2024年广西桂林市七星区国龙外国语学校中考数学模拟试卷

2024年广西桂林市七星区国龙外国语学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. 2024 C. D. 2.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为米，数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列代数式中，是分式的是(    ) A. B. C. D. 4.某小区有6000人，随机调查了1200人，其中500人观看了杭州亚运会的比赛.在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是(    ) A. B. C. D. 5.如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 6.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.如图，直线，直线，若，则(    ) A. B. C. D. 8.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，A、B、C是半径为4的上的三点.如果，那么的长为(    ) A. B. C. D. 10.在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔B位于船A的北偏东方向海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 4海里 12.如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，H是AF的中点.若，，则CH的长为(    ) A. B. C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13.要使式子有意义，则字母x的取值范围是______. 14.方程的根为______. 15.在平面直角坐标系xOy中，已知，，线段AB平行于x轴，且，则______. 16.我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡.如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人，可列出方程为：______. 17.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在y轴上，连接AC、BC，则______. 18.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，，，G，H为垂足，连接若，，，则GH的最小值是______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 计算： 20.本小题6分 先化简，再求值：，其中 21.本小题10分 如图，在中，，D是AB延长线上的一点. 尺规作图：作； 在的条件下，证明BE平分 22.本小题10分 北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年.某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高.现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82； 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中：______，______，______； 根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由一条理由即可； 若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 23.本小题10分 如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角，折射角，MN、为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米. 求BC的长；结果保留根号 如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取 24.本小题10分 如图，AB为的直径，点C在上，点P是直径AB上的一点不与A，B重合，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点 在线段PQ上取一点D，使，连接DC，试为断CD与的位置关系，并说明理由. 若，，，求QC的长. 25.本小题10分 综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片.王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形如图 纸片序号n 1 2 3 4 5 裁剪得到的小长方形个数m 2 6 12 【分析问题】 请补全上面表格，并在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点，再用平滑曲线连接.根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在______函数关系填类型 【猜想验证】为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数列数”的方法得到. 请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为______. 【解决问题】某农科研究所有一块矩形的耕地如图，，，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验.按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题. 若将此耕地分成72个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量； 为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的，求小长方形耕地的总数量. 26.本小题10分 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动. 观察发现 如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设米，E是AB边上的动点.连接CE，DE，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值. 探究迁移 工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮ABCD上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且，，设，的面积为 ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值. 如图3，在的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是CG上的一点，连接FH，当四边形EFHG的面积为时，求GH的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 故选： 根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2.【答案】B  【解析】解： 故选： 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案． 本题考查科学记数法-表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法． 3.【答案】C  【解析】解：A、是单项式，属于整式，不符合题意； B、是多项式，属于整式，不符合题意； C、是分式，故选项符合题意； D、是多项式，属于整式，不符合题意， 故选： 根据分式的定义分析判断即可． 本题考查了分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：随机调查了1200人，其中500人观看了杭州亚运会的比赛， 该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是， 故选： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 本题主要考查的是概率公式，熟知概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：从上面看，可得选项D的图形． 故选： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 6.【答案】B  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故选： 根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到 【解答】 解：直线，， ， 直线， 故选： 8.【答案】A  【解析】解：A、，故A符合题意； B、不属于同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 9.【答案】A  【解析】解：如图，连接OA、 ， ， ， 的长是： 故选： 根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式 10.【答案】D  【解析】解：一次函数， 直线经过点，A、C不合题意； B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，矛盾，不合题意； D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知，反比例函数的图象在一、三象限可知，一致，符合题意； 故选： 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值． 11.【答案】A  【解析】解：如图，作于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作于 在直角中，，，， 在直角中，，， ， 在直角中，，， 故选： 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作于解直角，求出解直角，求出，那么再解直角，得出 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12.【答案】A  【解析】解：连接AC，CF， 四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ， ， ，， ，， ， 是中点， ， 故选： 连接AC，CF，易得，由，可得，，则，由H是中点可得即可解答． 本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 13.【答案】  【解析】解： 故答案为： 根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 14.【答案】，  【解析】解：， ， ， ，或， ，， 故答案为：， 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法． 15.【答案】或3  【解析】解：线段AB平行于x轴，且， 点A在点B的左边或右边2个单位长度． 又点B坐标为，点A坐标为， 或， 即a的值为或 故答案为：或 根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：若设有x人，则鸡的价钱是文钱或文钱， 根据题意得：， 故答案为： 设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是文钱或文钱，根据鸡的价格不变可得，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 17.【答案】5  【解析】解：如图，连接OA， 点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B， ， 又， ， 故答案为： 根据反比例函数系数k的几何意义可得，再根据平行线间的距离处处相等和三角形的面积公式得出即可． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线的性质以及三角形面积的计算，掌握平行线的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提． 18.【答案】8  【解析】解：连接AC、AP、CP，如图所示： 四边形ABCD是矩形， ，， ， 是线段EF的中点， ， ，， ， 四边形PGCH是矩形， ， 当A、P、C三点共线时，CP最小， 的最小值是8， 故答案为： 连接AC、AP、CP，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形PGCH是矩形，得，当A、P、C三点共线时，CP最小，即可求解． 本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键． 19.【答案】解：   【解析】先算乘方和括号内的式子，再算括号外乘除法即可． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】解：原式 ， 当时， 原式   【解析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 本题考查了整式的化简求值，掌握整式化简求值的方法是关键． 21.【答案】解：如图，即为所求． 证明：， ， ， ， ， ， 平分  【解析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 根据平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质可得结论． 本题考查作图-基本作图、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 22.【答案】  【解析】解：被抽取的学生测试得分的所有数据中，88出现3次是出现次数最多的数据， ； 组占比为：， ； 九年级被抽取的学生测试得分A组有：个，B组有：个， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是第10，第11个数据是C组的77，78， 故答案为：88，，25； 答案不唯一，比如： 八年级更高．理由如下： 因为八，九年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数分大于九年级成绩的中位数分，所以八年级的学生对事件的关注与了解程度更高； 八年级处于C组的有4个数据，占比，九处于C组的占比， 估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有人， 答：估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人． 根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；根据九年级C组所占百分比确定C的值； 根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； 将样本中八年级得分再C组的比例乘以900，将样本中九年级得分再C组的比例乘以800，再相加即可． 本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取信息，理解相关概念的大于是解题的关键． 23.【答案】解：作，交CB的延长线于点F， 则， ，， ，， ，， 米， 米，米， 米， 即BC的长为米； 设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， 米，米， ， ， 解得， 即水池的深约为米．  【解析】根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值； 根据中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24.【答案】解：与相切．理由如下：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而OC为的半径， 为的切线； 连接AC，如图， 为的直径， ， 在中，， ，， ∽， ， ， ，   【解析】连接OC，由得，得，根据得到，则，再利用平角的定义得到，然后根据切线的判定定理得到CD为的切线； 连接AC，由AB为的直径得，根据勾股定理求得BQ、BC，然后根据三角形相似的性质求得BC，最后利用进行计算即可． 本题考查了切线的判定和勾股定理的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查等腰三角形的性质以及三角形相似的判定和性质． 25.【答案】二次函数    【解析】解：由图例知，当时，如图： 共有20个小长方形； 当时，如图： 共有30个小长方形； 纸片序号n 1 2 3 4 5 裁剪得到的小长方形个数m 2 6 12 20 30 描点，连线， 猜想：裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数关系为二次函数． 从“形”的角度出发，裁剪得到的小长方形个数可以用“行数列数”的方法得到； 故答案为：二次函数； 小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为， 验证： 由图例知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， ， 故答案为：； 由题意得，， 为正整数， 负值已舍去， 竖直方向分割用的实线数量为8； 设水平方向有n条道路，竖直方向有条道路， 由题意得：， 整理得：， 解得：或舍去， 是水平方向小路数量，水平方向耕地数量为8，竖直方向耕地数量为9， 耕地块数为块， 小长方形耕地的总数量72块． 根据已知纸片可以画出和时的纸片图形，从而得出结论；再用描点，连线画出图象得出小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数关系； 根据图片猜想出小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数解析式，再进行验证即可； 根据题意得出，解方程求出n的值； 设总共有块耕地，根据小路的面积之和占此耕地面积的列出方程，解方程即可． 本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是根据剪纸图片找到二次函数解析式和根据题意列出方程． 26.【答案】解：， ， ， 即， ， 当时，y的最大值为； ①由题可知，，， ， ， ，， ， ， 的面积=矩形ABCD的面积-梯形AEGD的面积的面积的面积， 即， 即， ，， ； ②， ，且， 当时，y的最大值为5； 如图4，连接FH， ， 在的条件下，且点F位于的面积最大时的位置时， 此时的面积为5，， 四边形EFHG的面积的面积的面积， 的面积， ，   【解析】利用三角形的面积即可表示出y与x的函数关系式，并根据二次函数解析式求出y的最大值； 利用矩形面积减掉直角梯形和两个直角三角形的面积即可得到y与x的函数关系式，根据实际应用题中有意义的条件，得出x的取值范围，进而得到y的最大值； 在的条件下可以得到的面积，进而得到的面积，即可求出GH的长． 本题考查了二次函数的性质与矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是会用配方法求解二次函数的最值，会用割补法求解不规则图形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$