高三开学模拟考02（能力提升）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 高三开学模拟考02（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 3．已知为等比数列的前项积，若，且（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（     ） A． B． C． D． 6．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．平面直角坐标系中，等边的边长为2，M为中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ） A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆 8．关于函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，函数在上恒成立 C．当或时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点，记为，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ） A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 10．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 11．已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（　　） A．为偶函数 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知单位向量满足，则 . 13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 . 14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 16．（15分）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为、，投中得分，投不中得分．两人的每次投球均相互独立． (1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0分的概率； (2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和的分布列及其数学期望． 17．（15分）设函数的两个极值点分别为． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 18．（17分）如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 19．（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 高三开学模拟考02（能力提升） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C C C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． （2）由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16．（15分）【详解】（1）由题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，“两人各投球一次，得分之和为0分”为事件， 则，，，, ，所以. 故甲、乙两人各投球一次，两人得分之和为0分的概率是. （2）记甲、乙两人各投球一次，若此时两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ，，， 甲乙两人各投球两次，两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ， ， ， 甲、乙两人各投球两次，两人得分之和概率分布列为： 故甲、乙两人各投球两次，两人得分之和的数学期望为. 17．（15分）【详解】（1）由题，定义域为． 则， 由题可得有两个不等实数根， 于是有两个不同的实数根， 等价于函数与图像在有两个不同的交点， ，由，由， 所以在递增，在递减， 又有极大值为，当时，， 所以可得函数的草图（如图所示）． 所以，要使函数与图像在有两个不同的交点， 当且仅当，即实数的取值范围为 （2）由（1）可知：是方程的两个实数根，且， 则， 即，令， 令，则， 所以在上单调递增，且，所以， 于是，当时，有，即， 综上所述，，即的取值范围是． 18．（17分）【详解】（1）因为平面，所以． 因为N是的中点，所以，故． 又因为，所以是等边三角形． 因为的面积为，所以． 如图1，过点D作交于点M，四边形是直角梯形， 且，，则， 故四边形为平行四边形． 因此． 又，因此． 因为四棱锥的体积为， 所以， 解得． 连接，在中，． 连接，在中，． 因为， 则． 因为平面，所以， 而平面平面， 所以平面． （2）以N为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图2所示． 则． 因为P是线段上一动点， 所以设，其中． 故． 设平面的一个法向量， 则，令，得，， 所以． 设平面的一个法向量， 则有，令，得，， 可取． 因为二面角的大小为， 所以，即，解得，即． 因为， 所以． 19．（17分）【详解】（1）由定义可知，与相切， 则圆的圆心到直线的距离等于1， 则，. （2）点不在直线族的任意一条直线上， 所以无论取何值时，无解. 将整理成关于的一元二次方程， 即. 若该方程无解，则，即. 证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在点处的切线方程为：， 即. 今直线族中， 则直线为， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意都是抛物线在点处的切线. 所以直线族的包络曲线为. （3）法一：已知，设， 则，； 由（2）知在点处的切线方程为； 同理在点处的切线方程为； 联立可得，所以. 因此， 同理. 所以，， 即，可得， 所以成立. 法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示： 则，因为，显然. 又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即. 同理可知， 所以，即. 则. 所以成立.. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 高三开学模拟考02（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念化简复数，然后利用复数的几何意义求解点所在的象限. 【详解】因为， 所以，所以，对应的点为， 所以在复平面内对应的点在第三象限. 故选：C 2．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助对数定义域可得，再利用交集定义运算即可得. 【详解】，则. 故选：A. 3．已知为等比数列的前项积，若，且（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质，得，所以. 故选:B. 4．已知函数 ，则曲线上一点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意可得，求出，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由题意可得，即，所以， 所以，， 则， 所以曲线上一点处的切线方程为，即. 故选：C. 5．上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，求得学生得分在的概率，再根据二项分布方差的计算方法求解即可. 【详解】由正态分布知，学生得分在的概率为， 抽取个学生得分在的人数服从二项分布， . 故选：. 6．已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得． 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 7．平面直角坐标系中，等边的边长为2，M为中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ） A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆 【答案】D 【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，首先由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解. 【详解】   由题意不妨设，则， 而，即， 又，所以，即， 因为，所以，即为部分椭圆. 故选：D. 8．关于函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．当时，函数在上恒成立 C．当或时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点，记为，则 【答案】D 【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数的图象可求得BC错误，根据零点个数可求得，令再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确. 【详解】对于A，因为函数，令，则； 当或时，，此时函数单调递增， 当时，；此时函数单调递减， 作出函数的大致图象如图，故A错； 对于B，由A选项可知，易知， 又易知时，函数单调递减，时，函数单调递增； 当时，若，不一定成立，例如当时，， 所以当，不一定成立，故B错； 对于C，方程的根即为与函数的交点横坐标， 由A可知，函数在时取得极大值1，在时取得极小值； 作出函数的图象如图， 当或时，函数有1个零点，故C错； 对于D，函数有3个零点，则可得，且； 记， 令，则，所以， 于是 ， 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个零点的范围限定在上，再利用倍角公式即可得出结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ） A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 【答案】BCD 【分析】根据数据分布的最小值和最大值判断A；根据众数、方差、中位数的概念，并结合图象判断BCD. 【详解】对于A，甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，A错误； 对于B，根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，乙的众数大于甲的众数，B正确； 对于C，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正确； 对于D，甲的各组频率依次为：，其中位数位于[3.5,4.5)之间， 乙的各组频率依次为：，其中位数位于[5.5,6.5)之间， 所以甲的中位数小于乙的中位数，D正确. 故选：BCD 10．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 11．已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（　　） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且， 令，则，故，则， 令，则， 又令,结合得，所以不是偶函数，故A错误． 对于B，令，则． 而，，所以，故B正确． 对于C，由选项B可知，， 令，则，所以． 又因为为奇函数，所以，所以，故C正确． 对于D，由选项B以及，可得， 所以，， 令得 , 结合递推可得，． 因为，故，故D错误． 故选：BC 【点睛】抽象函数问题，常常要取恰当的特殊值并结合递推关系得到进一步的结论. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知单位向量满足，则 . 【答案】 【分析】由向量的模及向量数量积的定义求夹角余弦值即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 即. 又， 所以. 故答案为：. 13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质以及，表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理，进而列出等量关系式并求解. 【详解】不妨取M为渐近线上一点， 因为，所以， 又为的中点，所以， 因为，设，则， 因为，所以， 在和中分别用余弦定理， 则，， 所以，所以，， 则为锐角，，即， 则，，，. 故答案为：. 14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 【答案】 /0.375 【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可. 【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则； 若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为； 若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个， 若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为； 若抽奖人更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【详解】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． （2）由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16．（15分）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为、，投中得分，投不中得分．两人的每次投球均相互独立． (1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为0分的概率； (2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和的分布列及其数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）两人得分之和为0分说明两人中一人投进，一人没有投进，根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）首先求甲和乙各投一次，两人得分的分布列，再利用独立重复概率公式求两人得分的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，“两人各投球一次，得分之和为0分”为事件， 则，，，, ，所以. 故甲、乙两人各投球一次，两人得分之和为0分的概率是. （2）记甲、乙两人各投球一次，若此时两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ，，， 甲乙两人各投球两次，两人得分之和为随机变量，则的可能取值为， ， ， ， 甲、乙两人各投球两次，两人得分之和概率分布列为： 故甲、乙两人各投球两次，两人得分之和的数学期望为. 17．（15分）设函数的两个极值点分别为． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将问题转化为函数与图像在有两个不同的交点，结合函数图像即可得到结果； （2）根据题意，将不等式转化为，然后结合导数求得函数的最小值，即可得到结果. 【详解】（1）由题，定义域为． 则， 由题可得有两个不等实数根， 于是有两个不同的实数根， 等价于函数与图像在有两个不同的交点， ，由，由， 所以在递增，在递减， 又有极大值为，当时，， 所以可得函数的草图（如图所示）． 所以，要使函数与图像在有两个不同的交点， 当且仅当，即实数的取值范围为 （2）由（1）可知：是方程的两个实数根，且， 则， 即，令， 令，则， 所以在上单调递增，且，所以， 于是，当时，有，即， 综上所述，，即的取值范围是． 18．（17分）如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据题意，可得是等边三角形，求出，过点D作交于点M，可得四边形为平行四边形，可求得，结合四棱锥的体积为，求得利用勾股定理证明，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求出点的坐标得解. 【详解】（1）因为平面，所以． 因为N是的中点，所以，故． 又因为，所以是等边三角形． 因为的面积为，所以． 如图1，过点D作交于点M，四边形是直角梯形， 且，，则， 故四边形为平行四边形． 因此． 又，因此． 因为四棱锥的体积为， 所以， 解得． 连接，在中，． 连接，在中，． 因为， 则． 因为平面，所以， 而平面平面， 所以平面． （2）以N为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图2所示． 则． 因为P是线段上一动点， 所以设，其中． 故． 设平面的一个法向量， 则，令，得，， 所以． 设平面的一个法向量， 则有，令，得，， 可取． 因为二面角的大小为， 所以，即，解得，即． 因为， 所以． 19．（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得； （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明. 【详解】（1）由定义可知，与相切， 则圆的圆心到直线的距离等于1， 则，. （2）点不在直线族的任意一条直线上， 所以无论取何值时，无解. 将整理成关于的一元二次方程， 即. 若该方程无解，则，即. 证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在点处的切线方程为：， 即. 今直线族中， 则直线为， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意都是抛物线在点处的切线. 所以直线族的包络曲线为. （3）法一：已知，设， 则，； 由（2）知在点处的切线方程为； 同理在点处的切线方程为； 联立可得，所以. 因此， 同理. 所以，， 即，可得， 所以成立. 法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示： 则，因为，显然. 又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即. 同理可知， 所以，即. 则. 所以成立. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线的方程为并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$