特训01 一元二次方程（中考模拟仿真）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训01 一元二次方程（中考模拟仿真） 一、单选题 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 4．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏南京·二模）下列一元二次方程（为常数，且），有两个异号的实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏盐城·二模）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 二、填空题 9．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 10．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0： ． 11．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 12．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ． 13．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 14．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 15．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 16．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．    三、解答题 17．（2024·江苏盐城·三模）解方程： 18．（2024·江苏常州·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) 19．（2024·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 20．（2023·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中满足a满足． 21．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 22．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 23．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 24．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 25．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 26．（2024·江苏连云港·一模）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)结合图像，直接写出时，x的取值范围； (3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 27．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 一元二次方程（中考模拟仿真） 一、单选题 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义进行判断即可 【解析】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确； 故选：D． 2．（2023·江苏南通·一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可． 【解析】解：， ， ， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 3．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 4．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（2023·江苏南京·二模）下列一元二次方程（为常数，且），有两个异号的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解一元二次方程来判断、、三个选项中方程根的情况，根据根的判别式判断根的情况，由此即可得出结论． 【解析】假设方程的两个根分别为：， A、∵， ∴，方程无实数根，故排除， B、∵ ∴， 两个根都大于0，为正数，故排除， C、∵, ∴，为负数，故排除， D、由可知，，两个根必为一正一负，故符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是分析四个选项中方程根得情况.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号得出根的个数是关键． 6．（2023·江苏盐城·二模）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用2023年我国的年我国的×（1+我国每年的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【解析】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 8．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【解析】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 二、填空题 9．（2024·江苏宿迁·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用直接开平方法求解即可． 【解析】解∶ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程．设方程为，根据一元二次方程根与系数的关系“，”求解即可． 【解析】解：设方程为， ∵一个根为2，一个根为0， ∴，， ∴， ∴一元二次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【解析】解： 是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：2024． 12．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答． 【解析】解： 去括号，得 得 即、 解得 经检验，是原方程的解，使得原方程无解 ∴该分式方程的解为 故答案为： 13．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【解析】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 14．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，设，在中，由勾股定理得到，过作，如图所示，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，再由等面积法求出线段，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，设出未知数，灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【解析】解：设， 在中，，则， 过作，如图所示： ，， ，则， 设， 在中，，即， 解得，则， ，则，解得， 在中，，即， 即， 解得， 则（负值舍去）， ， 故答案为：． 15．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【解析】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 16．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．    【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理；根据题意得出为正方形，设，设则，根据题意，根据勾股定理建立方程，得出，进而得出，则，即可求解． 【解析】解：根据图1可得， 由图1图2两个图形可得正方形与正方形的面积和即，四边形的面积为， 根据两个图形对应，，则对应图2中可得， ∴四边形为矩形， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴四边形为正方形， ∵ 设 ∴ 如图所示，   ， ，， 设则 ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得：或（舍去） ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．（2024·江苏盐城·三模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【解析】解：配方得，即， 开方得， ， ∴，． 18．（2024·江苏常州·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程，即可作答． （2）先移项，再提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：， ∴， ∴， 则， 解得． 19．（2024·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法 （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）设，则原方程可化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）， ， 或， ； （2）设，则原方程可化为：， 由（1）可得：或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 20．（2023·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中满足a满足． 【答案】， 【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子求值即可． 【解析】解： ． 解方程：， ， ， ， 解得：． ∵，， ∴，， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件．掌握分式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题关键． 21．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 【答案】在矩形纸板四角切去的正方形边长是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解析】解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意得， 解得：（舍去） 答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是． 22．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【解析】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 23．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是 (2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． （1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可． （2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答． 【解析】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是． （2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元， 依题意得：， 解得：， 所以， 答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元． 24．（2024·江苏常州·一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】每本画册应降价4元． 【分析】设这种画册每本降价x元，根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去． 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【解析】设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 25．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【答案】(1)①4；②16；③2 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程． （1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案； （2）类比例题求解、画图、计算即可． 【解析】（1）解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； （2）解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． 26．（2024·江苏连云港·一模）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． (1)求反比例函数表达式； (2)结合图像，直接写出时，x的取值范围； (3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1或9 【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式； （2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可； （3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可． 【解析】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数表达式为； （2）解：联立，整理得，， ∴， 解得，或， 经检验，或是原分式方程的解， 将代入得，， ∴， ∴由图像可知，的解集为或； （3）解：由题意知，平移后的解析式为， 联立得，，整理得，， ∵图像只有一个交点， ∴， 解得，或， ∴b的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 27．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【解析】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$