精品解析：四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年度第二学期期末模拟考试 高2023级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得. 【详解】由，得， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示.已知，则平面图形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出梯形的原图并确定对应边长，计算即可. 【详解】画出梯形的原图，如图所示： 在直观图中，， 得，则在原图中，，， 四边形是直角梯形， 所以. 故选：C 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 5. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解． 【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为， 于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为． 故降雨量等级为暴雨， 故选：D 6. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 其最小正周期为，A选项错误； 由，得，在上单调递减，B选项正确； ，为偶函数，C选项错误； 当时，，所以单调递减， 最大值为，D选项错误. 故选：B. 7. 如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为，，由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故选：C 8. 在中，，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在中取中点为，且点在直线上，由数量积运算可得，从而得解. 【详解】因为，易知为等腰直角三角形且， 取中点为，则，又点满足，则点在直线上， 所以， 由，则，结合图知，所以. 故选：A 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与平行，故A正确； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时，故B正确； 若，不可能与垂直和相交，故C错误； 在正方体中， 若是平面，为，为， 此时与异面，故D正确. 故选：ABD. 10. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断. 【详解】选项A：由正弦定理得： 又余弦定理得 故又故故选项A正确， 选项B：因为在中，故故选项B错误， 选项C：当时，或即或故为等腰或直角三角形，故选项C正确， 选项D：又则若，则有两解正确，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 与所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可得，即可判断；对于B，由，而三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C，可证得平面，则，即可判断；对于D，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的角为，即可判断. 【详解】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确； 对于D，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. 13. 在中，分别为的中点，交于点.若，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得的长度，即可根据余弦定理求解. 【详解】因为在中，、分别为、的中点，交于点， 则为的重心，所以 ， 由平面向量数量积的定义可得， 故 ， 又,由余弦定理可得． 故答案为：． 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 已知向量满足，，且在上的投影向量为. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得； （2）由向量垂直建立方程，求解即可． 【小问1详解】 因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以，即， 得，解得． 16. 记的内角的对边分别为，若，且. （1）求及； （2）若点在边上，且，求的面积. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，继而求解,由正弦定理边角互化即可求解, （2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由得：， ， ，，故， 由于,所以， 由正弦定理以及可得，所以， 【小问2详解】 ， ， ， ， 由于，，所以，解得或（舍去） 所以 17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a的值，再求平均值即可； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75，求估计分位数为，即可判断； （3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96． 18. 在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接和， 因为，分别为，的中点，所以，且, 又，且, 所以，且． 所以四边形是平行四边形． 所以．平面,平面 故平面 （2）证明：由于在平行四边形中，分别为的中点， 所以，则， 因此，又，故， 由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又平面， 故平面， 平面，故平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）根据面面垂直的性质即可求解， （3）利用等体积法，求解点到平面的距离，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故平面, 由（2）知平面, 平面，故， 设点到平面的距离为，则，故， 设与平面所成角为，则. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解； （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解； （3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解. 【小问1详解】 ，绕着点顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点的坐标为； 【小问2详解】 由费马点的求法知： 绕着点顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； 【小问3详解】 通过材料可以知道，内部有一点，连接， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角， 即此时点满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则. 【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年度第二学期期末模拟考试 高2023级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示.已知，则平面图形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 6. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上的最大值为 7. 如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，点满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 10. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 与所成的角为 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 13. 在中，分别为的中点，交于点.若，，则__________. 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 已知向量满足，，且在上的投影向量为. （1）求及的值； （2）若，求的值. 16. 记的内角的对边分别为，若，且. （1）求及； （2）若点在边上，且，求的面积. 17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 18. 在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $