精品解析：江西省景德镇市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

景德镇市2023-2024学年度下学期期末质量检测卷 高一数学 命题人：占星（昌江一中） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：） A. 572m2 B. 1448m2 C. m2 D. 2028m2 5. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为钝角，为锐角，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知，，，，则值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与可以作为一组基底向量 C. D. 在方向上投影向量的坐标为 11. 已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与共线，则_________. 13. 已知，，则____________. 14. 在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位. （1）求； （2）若复数是关于方程的一个根，求实数，的值. 16. 已知向量. （1）若，求实数值以及在方向上的投影数量； （2）若对有恒成立，求实数取值范围. 17. 函数，函数的最小正周期为. （1）求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；② ；③ ，在中，内角，，的对边分别是，，，若  . （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 19. 在中，已知 . （1）求； （2）设，点为外接圆上的一个动点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，且，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 景德镇市2023-2024学年度下学期期末质量检测卷 高一数学 命题人：占星（昌江一中） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 2. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算即可. 【详解】. 故选：B 3. 已知是第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角基本关系式可以求得. 【详解】因为是第三象限角，且， 所以， 所以， 故选：B. 4. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据：） A. 572m2 B. 1448m2 C. m2 D. 2028m2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可 【详解】设的外接圆的半径为，则，得， 因为月牙内弧所对的圆心角为， 所以内弧的弧长， 所以弓形的面积为 ， 以为直径的半圆的面积为， 所以该月牙泉的面积为 ， 故选：D 5. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把作为基底，利用向量的加减法法则和已知条件，把用基底表示即可 【详解】解：因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且， 所以， 所以. 故选:C. 6. 已知为钝角，为锐角，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数基本关系求出，再利用差角的余弦公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为为钝角，为锐角，且，， 所以， ， 则. 又为钝角，为锐角，所以为锐角， 所以. 故选：A 7. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 8. 已知，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过复数的除法运算法则和共轭复数的定义，求得复数，然后利用再求出即可得解. 【详解】因为 所以，，故A错误，D正确； ，故B正确； ，故C错误， 故选：BD. 10. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与可以作为一组基底向量 C. D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，运用向量垂直的坐标表示式计算即可排除；对于B，基底向量必须不共面，显然与不共面；对于C，利用向量夹角的坐标表示式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义式求解即得. 【详解】对于A，，即与不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以不共线，故与可以作为一组基底向量，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B选项，将已知条件代入消元，即可求解；对于D选项，将角进行分离，得到，然后构造函数，用判别式法即可求得的最小值，从而得解，C选项可以借助D选项的结论，即可得解. 【详解】对于A选项，若，由得， 即 又为锐角，所以，故A正确 对于B选项，若，则， 由得， 所以，故B错误 对于D选项，由，得 ， 令，则，两边平方得： ， 由判别式法可得，解得，即， 又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值,故D正确， 对于C选项，由D选项可知，，而，所以 ，故C正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与共线，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量共线定理即可求解 【详解】因与共线，所以 ，即 所以， 所以, 故答案为：2. 13. 已知，，则____________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，再利用倍角公式以及齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则， 显然，可得， 整理得，解得或， 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：. 14. 在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则及基本不等式求解数量积的最小值即可. 【详解】如图所示，以的中点为原点，为轴，射线为非负轴建立平面直角坐标系， 则，，，设， 不妨假设D在E的左侧，则由知，， 据此有：，，则. 因为，所以，所以， 所以，所以， 令， 则， 当且仅当即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为虚数单位. （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数运算法则，化简复数z，即可求得复数z，用模长公式计算即可求解 （2）复数z是方程的一个根，另一个根则是z的共轭复数，然后利用韦达定理即可求得m,n的值 【小问1详解】 因为 所以 所以 【小问2详解】 复数的共轭复数 复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根， 所以由韦达定理可得， 16. 已知向量. （1）若，求实数的值以及在方向上的投影数量； （2）若对有恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示式计算即得的值；利用投影向量的定义式计算即得； （2）依题，将不等式整理得到一元二次不等式在R上恒成立，只需求解即得. 【小问1详解】 因，则，解得； 则，于是，在方向上的投影数量为. 【小问2详解】 依题意，在R上恒成立， 因，故有，解得或， 即实数的取值范围为：. 17. 函数，函数的最小正周期为. （1）求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再利用最小正周期公式，求得，从而求得的解析式，即可求解； （2）通过图象平移和伸缩变换，可以求得的解析式，然后即可求得在区间上的值域. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以，即 所以， 令，解得 所以的递增区间为， 令，解得， 所以的对称轴为， 令，解得， 所以的对称中心为， 小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 ， 因为，所以， 所以， 所以 即函数在区间上的值域为. 18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；② ；③ ，在中，内角，，的对边分别是，，，若  . （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别选择① ，② ，③ ，利用正弦定理和余弦定理边角互化，借助于三角形内角和与诱导公式化简，最后通过观察三角函数图象即可求出角； （2）利用正弦定理化边为角表示，把三角形的周长整理成关于内角的正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得三角形周长的范围. 【小问1详解】 选择①，，由正弦定理，，即， 由余弦定理，，因，故； 选择②，，因， 则得，，整理得，， 因， ，故得，因，故； 选择③，由可得，， 由正弦定理，， 因, ，故得，，因，故. 【小问2详解】 由正弦定理，， 可得，， 于是的周长为： ，因，，则， 故，即 周长的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于较难题. 解题的关键在于，细心观察题设条件，确定化边为角还是化角为边；对于求三角形周长的范围问题，一般是利用正弦定理化边为角，将其整理成正、余弦型函数，利用正、余弦函数的图象即可求得. 19. 在中，已知 . （1）求； （2）设，点为外接圆上的一个动点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正切公式，求得的值，然后利用三角形内角和为，所以求出，从而求得，即可求出角C； （2）（ⅰ）根据正弦定理求出外接圆半径，以AB中点为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，即可求出圆心坐标，坐标表示，从而求得取值范围； （ⅰⅰ）利用点C在外接圆上设，再根据已知等式关系，求出点C的坐标，判断出三角形为等边三角形，从而求得周长. 【小问1详解】 因为 所以， 又因为在中， 所以，又 所以； 【小问2详解】 如图所示，以AB中点D为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系， 则圆心在y轴上，不妨设，则， 由正弦定理可得，外接圆半径, 由，得，解得 所以，所以外接圆方程为， （ⅰ）设，则 所以 又因为点在外接圆上，所以，即 所以， 又，所以， 所以 （ⅰⅰ）因为点C在外接圆上，所以设，则 ， 所以 所以， 又因为，所以，所以， 即，经检验符合题意， 所以为等边三角形， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$