1.2.2 全称量词与存在量词 课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 1.2.2 全称量词与存在量词 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 理解全称量词与存在量词的意义 01 掌握判断全称量词命题与存在量词命题 02 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词进行否定 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题, 如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识, 就可以通过逻辑进行分析了 情境导学 探索新知 02 观察下列命题： （1）所有正方形都是矩形； （2）每一个有理数都能写成分数的形式； （3）对于任意的正实数的值随x值的增大而增大； （4）空集是任何集合的子集； （5）一切三角形的内角和都等于180°； 以上命题中，“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义 探索新知 02 全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫做全称量词命题. 全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”. 例如，“对于任意的实数x，都有x2≥0”可表示为“∀x∈R,x2≥0”. 在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略.例如，“所有的正方形都是矩形”，可以简写为“正方形是矩形”. 知识点1 全称量词与全称量词命题 探索新知 02 全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫做全称量词命题. 全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”. 知识剖析 (1)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”. 知识点1 全称量词与全称量词命题 (2)在某些全称量词命题中，全称量词可以省略，理解时需把它补充出来.如“等边三角形是等腰三角形”应理解为“所有的等边三角形都是等腰三角形”. 探索新知 02 全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫做全称量词命题. 全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，读作“对任意的”. 知识剖析 (3)判断命题是否为全称量词命题的方法：一是看命题是否含有全称量词，含有全称量词的命题就是全称量词命题；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，把全称量词补充出来看是否讲得通. 知识点1 全称量词与全称量词命题 探索新知 02 全称量词命题的形式：通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…，表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，x具有性质p(x)． 全称量词举例 (1)对任意的x∈R，x2＋1＞0； 知识点1 全称量词与全称量词命题 (2)对任意一个无理数x，x2也是无理数； (3)所有的一元二次方程都有实根； 探索新知 02 例4 判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： （1）所有的正方形都是平行四边形；（2）能被5整除的整数末位数字为0. （1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题， “所有”是全称量词. （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”. 探索新知 02 观察下列命题： （1）有些三角形是直角三角形； （2）在素数中，有一个是偶数； （3）存在实数x，使得x2+x－1=0. 以上命题中，“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义. 探索新知 02 存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素都具有一种性质的命题叫做存在量词命题. 存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”“这样的词叫做存在量词，用符号“”表示，读作“存在”. 例如，“存在实数x，使得x2+x－1＝0”可表示为“x∈R,使x2+x－1＝0”. 知识点2 存在量词与存在量词命题 探索新知 02 存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素都具有一种性质的命题叫做存在量词命题. 存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”“这样的词叫做存在量词，用符号“”表示，读作“存在”. 存在量词的性质：“x∈M，x具有性质p(x)” 知识剖析 (1)含有存在量词的命题，就是存在量词命题. (2)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“a，b∈R，使(a+b)2=(a－b)2” 知识点2 存在量词与存在量词命题 探索新知 02 例5 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： （1）存在一个无理数x，使x2也是无理数；（2）x∈R，使x2+x+1＝0. （1）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词. （2）“x∈R，使x2+x+1＝0”是存在量词命题，“”是存在量词. 探索新知 02 在初中我们学过反证法，不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所设假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法. 在数学的讨论中，命题的否定类似反证法. 对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？ 一个命题与它的否定在内容上是完全对立的. 当命题是真命题时，命题的否定是假命题； 当命题是假命题时，命题的否定是真命题. 知识点3 命题的否定 探索新知 02 定义：一般地，对于一个命题进行否定就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. 命题的否定与原命题的真假关系：一真一假 常见词语的否定词语： 知识点3 命题的否定 原词 等于 (=) 大于 （>） 小于 (<) 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 否定 不等式 (≠) 不大于 (≤) 不小于 （≥） 不是 不都是 至少有两个 至少有（n+1）个 一个也没有 探索新知 02 请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假． ①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集； ②方程x2－x－2＝0有实根． 命题①的否定：集合A＝{x|x＞2}不是集合B＝{x|x＞3}的真子集； 知识点3 命题的否定 命题①为假命题，命题①的否定为真命题． 命题②的否定：方程x2－x－2＝0没有实根． 命题②为真命题，命题②的否定为假命题． 探索新知 02 “，有”是一个全称量词命题，如何否定它呢？ 实例分析 分析：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使不成立，即找到一个实数x，使，也就是“，使 ”，它是一个存在量词命题. “，有”是一个全称量词命题，如何否定它呢？ 分析：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使不成立，即“，使 ”，它也是一个存在量词命题. 以上的存在量词命题是对原全称量词命题加以否定得到的. 探索新知 02 一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立. 对于全称量词命题p“∀x∈M，x具有性质p(x)”通常把它的否定表示为 “∃x∈M，x不具有性质p(x)” 知识点4 全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是一个存在量词命题． 探索新知 02 例6 写出下列全称量词命题的否定： （1）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； （2）x∈R，有. （1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”. （2）“，有”的否定是“，使” 探索新知 02 如何写出下列存在量词命题的否定 (1)存在凸n边形(n，且n≥3)，它的内角和等于720°； (2)，的个位数字等于3. 实例分析 分析：要否定这个存在量词命题，需要判定任意一个凸n边形的内角和均不等于720°，即“任意凸n边形(n，且n≥3)，它的内角和都不等于720°”，它是一个全称量词命题. 分析：要否定这个存在量词命题，需要判定任何一个整数x，使的个位数字均不等于3，即“，使”，它也是一个全称量词命题. 以上的全称量词命题是对原存在量词命题加以否定得到的. 探索新知 02 一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立. 对于存在量词命题p“∃x∈M，x具有性质p(x)”通常把它的否定表示为 “∀x∈M，x不具有性质p(x)” 知识点5 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是全称量词命题． 探索新知 02 例7 写出下列存在量词命题的否定： （1）某箱产品中至少有一件次品； （2）方程 （3），使++1≤0. （1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”. （2）“方程有一个根是偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”. （3）“，使”的否定是“，有”. 探索新知 02 归纳总结：全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【方法指导】先判断命题的类型，再判断命题的真假，全称量词命题通过推理判断，存在量词命题通过举特例判断. 【解析】(1)命题中含有存在量词“有的”，因此是存在量词命题. 三条边互不相等的三角形不是等腰三角形，因此是真命题. (2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称量词命题. 由于二次函数的图象与轴不相交，因此是假命题. 例1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)有的三角形不是等腰三角形； (2)每个二次函数的图象都与轴相交； (3){3，5，7}，是偶数； (4)，. 题型突破 03 题型1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)有的三角形不是等腰三角形； (2)每个二次函数的图象都与轴相交； (3){3，5，7}，是偶数； (4)，. 【解析】(3)命题中含有全称量词的符号“”，因此是全称量词命题. 把3，5，7分别代入，得10，16，22都是偶数，因此是真命题. (4)命题中含有存在量词的符号“”，因此是存在量词命题. 由于使成立的实数只有，且它们都不是有理数， 因此，没有一个有理数的平方等于3， 所以“，”是假命题. 题型突破 03 解题通法 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合中每个元素，证明都成立；如果在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. 题型1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 题型突破 03 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 例2. 写出下列各命题的否定. (1)p:对任意的正数x, >x－1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)s:有些质数是奇数. 【解析】(1)命题p的否定“存在正数x,使”. (2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”. (3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”. (4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”. 题型突破 03 解题通法 全称量词命题的否定 (1)一般地，改写全称量词命题的否定时，先找到全称量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，同时否定结论. (2)省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题. 存在量词命题的否定 一般地，改写存在量词命题的否定时，先找到存在量词及相应结论，然后把命题中的存在量词改成全称量词，同时否定结论. 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 题型突破 03 题型3 含有一个量词的命题的求参数问题 例3. 已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围. 【解析】因为全称量词命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2+ax+1<0”. 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题. 由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2－4>0，解得a<－2或a>2. 所以实数a的取值范围是(－∞,－2)∪(2,+∞). 故一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是. 题型突破 03 题型3 含有一个量词的命题的求参数问题 延伸探究 (1)若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. (2)若本例中的“∀x∈R”改为“∀x>0”,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题意知Δ≤0,则a2－4≤0,得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2,2]. (2)因为全称量词命题“∀x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x>0,x2+ax+1<0”. 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题. 由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线, 借助二次函数的图象易知解得a<－2, 所以实数a的取值范围是(－∞,－2). 题型突破 03 解题通法 解决含有参量的命题的求参问题的思路 1.全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围. 2.存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数. 题型3 含有一个量词的命题的求参数问题 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 老师名字 谢谢观看 Learn to report 1.命题“，”的否定是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：D. 2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. （1）有一个奇数不能被3整除； （2），与3的和不等于0； （3）有些三角形的三个内角都为； 解析：（1）是存在量词命题，否定为“每一个奇数都能被3整除”. （2）是全称量词命题，否定为“，与3的和等于0”. （3）是存在量词命题，否定为“任意一个三角形的三个内角不都为”. 2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. （4）每个三角形至少有两个锐角； （5）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 解析：（4）是全称量词命题，否定为“存在一个三角形至多有一个锐角”. （5）是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为“存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线”. 3.已知非空集合M，P，则命题“”是假命题的充要条件是( ). A.， B.， C.，且， D.， 解析：等价于，，因为“”是假命题，故其否定为，，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是“，”. 故选D. 4.已知集合，. （1）若命题，是真命题，求m的取值范围; 解析：（1）因为命题，是真命题，所以， 当时，，解得; 当时，，解得. 综上，m的取值范围为. 4.已知集合，. （2）若命题，是真命题，求m的取值范围． 解析：（2）因为，是真命题，所以， 所以，即，所以， 所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为. 6.已知命题p:任意，，命题q:存在，.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围. 解析：由命题p为真，可得不等式在上恒成立. 所以，.所以. 若命题q为真，则方程有解. 所以判别式；所以或. 又因为p，q都为真命题，所以，所以或. 所以实数a的取值范围是. $$