精品解析：河南省安阳市滑县枣村乡第三初级中学2023—2024学年八年级下学期数学第三次月考试卷

河南省安阳市滑县枣村乡第三初级中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、单选题(共30分) 1. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 3. 某学校采用药薰消毒法对教室进行消毒．现测得不同时刻的含药量（毫克）与时间（分钟）的数据如下表所示，则最可能表示与的函数关系的是（ ） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 A. B. C. D. 4. 如图，在中，于E，交延长线于F，若，，，则的长为（ ） A. 1.6 B. 3.2 C. 4.8 D. 2.4 5. 一组数据：3，5，4，6，x，平均数为5，则这组数据的中位数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ 8. 如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，则的周长是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 在正方形中，分别在边上，且，若的面积分别记为：，则等式一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题(共15分) 11. 计算：_____． 12. 若的值为1，则n的值为_________________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第个点的坐标为___________． 14. 如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是______． 15. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若，，则的长为________． 三、解答题(共75分) 16. 解分式方程：； 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）则________，________； （2）若时，则的取值范围是______． （3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长． 18. 如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，，当时，求的面积． 19. 气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年某地区从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月26日的“日平均气温”是5月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的，则5月26日便是2021年该地区的“入夏日” 已知该地区2022年“入夏日”为上图中的某一天，请根据统计图回答问题： （1）求2022年5月27日的“5天滑动平均气温”； （2）直接写出2022年的“入夏日”； （3）某人说：“该地区2022年的春天比2021年长．”你认为这样的说法正确吗?为什么?（该地区2021年、2022年的入春日分别是3月23日和3月8日） 20. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成任务． 材料：近几年来，我国已成为全球最大的电动汽车销售市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．求这款电动汽车平均每公里的充电费． 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得…… 老师在解此方程时给大家介绍了一种新的解法，如下： ，从而可得， 解得． 经检验，是原方程的根…… 探究：小明同学对老师的这一解法非常感兴趣，于是自己随意找了几个式子进行探究． 由比例式，得成立，同时由，得也成立，由此发现规律． 任务： （1）已知a，b，c，d均不为0，若，则有①_______；②_________． （2）请用上述规律，解分式方程：． 21. 综合与实践： 在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线： （1）知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． （2）类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． 22. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为　　． 23. 矩形中，E是边上的一个动点，连接，将四边形沿直线折叠后，使点A落在F处，点B落在G处． （1）如图1，连接．求证：; （2）如图2，连接，若，当的面积最小时，求的长； （3）如图3，四边形是正方形，，当是直角三角形时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省安阳市滑县枣村乡第三初级中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、单选题(共30分) 1. 不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 2. 若分式有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式是解题的关键； 根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】由题意可得: , 解得： 故选：D． 3. 某学校采用药薰消毒法对教室进行消毒．现测得不同时刻的含药量（毫克）与时间（分钟）的数据如下表所示，则最可能表示与的函数关系的是（ ） 0 2 4 6 8 10 12 16 20 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图像法表示函数之间的关系，通过表格可知，分钟，每2分钟，含药量增加1.5毫克，与成正比例关系，分钟以后，为定值，为反比例关系，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：分钟，每2分钟，含药量增加1.5毫克，与成正比例关系，分钟以后，为定值，为反比例关系，故最可能表示与的函数关系的是： ； 故选B． 4. 如图，在中，于E，交延长线于F，若，，，则的长为（ ） A. 1.6 B. 3.2 C. 4.8 D. 2.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的面积，平行四边形的面积=底高．根据面积法即可求出的长．熟练掌握平行四边形的面积的公式是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 解得， 故选：B． 5. 一组数据：3，5，4，6，x，平均数为5，则这组数据的中位数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中间两个数的平均数即可． 【详解】解：∵一组数据：3，5，4，6，x，平均数为5， ∴， 解得x＝7， ∴这组数据为3，4，5，6，7， 则这组数据的中位数为5， 故选：C． 【点睛】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是求出 x 的值． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，选项C不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键． 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ②∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确； ③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确； ④∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵∠ADC=∠ABC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； ⑤∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AO=CO， 又∵OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确； ∵∠BCD+∠ADC=180°， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； ⑥∵∠DBA=∠CAB， ∴OA=OB， ∵AB∥CD， ∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD， ∵∠DBA=∠CAB， ∴∠CDB=∠ACD， ∴OC=OD， 不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8. 如图，在的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点，，均为格点（即小正方形的顶点），其中点，的坐标分别记为，，过点作直线，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，以及一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求出直线的解析式，结合求出直线的解析式，然后逐项代入验证即可． 【详解】解：设直线的解析式， 把，代入，得 ， ∴， ∴， ∵点的坐标分别记为， ∴点P的坐标分别记为， ∵， 直线的解析式． A．当时，，∴不可能是点的坐标； B．当时，，∴可能是点的坐标； C．当时，，∴不可能是点的坐标； D．当时，，∴不可能是点的坐标； 故选B． 9. 在中，，，，则的周长是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：存在两种情况，然后分别画出相应的图形，根据勾股定理，即可求得的长，从而可以计算出的周长． 【详解】第一种情况：作，交于点E，如图1所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长是：； 第二种情况：作，交的延长线于点E，如图2所示， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长是：； 由上可得，的周长是或， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 10. 在正方形中，分别在边上，且，若的面积分别记为：，则等式一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到，使，连接，可得绕点逆时针旋转与重合，，，从而，和关于对称，即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接． ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴绕点逆时针旋转与重合， ∴，， 又∵， ∴，， ∴和关于对称， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转变换构造三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过做辅助线构造全等三角形． 二、填空题(共15分) 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂的求解，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别计算，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若的值为1，则n的值为_________________． 【答案】4，2，0 【解析】 【分析】分别讨论，①底数为，②底数不为零，指数为0的情况，得出n的值即可． 【详解】解：①当时，，此时； ②当时，，此时； ③当，时，，此时； 故可得n的值为4，2，0． 故答案为：4，2，0． 【点睛】本题考查了零指数幂的知识，需要分情况讨论，注意不要漏解． 13. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第个点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推2个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而， ， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推2个点的坐标为：． 故答案为： 【点睛】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 14. 如图，已知直线：和直线：相交于点，且，当时，的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、一次函数与不等式等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．过点作轴于点，利用勾股定理解得的值，进而可确定点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， ∵， ∴，, 又∵， ∴在中，可有， 即，解得或（舍去）， ∴， 由图像可知，当时，的函数图像在的函数图像下方， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，在中，由勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，解得， ∴的长为， 故答案为：． 三、解答题(共75分) 16. 解分式方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）则________，________； （2）若时，则的取值范围是______． （3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长． 【答案】（1），； （2）或； （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，待定系数法等知识， 数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案； （3）求出点到的距离，，根据即可得到． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， 当或时，， 故答案为：或； 【小问3详解】 轴，， ， ， 点到的距离， ，， ， ， ， ． 18. 如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，，当时，求的面积． 【答案】（1） 证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）4 （3）8 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； 【小问3详解】 解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 19. 气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年某地区从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月26日的“日平均气温”是5月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的，则5月26日便是2021年该地区的“入夏日” 已知该地区2022年“入夏日”为上图中的某一天，请根据统计图回答问题： （1）求2022年5月27日的“5天滑动平均气温”； （2）直接写出2022年的“入夏日”； （3）某人说：“该地区2022年的春天比2021年长．”你认为这样的说法正确吗?为什么?（该地区2021年、2022年的入春日分别是3月23日和3月8日） 【答案】（1）22℃ （2）5月25日是该地区2022年的“入夏日” （3） “该地区2022年的春天比2021年长．”这样的说法正确， ∵该地区2021年入春日是3月23日，入夏日5月26日，该地区2022年入春日是3月8日，入夏日5月25日， ∴该地区2022年的春天比2021年长． 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算即可； （2）根据统计图中数据即可判断； （3）根据该地区2021年、2022年的如春日和入夏日的具体日期即可判断． 【小问1详解】 2022年5月27日的“5天滑动平均气温”为： ℃； 【小问2详解】 ∵从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月25日的“日平均气温”是5月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的， ∴5月25日是该地区2022年的“入夏日”． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了平均数，解题的关键是理解“入夏日”的定义和平均数的定义． 20. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成任务． 材料：近几年来，我国已成为全球最大的电动汽车销售市场，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．求这款电动汽车平均每公里的充电费． 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得…… 老师在解此方程时给大家介绍了一种新的解法，如下： ，从而可得， 解得． 经检验，是原方程的根…… 探究：小明同学对老师的这一解法非常感兴趣，于是自己随意找了几个式子进行探究． 由比例式，得成立，同时由，得也成立，由此发现规律． 任务： （1）已知a，b，c，d均不为0，若，则有①_______；②_________． （2）请用上述规律，解分式方程：． 【答案】（1）①；② （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）设，则，，代入计算即可求解； （2）利用规律，求解即可． 【小问1详解】 解：已知a，b，c，d均不为0，若， 设，则，， ∴，， ∴①；②． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 21. 综合与实践： 在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线： （1）知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则________（用含α的式子表示）． （2）类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】（1）①；②； （2） 解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可解答； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，最后根据平行线的判定定理即可解答． 【小问1详解】 解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴ ∴ ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为　　． 【答案】（1） 证明：如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点E是中点； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可证，进而得到，利用等腰三角形的性质与判定可得，即可得证； （2）先求，然后证明，，最后利用线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 23. 矩形中，E是边上的一个动点，连接，将四边形沿直线折叠后，使点A落在F处，点B落在G处． （1）如图1，连接．求证：; （2）如图2，连接，若，当的面积最小时，求的长； （3）如图3，四边形是正方形，，当是直角三角形时，请你直接写出的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴； （2） （3）当为或时，是直角三角形 【解析】 【分析】（1）连接，，根据折叠的性质和矩形的性质证明即可解题； （2）根据三角形的三边之间的关系可得：，可知当G、D、C三点共线时最小，如图，这时，面积最小，计算即可； （3）分和两种情况分别画图、计算解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 根据三角形的三边之间的关系可得：，即， 且当G、D、C三点共线时，则，最小，如图，这时，面积最小， 则为矩形， ∴， 又∵是矩形， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：如图，当时，延长交于点M， 由折叠可得，， ∴， 又∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴； 当时，则与在一条线上，如图，则D与E重合， 这时； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，三角形三边之间的关系，掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $