专题02 等式与不等式（考点练+模拟练）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题02 等式与不等式（考点练+模拟练） 一、填空题 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2．（23-24高三下·上海·开学考试）不等式的解集是 ． 3．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式的解集是 ． 4．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 5．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 6．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 7．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 8．（22-23高三上·上海黄浦·期中）设，且，则的最小值是 . 9．（23-24高三上·上海·期中）已知，，且，则的取值范围为 . 10．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ． 11．（23-24高三上·上海·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 12．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 13．（2024高三·上海·专题练习）已知实数，满足，且，那么的最小值是 . 14．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 16．（23-24高三下·上海·阶段练习）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 17．（23-24高三上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 18．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的一元二次函数．若的解集为，则实数的值分别是 19．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 20．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 . 21．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为 . 22．（23-24高二下·上海·期末）方程的解集为 . 23．（2023·上海宝山·一模）设，则方程的解集为 24．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 25．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 26．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 二、单选题 27．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高三上·上海浦东新·期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 33．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 35．（2021·高三下·七宝中学·第一次模拟）关于的方程有三个不同的实根，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 三、解答题 36．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式. 37．（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 38．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1月1日用24万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估计，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（x∈N）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为 万元（今年为第一年） (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）? (2)该车若干年后有两种处理方案； ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以8万元卖出. 试问哪一种方案较为合算?请说明理由. 39．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 40．（21-22高三上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求实数的值和解集. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 41．（19-20高二下·上海浦东新·期末）若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 一、填空题 1．（2021·上海金山·二模）不等式≥0的解集为 ． 2．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 . 4．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 5．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为 ． 6．（2023·上海嘉定·一模）已知，若关于的方程解集为，则的值为 . 7．（2021·上海青浦·三模）若正实数满足，则的最小值为 . 8．（2023·上海虹口·三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 ． 9．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 10．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 二、单选题 11．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·上海闵行·一模）下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·上海静安·一模）若实数x,y满足，则（    ）成立． A． B． C． D．. 14．（2021·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 三、解答题 15．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 16．（2019·上海松江·二模）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式（考点练+模拟练） 一、填空题 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【解析】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2．（23-24高三下·上海·开学考试）不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解． 【解析】由,可得， 即， 解得或． 故答案为：或． 3．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】把分式不等式转化为，从而可解不等式. 【解析】因为，所以，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 4．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 5．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【解析】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 6．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【解析】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 7．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【解析】解：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 8．（22-23高三上·上海黄浦·期中）设，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由，得，利用基本不等式可求得其最小值. 【解析】因为​， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以​的最小值是， 故答案为：. 9．（23-24高三上·上海·期中）已知，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用重要不等式即可求出，从而得出结果. 【解析】因为，当且仅当时取等号， 所以， 故答案为：. 10．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【解析】由且且a、b异号， 由， 所以， 当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 11．（23-24高三上·上海·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】36 【分析】将原式转化变形，利用基本不等式求解得结果. 【解析】，，， ，当且仅当即，时等号成立， 所以原式的最小值为36. 故答案为：36. 12．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【解析】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 13．（2024高三·上海·专题练习）已知实数，满足，且，那么的最小值是 . 【答案】10 【分析】利用基本不等式求解. 【解析】实数，满足，且 ∴， ∴ 当且仅当，即时取等号． 故答案为：10． 14．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【解析】当时，不等式为，显然不符合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以有， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 15．（23-24高三上·上海·期中）若存在，使得，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据给定的不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】当时，，显然，当且仅当取等号， 由存在，使得，得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 16．（23-24高三下·上海·阶段练习）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解. 【解析】 因为，所以， 又不等式的解集是区间的真子集，则. 故答案为：. 17．（23-24高三上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义可得，根据不等式的解集为R可知不等式在R上恒成立，则，解之即可求解. 【解析】令，得， 由绝对值的几何意义知， 表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数a对应的点到原点的距离之和， 则， 即的最小值为，又不等式的解集为R， 所以不等式在R上恒成立， 有， 当时，显然成立， 当时，有，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 18．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的一元二次函数．若的解集为，则实数的值分别是 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； 【解析】因为，的解集为， 所以与1是方程的两个实数根，且， 则由韦达定理可知：，则，. 故答案为：. 19．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果. 【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立， 令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，由，得到， 当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定m的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，当时不等式组无解，求出a的范围作答. 【解析】依题意，，由不等式有解知，，而，因此， 因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解， 则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解， 由有解得有解，于是得，解得， 由无解得无解，于是得，解得，因此， 所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则. 21．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性可得，时，从而由得恒成立，由题意得对任意实数恒成立，即可求解. 【解析】∵对勾函数在上单调递减，在上单调递增， ， ∴时，，即， ∵，则， 由得，即恒成立， 由题意得，对任意实数恒成立， 则，得， 则实数m的取值范围为. 故答案为：. 22．（23-24高二下·上海·期末）方程的解集为 . 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式得到答案. 【解析】，当且仅当时，等号成立， 即， 所以的解集为. 故答案为： 23．（2023·上海宝山·一模）设，则方程的解集为 【答案】 【分析】分区间讨论，去掉绝对值号即可得解. 【解析】当时，原方程可得，解得， 又，故方程的解为； 当时，原方程可得，解得，故无解； 当时，原方程可得，解得； 当时，原方程可得，解得，所以. 综上，方程的解集为. 故答案为： 24．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【解析】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 25．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【解析】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 26．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】取，得到时，与相切，然后时，得到，然后根据的范围，进一步求得，最后进行计算即可. 【解析】取,则，当时， 所以可知与相切 当时，可得 所以或（舍，因为为此值时，当时图象不在图象下方） 由，当时， 令， 设两根分别为， 所以 当时， 令 所以 所以 又，所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的取值以及分别用来表示. 二、单选题 27．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断. 【解析】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误； 对于C：由，所以，故C项错误； 对于D：由，所以，故D项正确. 故选：D. 28．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 结合基本不等式，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【解析】当时，有成立， 反之，当时，有，不满足； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 29．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求解对应系数的关系，代入所求的不等式求解即可. 【解析】一元二次不等式的解集为， 所以，且，是对应方程的两个实数根. 所以解得，，其中， 不等式化为，即. 解得或，因此所求不等式的解集为. 故选：B 30．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【解析】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：A. 31．（22-23高三上·上海浦东新·期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式得，由是的充分条件等价于包含，根据包含关系列不等式求解即可 【解析】，解得或，由是的充分条件，则有. 故选：C 32．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 【答案】A 【分析】利用绝对值三角不等式可判断A选项；绝对值三角不等式成立的条件可判断BC选项；取可判断D选项. 【解析】对于A选项，由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由A选项可知，当时，，即， 则不一定成立，B错； 对于C选项，由A选项可知，当时，，即， 则，不一定成立，C错； 对于D选项，取，则，D错. 故选：A. 33．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A利用基本不等式可判断正误；选项B用特殊值法代入，令可求；选项C用特殊值法代入，令可求；选项D用基本不等式分析即可. 【解析】对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误； 对于B，因为，设， 则方程变为，解得， 所以，故B错误； 对于C，当时，代入等式成立，但， 故C错误； 对于D,由可得， 整理可得，当且仅当时取等号；所以， 因为，所以，故D正确； 故选：D 34．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【解析】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 35．（2021·高三下·七宝中学·第一次模拟）关于的方程有三个不同的实根，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】首先去绝对值，问题转化为或，有三个实数根，当时，画出函数的图象，利用数形结合求得，再代入求的最小值. 【解析】由条件可知，方程化简为或， 当时，， 如图，若方程有三个不同的实根，则与直线和共有3个交点，画出函数的图象， 当时，，，得，解得：，或（舍）， ，， 当时，取得最小值， 当时，， 综上可知的最小值是. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 三、解答题 36．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）由二次不等式的解集，利用韦达定理求解系数； （2）分类讨论二次不等式的解. 【解析】（1）由题意得的两根为和1，所以，解得； （2）由得，即， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 37．（2021·上海闵行·模拟预测）已知，，. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可； （2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【解析】（1）， 当时，由， 所以不等式的解集为 （2），该函数的对称轴为， 当时，，不存在实数，使得成立； 当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，所以当时，，故不存在，使得成立； 当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，而 ，所以此时不成立； 当时，即时，要想在有解，只需，或，而， 因此， 当时，即时，要想在有解，只需 ，即， 综上所述：实数的取值范围为. 38．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1月1日用24万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，经估计，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（x∈N）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计为 万元（今年为第一年） (1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）? (2)该车若干年后有两种处理方案； ①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出； ②当年平均盈利达到最大值时，以8万元卖出. 试问哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)第三年 (2)方案②合算，理由见解析 【分析】（1）用每年得总收入减去，使用x年（x∈N）的总费用即可得到每年的盈利. （2）分析两种方案下①总额最大时的情况，②平均盈利打到最大时的情况，进行比较即可. 【解析】（1）由题意可得总收入 令解得又 该出租车第三年开始盈利； （2）① 总收入 当时，盈利总额达到最大值25， 此时将车以1万元价格卖出，得到7年时间共盈利26万； ②年平均利润， 当且仅当 即.90时等号成立， 但又 故年平均利润最大值为4.2，此时5年总利润 明显方案②总利润高，时间少， 故方案②合算. 39．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 【答案】(1) (2)x=24,12800 【分析】（1）设矩形的另一边长为am，根据旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为求解； （2）由（1）得到，利用基本不等式求解. 【解析】（1）解：设矩形的另一边长为am， 则， ， 因为， 所以， 则； （2）由（1）知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最少总费用为12800元. 40．（21-22高三上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求实数的值和解集. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，解集为. (2) 【分析】（1）由题设，再由解集求a的值，应用公式法求绝对值不等式的解集即可. （2）讨论参数a求的解集，由已知可得，由（1）及所得解集确定的取值范围. 【解析】（1）由，则，要使， ∴，可得. 由，则，可得， ∴解集为. （2）由（1）：， 当，即时，则或； 当，即时，则； 当，即时，则或； 当时，则 ； 当，即时，则； ∴要使“”是“”的充分不必要条件，即，又为， 综上，满足要求. 41．（19-20高二下·上海浦东新·期末）若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）比更远离．理由见解析. 【分析】（1）由题意利用已知条件消去y，得到，两边平方即得； （2）利用分析法证明即可； （3）结合基本不等式的变形，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论. 【解析】（1）由题意，，∵，∴，即， 两边平方，得； （2）即证，即证， ∵，∴，即证，即证（*）， ∵，∴， ∴，（*）成立，即比更远离； （3）∵，∴， 从而， ①时， ， 即； ②时， ， 即； 综上，，即比更远离． 【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大. 一、填空题 1．（2021·上海金山·二模）不等式≥0的解集为 ． 【答案】； 【分析】把分式不等式转化整式不等式，再利用一元二次不等式的结论求解． 【解析】． 故答案为：． 2．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解. 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以一元二次方程的两个根为， 所以根据韦达定理可得，解得， 所以， 故答案为: . 4．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本与产量之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于 时，平均成本最少. 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【解析】由题知， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 5．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 利用基本不等式计算即可. 【解析】由， 当且仅当时取得最小值，即的最小值为2. 故答案为：2 6．（2023·上海嘉定·一模）已知，若关于的方程解集为，则的值为 . 【答案】 【分析】结合题意，先令方程等号左右两边的常数项相等，求出，验证后得到答案. 【解析】的解集为R， 先令等号左右两边的常数项相等，即，解得：， 将代入方程可得：，解集为R，满足要求. 故答案为：2 7．（2021·上海青浦·三模）若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由可得，将它们替换目标式中的、，应用基本不等式求最小值即可. 【解析】由题设知：，即，又且， ∴， 当且仅当时等号成立. 故答案为：. 8．（2023·上海虹口·三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式转换为对任意的，都有不等式恒成立，则按照绝对值不等式即可求得实数的取值范围. 【解析】关于x的不等式的解集，则对任意的，都有不等式恒成立 此时，故原不等式化为，故， 则对任意的成立，故实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【解析】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 10．（2022·上海普陀·一模）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 【答案】[1,13] 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围. 【解析】二次函数f(x)对称轴为， ∵f(x)值域为， ∴且，n＞0. ， ∵ ==== ∴，， ∴∈[1,13]. 故答案为：[1,13]. 二、单选题 11．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 12．（2023·上海闵行·一模）下列不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举反例排除即可； 对于C，利用分式不等式的解法求解即可. 【解析】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误； 对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误； 对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误； 对于C，由得， 即，解得，故其解集为，故C正确. 故选：C. 13．（2023·上海静安·一模）若实数x,y满足，则（    ）成立． A． B． C． D．. 【答案】B 【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解. 【解析】由 和基本不等式 （当 时等号成立）， ，当 时，有 ，当 时， ，A错误； 由 （当 同号时等号成立）得： ， ，B正确； ， （当 时等号成立） ， ，C，D错误； 故选：B. 14．（2021·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断． 【解析】解：因为， 所以， ①，，，当且时取等号， 所以， 解得，即取到最大值2；①正确； ②，， 当时，， 当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意； 当时，， 当且仅当时取等号，此时 此时取得最大值，没有最小值，②错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 三、解答题 15．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足其中． （1）请求出的值，并说明的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】（1）950；发车间隔为5，载客量为950；（2），． 【分析】（1）根据分段函数性质直接代入求解即可； （2）分段计算净收益，并求最值，比较大小. 【解析】（1）， 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； （2）当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 16．（2019·上海松江·二模）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加%，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数； （2）是否存在这样的实数，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）人；（2）存在，的范围为，详见解析 【分析】（1）根据题意列式,并求解即可； （2）需满足两个不等关系：①技术人员的年人均投入不减少②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,列出不等式求解即可 【解析】（1）由题,可列方程为：,则, 故调整后的技术人员的人数为50 （2）存在, 的范围为 由题,,则在且上恒成立,,当且仅当即时取等, 又即,设,则在且上为增函数,但时,取得最大值为 综上, 的范围为 【点睛】本题考查不等关系的应用,考查最值问题,分析题意,列出（不）等式是解题关键 ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$