专题14 整式的加减（新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题14 整式的加减 （新知解决+易错笔记+六大考点讲练+中等拔高分层练） 课程标准 课标解读 1. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值． 2. 掌握同类项的定义以及合并同类项的法则 1. 掌握整式的代值计算； 2. 整式的加减 现有三张卡片 问题1：用它们拼成各种形状不同的四边形，我们来算一算拼成的四边形的周长~ 周长=上长+下长+左长+右长 周长=下长+左长+剩余两边的长 =a+(b+a+b)+a+a =(b+a)+(b+a)+b+b =4a+2b =2a+4b 1.这两个四边形周长的和是? 2.这两个四边形周长的差是? 两个四边形周长的和： (4a+2b)+(2a+4b) =6a+6b 两个四边形周长的差： (4a+2b)-(2a+4b) =2a-2b 去括号、合并同类项，像这样的计算，就是整式的加减。 整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。 整式加减的一般步骤：1.去括号；2.合并同类项。 考点一：整式的加减运算 4 考点二：去括号法则及应用 6 考点三：添括号法则及应用 6 考点四：同类项的概念 6 考点五：合并同类项法则及应用 7 考点六：整式加、减混合运算的实际应 8 中档题真题训练 10 培优题真题训练 14 知识点01：整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． (1)整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． (2)两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 知识点02：整式加减法则 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是： ①如果遇到括号，按去括号法则去括号； ②合并同类项.。 整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0，不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉，在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求： ①结果按照某个字母的降幂或升幂排列； ②每一项的数字系数写前面； ③结果不出现带分数；带分数要化成假分数； ④结果不出现“÷”号，“÷”改写成分数的形式； ⑤结果中不再有括号(一般情况)。 知识点03：整式加减法则 一、同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 要点诠释： (1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 二、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． 易错笔记一：去括号时出现的错误 括号前是负号时未改变括号内各项的符号： 易错点：学生在去括号时，如果括号前是负号，经常忘记将括号内的每一项都变号。 例如：从表达式-(a+b)中去括号，应得到-a-b，但学生可能会错误地写成-a+b。 括号前有数字因数时未与括号内每一项相乘： 易错点：学生在处理括号前有数字因数的情况时，容易忘记将数字因数与括号内的每一项都相乘。 例如：从表达式3(a+b)中去括号，应得到3a+3b，但学生可能会错误地写成3a+b。 易错笔记二：合并同类项时出现的错误 未正确理解同类项的定义： 易错点：学生容易将次数相同或字母相同但字母的指数不同的项误认为是同类项。 例如：ab和a^2b不是同类项，但学生可能会误合并它们。 合并同类项时系数处理不当： 易错点：学生在合并同类项时，容易忽略系数的符号，或将系数相加时出错。 例如：合并-3a和5a时，应得到2a，但学生可能会得到-2a或8a。 合并后未保持字母及其指数不变： 易错点：在合并同类项后，学生可能会改变字母或其指数。 例如：合并3ax^2和2ax^2时，应得到5ax^2，但学生可能会错误地写成5ax或其他形式。 易错笔记三：整式加减运算顺序错误 未遵循“先去括号，再合并同类项”的顺序： 易错点：学生在进行整式加减运算时，容易忽略运算顺序，先进行合并同类项再去括号，导致错误。 考点一：整式的加减运算 【典例精讲】（2024七下·合肥期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下： （1）求所捂的多项式； （2）若a，b满足：，请求出所捂的多项式的值． 【变式训练01】（2024七上·覃塘期末）若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（2024七下·渝北开学考）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为 ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分周长的和是　 　 .（用含 或 的代数式来表示） 【变式训练03】（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式． 问题： （1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可； （2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式； 写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式； （3）已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 考点二：去括号法则及应用 【典例精讲】（2024七上·杭州期末）已知：，． （1）计算的表达式； （2）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【变式训练01】（2024七上·播州期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（2024七上·叙州期末）下列式子变形正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024七上·湛江期末）先化简，再求值：，其中． 考点三：添括号法则及应用 【典例精讲】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（2024七下·衡东月考）已知，则的值是　 　． 【变式训练02】3ab-4bc+1=3ab-（　　），括号中所填入的整式应为 （　　） A． B． C． D． 考点四：同类项的概念 【典例精讲】（2024七下·港南期中）若与的和是单项式，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（2024七上·福田期末）下列判断正确的是（　　） A．与不是同类项 B．和都是单项式 C．单项式的次数是3，系数是0 D．是三次三项式 【变式训练02】（2023七上·凉州期中）若一3a5b3y与4a4x+1b6是同类项，则x=　 　，y=　 　． 【变式训练03】（2024七上·金华期末）下列各组代数式中，不是同类项的为（　　） A．与 B．与 C．与 D．与-2 考点五：合并同类项法则及应用 【典例精讲】（2024七下·永善期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（2024七上·崇明期末）若单项式与单项式是同类项，则它们的和为　 　． 【变式训练02】（2024七上·汕头期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，b﹣a 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|． 【变式训练03】（2024七上·农安期末）已知：关于x、 的多项式 与多项式 的差的值与字母x的取值无关，求代数式 的值. 考点六：整式加、减混合运算的实际应 【典例精讲】（2024七上·婺城期末） A、B、C．D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A、D的距离分别为、，车站C与车站D的距离为．其中a，b是不为0的实数． （1）求B、C两站之间的距离（用含a、b的代数式表示）． （2）若B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长8km，求出B、C两个车站相距多少km？ 【变式训练01】（2024七上·临平月考）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）． （1）做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？ （2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料 【变式训练02】（2024七上·叙州期末）绿源超市销售茶壶、茶杯，茶壶每只定价50元，茶杯每只定价6元．春节期间，超市将开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每买一只茶壶就赠一只茶杯； 方案二：茶壶和茶杯都按定价的90%付款． 某顾客计划到该超市购买茶壶8只和茶杯x只（茶杯数多于8只）． （1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ （2）当时，请通过计算说明该顾客选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【变式训练03】（2024七上·汉阳期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a=　 　，b=　 　，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA=2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其值． 1．（2024七上·嵊州期末）如图，某长方形花园的长为米，宽为米，现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加米，宽增加米，则整改后该花园的周长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024七上·萧山期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为2，则图甲和图乙中阴影部分周长之差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024七上·潮南期末）已知一个多项式与 的和为 ，则此多项式是（　　） A． B． C． D． 4．（2024七上·三台期末）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4bcm B．（3a+b）cm C．（2a+2b）cm D．（a+3b）cm 5．（2024七上·湛江期末）若式子的值与字母x的取值无关，则的值等于　 　． 6．（2024七上·南充期末）若关于的两个多项式与的和为三次三项式，则的值为　 　． 7．（2024七上·三台期末）如图，每个图都是由同样大小的正方形按一定规律组成，其中第①个图2个正方形，第②个图6个正方形，第③个图12个正方形，……第n个图中正方形有　 　个.（用n表示） 8．（2024七上·宣汉期末）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简　 　． 9．（2024七下·东莞期中）已知 A=2x2﹣9x﹣11，B=﹣6x+3x2+4，且B+C=A （1）求多项式C； （2）求 A+2B的值． 10．（2024七上·贵阳月考） 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： （1）把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是　 　； （2）已知x2-2y=4，求3x2-6y-21的值； （3）拓展探索： 已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 11．（2024七上·凤山期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： （1）把看成一个整体，合并　 　； （2）已知，求的值； （3）已知，，，求的值． 12．（2023七上·南昌期中）两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示，例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为．在数轴上A， B点对应的有理数分别为a，b，则可将A， B两点之间的距离表示为或，记为． （1）【解决问题】数轴上有理数与对应的两点之间的距离为　 　． （2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为　 　． （3）【拓展探究】如图A，B，P是数轴上的三点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点P在原点处．若点P以每秒2个单位长度的速度从原点出发向右匀速运动，同时点A以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．求运动后的值． 13．（2024七上·榆树期末）如图所示，两种长方形断桥铝窗框，已知窗框的长都是 米，宽都是 米，已知一用户需A型的窗框4个，B型的窗框3个． （1）用含 、 的式子表示共需断桥铝的长度（窗框本身宽度忽略不计） （2）若1米断桥铝的平均费用为200元，求当 ， 时，（1）中断桥铝的总费用为多少元？ 14．（2024七上·镇海区期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A． B． C． D． 15．（2023七上·龙水期中）有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：①第4次操作后的整式串为，，，a，b，；②第2022次操作后的整式串各项之和为；③第18次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（2023七上·杭州期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么（　　） 图1 图2 图3 A． B． C． D． 17．（2022七上·鄞州期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是　 　. 18．（2022七上·台州月考）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： （1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　 　个单位（其中点C不与点A重合）． （2）若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳　 　步，落脚点表示的数是　 　． （3）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　 　种，其中移动所走的距离和最小的是　 　个单位； （4）若数轴上有个动点表示的数是x，则|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值是　 　． 19．（2020七上·济南期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所求的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 ，已知小长方形纸片的长为 ，宽为 ，且 ．若 长度不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，而 的值总保持不变，则 满足的关系是　 　． 20．（2020七上·富平期中）定义新运算“ ”与“ ”： ， （1）计算的值 ； （2）若 ， ，求 的值. 21．（2023七上·江油月考）如图，数轴上的点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，且． （1）求a，b，c的值及线段长； （2）在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由（点P与已知点不重合）； （3）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 22．（2023七上·东乡区期中） 阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，则代数式．请根据以上材料解答下列问题： （1）若，则的值为　 　； （2）当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 23．（2024七上·简阳期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若，求m，n的值； （2）若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； （3）某同学在计算时，把A-2B看成了，得到的结果是，求出的正确值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 第 45 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 整式的加减 （新知解决+易错笔记+六大考点讲练+中等拔高分层练） 课程标准 课标解读 1. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值． 2. 掌握同类项的定义以及合并同类项的法则 1. 掌握整式的代值计算； 2. 整式的加减 现有三张卡片 问题1：用它们拼成各种形状不同的四边形，我们来算一算拼成的四边形的周长~ 周长=上长+下长+左长+右长 周长=下长+左长+剩余两边的长 =a+(b+a+b)+a+a =(b+a)+(b+a)+b+b =4a+2b =2a+4b 1.这两个四边形周长的和是? 2.这两个四边形周长的差是? 两个四边形周长的和： (4a+2b)+(2a+4b) =6a+6b 两个四边形周长的差： (4a+2b)-(2a+4b) =2a-2b 去括号、合并同类项，像这样的计算，就是整式的加减。 整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。 整式加减的一般步骤：1.去括号；2.合并同类项。 考点一：整式的加减运算 4 考点二：去括号法则及应用 6 考点三：添括号法则及应用 8 考点四：同类项的概念 8 考点五：合并同类项法则及应用 10 考点六：整式加、减混合运算的实际应 11 中档题真题训练 14 培优题真题训练 22 知识点01：整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． (1)整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． (2)两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 知识点02：整式加减法则 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是： ①如果遇到括号，按去括号法则去括号； ②合并同类项.。 整式的加减实际上就是去括号和合并同类项。合并同类项时，只能把同类项合为一项。如果同类项的系数互为相反数，合并同类项后为0，不是同类项的不合并，但每步运算中不能漏掉，在运算中，如果遇到括号，应先运用去括号法则去掉括号。当遇到多重括号时，每去掉一个括号后要及时合并同类项，以减少项数避免错误及简化计算。整式加减运算的结果书写形式的要求： ①结果按照某个字母的降幂或升幂排列； ②每一项的数字系数写前面； ③结果不出现带分数；带分数要化成假分数； ④结果不出现“÷”号，“÷”改写成分数的形式； ⑤结果中不再有括号(一般情况)。 知识点03：整式加减法则 一、同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 要点诠释： (1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 二、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． 易错笔记一：去括号时出现的错误 括号前是负号时未改变括号内各项的符号： 易错点：学生在去括号时，如果括号前是负号，经常忘记将括号内的每一项都变号。 例如：从表达式-(a+b)中去括号，应得到-a-b，但学生可能会错误地写成-a+b。 括号前有数字因数时未与括号内每一项相乘： 易错点：学生在处理括号前有数字因数的情况时，容易忘记将数字因数与括号内的每一项都相乘。 例如：从表达式3(a+b)中去括号，应得到3a+3b，但学生可能会错误地写成3a+b。 易错笔记二：合并同类项时出现的错误 未正确理解同类项的定义： 易错点：学生容易将次数相同或字母相同但字母的指数不同的项误认为是同类项。 例如：ab和a^2b不是同类项，但学生可能会误合并它们。 合并同类项时系数处理不当： 易错点：学生在合并同类项时，容易忽略系数的符号，或将系数相加时出错。 例如：合并-3a和5a时，应得到2a，但学生可能会得到-2a或8a。 合并后未保持字母及其指数不变： 易错点：在合并同类项后，学生可能会改变字母或其指数。 例如：合并3ax^2和2ax^2时，应得到5ax^2，但学生可能会错误地写成5ax或其他形式。 易错笔记三：整式加减运算顺序错误 未遵循“先去括号，再合并同类项”的顺序： 易错点：学生在进行整式加减运算时，容易忽略运算顺序，先进行合并同类项再去括号，导致错误。 考点一：整式的加减运算 【典例精讲】（2024七下·合肥期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下： （1）求所捂的多项式； （2）若a，b满足：，请求出所捂的多项式的值． 【答案】（1）解：根据题意得： （2）解： 代入 = =． 【思路点拨】（1）根据题意列出算式，再利用整式的加减法计算即可； （2）根据非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。 【变式训练01】（2024七上·覃塘期末）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【变式训练02】（2024七下·渝北开学考）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为 ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分周长的和是　 　 .（用含 或 的代数式来表示） 【答案】4x 【规范解答】解：设小长方形的短边长是a，则长边长是 ， 右上角阴影部分的周长是 ， 左下角阴影部分的周长是 ， . 故答案是：4x. 【思路点拨】设小长方形的短边长为a，用含y，a，x的代数式表示出长边，由此可表示出右上角阴影部分的周长，左下角阴影部分的周长；然后取出图2中阴影部分的周长和，化简即可。 【变式训练03】（2024七上·湛江期末）阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 对称式： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式． 问题： （1）给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可； （2）写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式； 写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式； （3）已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】（1） （2）， （3）不是对称式 考点二：去括号法则及应用 【典例精讲】（2024七上·杭州期末）已知：，． （1）计算的表达式； （2）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【变式训练01】（2024七上·播州期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意； B、∵，∴B不正确，不符合题意； C、∵，∴C正确，符合题意； D、∵不是同类项，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：C. 【思路点拨】利用去括号的计算方法、合并同类项的计算方法逐项分析判断即可. 【变式训练02】（2024七上·叙州期末）下列式子变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】 ，故A变形错误，不符合题意； ，故B变形正确，符合题意； ，故C变形错误，不符合题意； ，故D变形错误，不符合题意； 故答案为：B. 【思路点拨】根据去口号（添括号）法则进行变形即可求解. 8．（2024七上·湛江期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 考点三：添括号法则及应用 【典例精讲】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：A、C、D均添加括号正确，而B选项中，B错误. 故答案为：B. 【思路点拨】中，括号前是符号，因此若去括号后，原括号内的每一项均需要变号，因此B选项去括号错误. 【变式训练01】（2024七下·衡东月考）已知，则的值是　 　． 【答案】 【变式训练02】3ab-4bc+1=3ab-（　　），括号中所填入的整式应为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解： 3ab-4bc+1=3ab-（ 4bc-1） . 故答案为：C. 【思路点拨】根据添括号法则“括号前面是负号，括到括号内的各项需要变号”进行解答即可. 考点四：同类项的概念 【典例精讲】（2024七下·港南期中）若与的和是单项式，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解： 与的和是单项式，即 与都是同类项，所以2n-3=1，n=2；2m=8，m=4. 故答案为：C. 【思路点拨】因为和是单项式，所以与是同类项，即字母相同，相同字母的指数相同。 【变式训练01】（2024七上·福田期末）下列判断正确的是（　　） A．与不是同类项 B．和都是单项式 C．单项式的次数是3，系数是0 D．是三次三项式 【答案】D 【规范解答】解：∵3a2bc和a2bc是同类项， ∴A选项不符合题意； ∵是多项式， ∴B选项不符合题意； ∵单项式x3y2的次数是5，系数是1， ∴C选项不符合题意； ∵3x2-y+2xy2是三次三项式， ∴D选项符合题意. 故答案为：D. 【思路点拨】根据同类项的定义可判断A选项；根据多项式的定义可判断B、D选项；根据单项式的次数为所有字母的指数之和，系数为常数包括符号可判断C选项，据此逐项判断即可. 【变式训练02】（2023七上·凉州期中）若一3a5b3y与4a4x+1b6是同类项，则x=　 　，y=　 　． 【答案】1；2 【规范解答】解：由同类项的定义可得：5=4x+1且3y=6， 解得：x=1，y=2， 故答案为：1，2. 【思路点拨】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此建立关于字母x、y的方程，并解答即可. 【变式训练03】（2024七上·金华期末）下列各组代数式中，不是同类项的为（　　） A．与 B．与 C．与 D．与-2 【答案】C 【规范解答】解：与中，x和y的指数不相同，不是同类项； 故答案为：C. 【思路点拨】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.直接判断即可. 考点五：合并同类项法则及应用 【典例精讲】（2024七下·永善期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：A：，正确，符合题意； B：，错误，不符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意； 故答案为：A 【思路点拨】根据角度的定义，绝对值的性质，合并同类项，去括号法则逐项进行计算即可求出答案. 【变式训练01】（2024七上·崇明期末）若单项式与单项式是同类项，则它们的和为　 　． 【答案】 【规范解答】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴m=1，n=2， ∴. 故答案为：-3xy3. 【思路点拨】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，根据同类项的定义得出m，n的值，再根据合并同类项法则（合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，）进行计算，即可得出答案. 【变式训练02】（2024七上·汕头期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，b﹣a 　 　0，c﹣a 　 　0． （2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|． 【答案】（1）＜；＞；＞ （2）解：∵b-c＜0，b-a＞0，c-a＞0， ∴|b-c|+|b-a|-|c-a|=c-b+b-a-c+a=0． 【规范解答】解：（1）观察数轴可知：a＜0＜b＜c， ∴b-c＜0，b-a＞0，c-a＞0． 故答案为：＜；＞；＞． 【思路点拨】（1）结合数轴，利用特殊值法求解即可； （2）根据（1）中结果，去掉绝对值，再合并同类项即可。 【变式训练03】（2024七上·农安期末）已知：关于x、 的多项式 与多项式 的差的值与字母x的取值无关，求代数式 的值. 【答案】解： - =（1-b）x2+（a+3）x-7y+3+b 由于与字母x的取值无关所以1-b=0 ，a+3=0得b=1，a=-3 原式=-a2-7ab-4b2 当b=1，a=-3时 原式=-9+21-4=8 【思路点拨】根据整式的加减法法则可得(x2+ax-y+b)-(bx2-3x+6y-3)=(1-b)x2+(a+3)x-7y+3+b，根据题意可得1-b=0，a+3=0，求出a、b的值，利用去括号法则以及合并同类项法则对待求式进行化简，然后将a、b的值代入计算即可. 考点六：整式加、减混合运算的实际应 【典例精讲】（2024七上·婺城期末） A、B、C．D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A、D的距离分别为、，车站C与车站D的距离为．其中a，b是不为0的实数． （1）求B、C两站之间的距离（用含a、b的代数式表示）． （2）若B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长8km，求出B、C两个车站相距多少km？ 【答案】（1）解：， B、C两站的距离为. （2）解：由题意，得， ，即 答：B、C两个车站之间的距离是4km． 【思路点拨】（1）根据BC=BD-CD列出代数式求解； （2）根据“ B、D两个车站之间的距离比A、B两个车站之间的距离长8km”列出代数式进行解答. 【变式训练01】（2024七上·临平月考）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）． （1）做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？ （2）做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料 【答案】（1） （2） 【变式训练02】（2024七上·叙州期末）绿源超市销售茶壶、茶杯，茶壶每只定价50元，茶杯每只定价6元．春节期间，超市将开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案： 方案一：每买一只茶壶就赠一只茶杯； 方案二：茶壶和茶杯都按定价的90%付款． 某顾客计划到该超市购买茶壶8只和茶杯x只（茶杯数多于8只）． （1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ （2）当时，请通过计算说明该顾客选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【答案】（1）解：顾客按方案一购买，则需要付款： 元 顾客按方案二购买，则需要付款： 元 （2）解：当时， 方案一需付款： （元） 方案二需付款： （元） 选择方案二购买更省钱 【思路点拨】（1） 根据总付款=购买茶壶的付款+购买茶杯的付款列式化简即可求解； （2）将x=15代入两种方案进行计算并做比较即可求解. 【变式训练03】（2024七上·汉阳期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a=　 　，b=　 　，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA=2PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其值． 【答案】（1）-1；3 （2）解：①当P点在A点左侧时，PA ②当P点位于A、B两点之间 解得 ③当P点在B点右侧时 解得 故x的值为解得或． （3）解：t秒后，A点的值为，P点的值为2t，B点的值为 所以3PB-PA的值为定值，不随着时间t的变化而改变． 【规范解答】（1）解： AB=4，且OB=3OA，A、B对应的数分别是a、b， 故答案为： 【思路点拨】（1）由AB=4且OB=3OA可得OA=1，OB=3，根据点A、B的位置及数轴的特点可求出a、b； （2）分三种情况： ①当P点在A点左侧时 ，不存在；②当P点位于A、B两点之间，③当P点在B点右侧时，根据PA=2PB分别列出方程求出x值即可； （3） 求出t秒后，A点的值为，P点的值为2t，B点的值为 ，可得PB=3+3t-2t，PA=2t-（-1-t），然后求出3PB-PA的值，从而判断即可. 1．（2024七上·嵊州期末）如图，某长方形花园的长为米，宽为米，现根据实际需要对该花园进行整改，长方形花园的长增加米，宽增加米，则整改后该花园的周长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【规范解答】解：整改后花园的长为：（x+y）+（x-y）=2x(米)， 整改后花园的宽为：（x-y）+（x-2y）=2x－3y(米)， 故整改后花园的周长为2（2x+2x－3y）=8x－6y(米). 故答案为：D. 【思路点拨】根据整式加减法运算法则分别表示出整改后花园的长和宽，计算周长即可. 2．（2024七上·萧山期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为2，则图甲和图乙中阴影部分周长之差为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【规范解答】解：由图乙可知，长方体盒子底部的长为a+2b，则长方体盒子底部的宽为a+2b-2， ∴图甲中阴影部分的周长为：2（a+2b）+2（a+2b-2）＝4a+8b-4， 图乙中阴影部分的周长为：2a+2（a-2）+2×（2b-2）+2×2b＝4a+8b-8， ∴图甲和图乙中阴影部分周长之差为：（4a+8b-4）-（4a+8b-8）＝4． 故答案为：A． 【思路点拨】由图乙可知，长方体盒子底部的长为a+2b，则长方体盒子底部的宽为a+2b-2，观察图甲阴影部分周长等于盒子底部长方形的周长，即（a+2b）×2+（a+2b-2）×2；而图乙中阴影部分由两个长方形组成，其中较大的长方形阴影的长为a，宽为a+2b-2-2b＝a-2，较小的长方形阴影的长为2b，宽为a+2b-2-a＝2b-2，再利用长方形周长公式分别求出图甲和图乙中阴影部分的周长，并求差即可． 3．（2024七上·潮南期末）已知一个多项式与 的和为 ，则此多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】∵一个多项式与 的和为 ， ∴ - =2x2+x-2-2x2-3x+4=-2x+2， ∴此多项式是-2x+2， 故答案为：B． 【思路点拨】根据一个多项式与 的和为 ，列式计算求解即可。 4．（2024七上·三台期末）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm，宽为bcm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4bcm B．（3a+b）cm C．（2a+2b）cm D．（a+3b）cm 【答案】A 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得，即， ∴图②中两块阴影部分周长和是： 故答案为：A 【思路点拨】设小长方形的长为，宽为，进而结合题意即可得到，再根据题意进行整式的混合运算即可求解。 5．（2024七上·湛江期末）若式子的值与字母x的取值无关，则的值等于　 　． 【答案】4 6．（2024七上·南充期末）若关于的两个多项式与的和为三次三项式，则的值为　 　． 【答案】1 【规范解答】关于的两个多项式与的和为三次三项式， +=， 2m-2=0， 解得m=1， 故答案为：1. 【思路点拨】先根据整式的加减运算进行合并，再根据两个多项式的和为三次三项式，得到2m-2=0，解方程即可求解. 7．（2024七上·三台期末）如图，每个图都是由同样大小的正方形按一定规律组成，其中第①个图2个正方形，第②个图6个正方形，第③个图12个正方形，……第n个图中正方形有　 　个.（用n表示） 【答案】 【规范解答】解：设第n个图形中有an个正方形． 观察图形，可知：a1＝2，a2＝2+4＝6，a3＝2+4+6＝12，a4＝2+4+6+8＝20，…， ∴an＝2+4+6+…+（2n﹣2）+2n＝＝． 故答案为： 【思路点拨】设第n个图形中有an个正方形，进而观察即可得到a1＝2，a2＝2+4＝6，a3＝2+4+6＝12，a4＝2+4+6+8＝20，…，从而即可得到an. 8．（2024七上·宣汉期末）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简　 　． 【答案】 【规范解答】解：由数轴得，且， ∴，，， ． 故答案为： 【思路点拨】先根据数轴得到，且，进而得到，，，再化简含绝对值的有理数进而整式的加减运算即可求解。 9．（2024七下·东莞期中）已知 A=2x2﹣9x﹣11，B=﹣6x+3x2+4，且B+C=A （1）求多项式C； （2）求 A+2B的值． 【答案】（1）解：∵B+C=A， ∴C=A﹣B=（2x2﹣9x﹣11）﹣（﹣6x+3x2+4） =2x2﹣9x﹣11+6x﹣3x2﹣4 =﹣x2﹣3x﹣15 （2）解： A+2B= （2x2﹣9x﹣11）+2（﹣6x+3x2+4） =x2﹣ x﹣ ﹣12x+6x2+8 =7x2﹣ x+ 【思路点拨】（1）根据B+C=A，得出C=A-B，然后将A和B表示的式子代入，去括号化简即可； （2）直接将A和B表示的式子代入A+2B，然后去括号化简即可. 10．（2024七上·贵阳月考） 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学学习中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： （1）把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是　 　； （2）已知x2-2y=4，求3x2-6y-21的值； （3）拓展探索： 已知a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 【答案】（1）-(a-b)2 （2）解：因为x2-2y=4， 所以3x2-6y-21=3(x2-2y)-21=12-21=-9. （3）解：因为a-2b=3，①　2b-c=-5，②　c-d=10，③ 由①+②，得a-c=-2. 由②+③，得2b-d=5. 所以(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=-2+5-(-5)=8. 【规范解答】解：（1） 3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2 =-3(a-b)2+2(a-b)2=-(a-b)2 . 故答案为： -(a-b)2 . 【思路点拨】（1）根据整式的加减计算即可； （2）先 3x2-6y-21转化为3(x2-2y)-21，再把x2-2y=4 整体代入计算即可； （3）令 a-2b=3，①　2b-c=-5，②　c-d=10，③ ， 由①+②，得a-c=-2，②+③得2b-d=5.再整体代入计算即可. 11．（2024七上·凤山期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体，则．请尝试解决： （1）把看成一个整体，合并　 　； （2）已知，求的值； （3）已知，，，求的值． 【答案】（1） （2）解：∵， 又∵， ∴原式； （3）解：∵ ∴当，，时， 原式． 【规范解答】解：（1）把看成一个整体，则原式=， 故答案为：； 【思路点拨】（1）把看成一个整体，然后合并同类项即可求解； （2）把改写为，进而把代入即可求解； （3）把原式改写为：，然后把，，，代入即可求解. 12．（2023七上·南昌期中）两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示，例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为．在数轴上A， B点对应的有理数分别为a，b，则可将A， B两点之间的距离表示为或，记为． （1）【解决问题】数轴上有理数与对应的两点之间的距离为　 　． （2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为　 　． （3）【拓展探究】如图A，B，P是数轴上的三点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点P在原点处．若点P以每秒2个单位长度的速度从原点出发向右匀速运动，同时点A以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．求运动后的值． 【答案】（1）5 （2） （3）解：根据题意有：，，， ∴，， ∴， 故所求的值为 【规范解答】解：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：； 【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离公式计算； （2）根据数轴上两点间的距离公式根计算； （3）根据运动特点可知：，，，再代入求值即可． 13．（2024七上·榆树期末）如图所示，两种长方形断桥铝窗框，已知窗框的长都是 米，宽都是 米，已知一用户需A型的窗框4个，B型的窗框3个． （1）用含 、 的式子表示共需断桥铝的长度（窗框本身宽度忽略不计） （2）若1米断桥铝的平均费用为200元，求当 ， 时，（1）中断桥铝的总费用为多少元？ 【答案】（1）解：由题意得： ， ， （米）， 答：共需断桥铝的长度为 米 （2）解：将 代入（1）的结论得：总长度为 （米）， 则总费用为 （元）， 答：（1）中断桥铝的总费用为12400元． 【思路点拨】（1）先根据题意列出运算式子，再根据整式的加减运算法则进行化简即可得（2）先根据（1）的结论，求出总长度，再乘以200即可得． 14．（2024七上·镇海区期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A． B． C． D． 【答案】B 15．（2023七上·龙水期中）有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：①第4次操作后的整式串为，，，a，b，；②第2022次操作后的整式串各项之和为；③第18次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【规范解答】解：第1次操作后得到整式串，，；各项之和为 第2次操作后得到整式串，，，；各项之和为； 第3次操作后得到整式串，，，，；各项之和为； 第4次操作后得到整式串，，，，，；各项之和为，①正确； 第5次操作后得到整式串，，，，，，；各项之和为； 第6次操作后得到整式串，，，，，，，；各项之和为； 第7次操作后得到整式串，，，，，，，，；各项之和为； …… 所以，各项之和以次操作为一个周期依次循环． ∵， ∴第次操作后的整式串各项之和与第次操作后的整式串各项之和相同，为，②不正确； ∵， ∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为， ∴第次操作增加的项为． ∵， ∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为， ∴第次操作增加的项为， ∴第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数，③正确． 故答案为：B 【思路点拨】先根据题意进行前7次操作，进而即可得到各项之和以次操作为一个周期依次循环，再结合题意即可判断①②③。 16．（2023七上·杭州期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么（　　） 图1 图2 图3 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，则C1=2（a+20）+2a=(4a+40) cm， C2=2（a+20）+2（a-y）+2（a-x）=6a+40-2（x+y）， 由图3知，x+y=a+20， ∴ C2=6a+40-2（x+y）=6a+40-2（a+20）=4a cm ， ∴ C1- C2=40 cm. 故答案为：D. 【思路点拨】设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图3得x+y=a+20，然后表示出 图2中阴影部分的周长为 和 图3中阴影部分的周长为 ，最后作差即可. 17．（2022七上·鄞州期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是　 　. 【答案】 【规范解答】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm， 由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x， ∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC， ∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y， ∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样， ∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y， ∵3b＋2y＝a＋x， ∴x＝3b， ∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝， 故答案是：. 【思路点拨】设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，结合图形分别求出图（3）、图（4）阴影部分周长，利用“两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样”建立等式，可得a＝2y，x＝3b，根据长方形的面积公式求其比值即可； 18．（2022七上·台州月考）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： （1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　 　个单位（其中点C不与点A重合）． （2）若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳　 　步，落脚点表示的数是　 　． （3）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　 　种，其中移动所走的距离和最小的是　 　个单位； （4）若数轴上有个动点表示的数是x，则|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值是　 　． 【答案】（1）3 （2）197；-100 （3）3；7 （4）7 【规范解答】解：设将点C向左移动x个单位， ∵移动后，使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等， ∴3-x-（-2）=-2-（-4） 解之：x=3. 故答案为：3 （2）∵小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步… ∴第n次跳（2n-1）步， 当n=99时2×99-1=197； 落脚点表示的数是 -1-1+3-5+7-+195-197 =-1+（-1+3）+（-5+7）+（195-197） =-1-197+2×=-100. 故答案为：197，-100 （3）方法1：若移动B，C，将点B向左移动2个单位（-2-2=-4），将点C向左移动7个单位（3-7=-4），一共移动了2+7=9个单位； 方法2：移动A，C，将点A向右移动2个单位（-4+2=-2），将点C向左移动5个单位（3-5=-2），一共移动2+5=7个单位； 方法3：移动B，A，将点B向右移动5个单位（-2+5=3），将点A向右移动7个单位（-4+7=3），一共移动5+7=12个单位； 移动方法有3种，其中移动所走的距离和最小的是7个单位. 故答案为：3，7 （4）∵|x+4|≥0，|x+2|≥0，|x-3|≥0， 当x≥3时，原式=x+4+x+2+x-3=3x+3， 当x=3时有最小值为3×3+3=12； 当x≤-4时，原式=-x-4-x-2-x+3=-3x-3， 当x=-4时，有最小值为-3×（-4）-3=9； 当-4≤x≤-2时，原式=x+4-x-2-x+3=-x+5， 当x=-2时有最小值为2+5=7； 当-2＜x＜3时原式=x+4+x+2-x+3=x+9， 其最小值大于8， ∴当x=-2时|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值是7. 故答案为：7 【思路点拨】（1）设将点C向左移动x个单位，根据移动后，使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值. （2）利用小青蛙的运动方向和速度，可知第n次跳（2n-1）步，将n=99代入可求出小青蛙跳的步数；然后列式计算求出落脚点表示的数. （3）利用点的运动，分情况讨论：若移动B，C到点A；移动B，A到点C；移动A，C到点B，然后求出移动所走的距离和；然后比较大小，可得答案. （4）利用绝对值的非负性，分情况讨论：当x≥3时；当x≤-4时；当-4≤x≤-2时；当-2＜x＜3时；利用绝对值的性质分别化简，再分别求出其最小值；然后比较大小，可得|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值. 19．（2020七上·济南期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所求的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 ，已知小长方形纸片的长为 ，宽为 ，且 ．若 长度不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，而 的值总保持不变，则 满足的关系是　 　． 【答案】a=4b 【规范解答】解：设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a， 则AB=4b+a，AD=y+3b， ∵x+a=y+3b， ∴y-x=a-3b， S1与S2的差=ay-4bx=ay-4b（y-a+3b）=（a-4b）y+4ab-12b2， ∴a-4b=0， 即a=4b． 故答案为：a=4b． 【思路点拨】表示出左上角与右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与AD无关即可求出a与b的关系式． 20．（2020七上·富平期中）定义新运算“ ”与“ ”： ， （1）计算的值 ； （2）若 ， ，求 的值. 【答案】（1）解： （2）解： 则 【思路点拨】 （1）将a=3，b=-2代入 算出被减数，将a=-2，b=-1代入算出减数，再求差即可； （2）将a=3b，b=-a代入 算出第一个加数，将a=a，b=2-3b代入算出第二个加数，再求和即可得出A； 将a=a，b=-3b代入 算出第一个加数，将a=-a，b=-2-9b代入算出第二个加数，再求和即可得出B，最后根据整式加法求出A+B即可. 21．（2023七上·江油月考）如图，数轴上的点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，且． （1）求a，b，c的值及线段长； （2）在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由（点P与已知点不重合）； （3）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的值． 【答案】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴； （2）存在，设点P对应的数为x， 当点P在点A、B之间时，由得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当点P在点A的左边时，由得：， 解得：， 当点P在点B、C之间时，由得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当点P在点C的右边时，由得：， 解得：（不符合题意）， 综上所述，； （3）点A向左运动t秒后，其表示的数为：， 点B向右运动t秒后，其表示的数为：， 点C向右运动t秒后，其表示的数为：， ∴， ， ∴ ． 即的值不会随着时间t的变化而变化． 【思路点拨】（1）根据题意先求出 ，，， 再求出a，b和c的值，最后求出AC的值即可； （2）先设点P对应的数为x，再分类讨论，列方程计算求解即可； （3）先求出点A，点B和点C表示的数，再求出AC和BC，最后计算求解即可。 22．（2023七上·东乡区期中） 阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，则代数式．请根据以上材料解答下列问题： （1）若，则的值为　 　； （2）当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）0 （2）解：依题意得： 当时，，即：， 当时， ． （3）解：因为当时，代数式的值为， 所以． 所以． 所以当时， ． 【规范解答】解：依题意得： ， 故答案为：0． 【思路点拨】（1）将 变形为，再整体代入计算。 （2）当时，得，变形得P+q=4，再将，代入代数式整理和整体代入计算； （3）当时，得，再将代入原代数式整理变形即可求解； 23．（2024七上·简阳期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： （1）若，求m，n的值； （2）若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； （3）某同学在计算时，把A-2B看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【答案】（1）解：，． ，，， ，． （2）解：， 且无一次项， ，解得， 由得， （3）解：， ， ， ． 【思路点拨】（1）根据程序设置的定义，建立m、n的方程，求解即可； （2）先确定乘积中的一次项的系数，再根据不含一次项 ，确定一次项的系数等于零，求解即可； （3）先计算2A-B，结果对比并列出关于m的方程，解方程求出m的值，再求出A-2B即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 第 45 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$