,将两条曲线画在了同一直角坐标系中。 图中反映的都是对于“时间”的每一个值,都有唯一确定的“气温”值和它对应,所以每一条曲线都表示了一个函数关系. 探索新知 02 例5 绿化可以改变小环境气候。某市有甲、乙两个气温观测点,观测点甲的绿化优于观测点乙,图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图。为了方便比较,将两条曲线画在了同一直角坐标系中。 不能,因为对于任何一个气温值,时间并不是唯一确定的值与它相对应, 例如气温为0 时,对应了8点和21点两个时间。因此不能将时间看成气温的函数 思考:能将时间看成气温的函数吗? 探索新知 02 对于变量“用电量(x)”的每一个值,都有唯一确定的变量“应缴电费(y)”值和它对应,所以应缴电费是用电量的函数.如图 例6 某地电公司为励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法居民每月应缴电费y(单位:元)与用电量x(单位kW h)的关系是 探索新知 02 形如上述的函数,一般叫做分段函数. 在生活中,有很多可用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税的税率等. 生活中存在着许许多多的函数关系.在很多时候,正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征. 探索新知 02 例如 1.一定量的水银,温度与其体积间存在函数关系,温度越高,水银的体积越大.因此,可以用这个体积表示温度,这就是制造温度计的依据. 2.在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息依存款的天数而定,利息是天数的函数,天数越多,利息就越多. 知识点 变量间的函数关系 3.在田径比赛时,铅球运动员的掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度均有关系.当出手速度和出手高度确定后,调整好出手角度,会使铅球掷得更远一些.这时,运动员的掷远距离是出手角度的函数. 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 依赖关系,函数关系的判断 例1. 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却,并将一温度计放入茶杯中,每隔一段时间,观察温度计示数的变化,冷却时间与温度计示数的关系; (2)商品的销售额与广告费之间的关系; (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系; (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系. 【方法指导】两个变量中的一个变量发生变化时,如果另一个变量也发生变化,那么它们具有依赖关系;如果另一个变量发生变化且取值唯一,那么它们具有函数关系. 【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系,根据函数的定义知,二者之间存在函数关系,且冷却时间是自变量,温度计示数是因变量. 题型突破 03 题型1 依赖关系,函数关系的判断 例1. 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系? (2)商品的销售额与广告费之间的关系; (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系; (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系. 【解析】 (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比如产品的质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系. (3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系,更不具有函数关系. (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系,且对于每一个时间的值,路程是唯一确定的,因此它们之间存在函数关系,且时间是自变量,路程是因变量. 题型突破 03 题型1 依赖关系,函数关系的判断 【解析】综上可知,(1)(4)中的变量间具有依赖关系,且是函数关系;(2)中变量间存在依赖关系,但不是函数关系;(3)中两个变量不存在依赖关系,也不具有函数关系. 例1. 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却,并将一温度计放入茶杯中,每隔一段时间,观察温度计示数的变化,冷却时间与温度计示数的关系; (2)商品的销售额与广告费之间的关系; (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系; (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系. 题型突破 03 解题通法 (1)判断两个变量之间是否具有依赖关系,只需分析当其中一个变量变化时,另一个变量是否也发生变化即可,如果发生变化,那么它们具有依赖关系,如果不发生变化,那么它们不具有依赖关系. (2)判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时,可分以下两个步骤:①确定因变量和自变量;②判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系,否则不是函数关系. 题型1 依赖关系,函数关系的判断 题型突破 03 题型2 分段函数 例2. 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 某职工每月收入为元,应交纳的税额为元,请写出关于的函数关系式. 【解析】由题意,得 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 1.下列变化过程中,变量之间存在怎样的依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系; (2)在空中做斜抛运动的铅球,铅球距离地面的高度与时间的关系; (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系. 解析:(1)地球绕太阳公转的过程中距离与时间存在周期性变化的依赖关系,在某段时间内两者距离随时间增大而减少,在另一段时间内随时间增大而增大。对于任何一个确定的时间,有唯一确定的距离与之对应,因此“距离”是“时间”的函数。 当堂检测 04 1.下列变化过程中,变量之间存在怎样的依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系; (2)在空中做斜抛运动的铅球,铅球距离地面的高度与时间的关系; (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系. 解析:(2)在空中做斜抛运动的铅球,铅球距离地面的高度与时间存在依赖关系,对于对于任何一个确定的时间,有唯一确定的高度与之对应,因此“高度”是“时间”的函数。 当堂检测 04 1.下列变化过程中,变量之间存在怎样的依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系; (2)在空中做斜抛运动的铅球,铅球距离地面的高度与时间的关系; (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系. 解析:(3)某超市一天的销售额与客流量之间存在对于变量“客流量”的每一个值,变量“销售额”都有唯一确定的值和它对应,因此“销售额”是“客流量”的函数。 当堂检测 04 2.坐电梯上升时,电梯距离地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系? 解析:坐电梯上升时,电梯距离地面的高度与时间之间存在对于变量“时间”的每一个值,变量“距地面高度”都有唯一确定的值和它对应,因此“高度”是“时间”的函数。 当堂检测 04 3.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间 存在怎样的依赖关系? 解析:在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量分数与所加蔗糖的质量存在对于变量“蔗糖质量”的每一个值,变量“糖水的质量分数”都有唯一确定的值和它对应,因此“糖水质量分数”是“蔗糖质量”的函数。 当堂检测 04 4.找出一个生活实例,说明两个变量之间存在依赖关系,但不是函数关系 解析:在生活中我们都知道吸烟有害健康,吸烟可导致肺癌等多种疾病,因此吸烟的次数与患肺癌的几率有依赖关系,但两者并不是唯一确定的依赖关系,因此“患肺癌几率”不是“吸烟次数”的函数。 当堂检测 04 5.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:5公里以内(含5公里),票价2元;5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请写出票价与里程之间的函数解析式. 解析:设票价为,里程为x,由题意可知,自变量x的取值范围是(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则可得到以下函数解析式: 老师名字 谢谢观看 Learn to report Lavf57.25.100 $$